محاسبه زاویه بین خطوط در صفحه و فضا: فرمول

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

یک مشکل هندسی معمولی یافتن زاویه بین خطوط است. در یک صفحه، اگر معادلات خطوط مشخص باشد، می توان آنها را رسم کرد و زاویه را با نقاله اندازه گیری کرد. با این حال، این روش پر زحمت است و همیشه امکان پذیر نیست. برای فهمیدن زاویه نامگذاری شده، نیازی به کشیدن خطوط مستقیم نیست، می توان آن را محاسبه کرد. این مقاله به نحوه انجام این کار پاسخ خواهد داد.

یک خط مستقیم و معادله برداری آن

هر خط مستقیم را می توان به عنوان بردار نشان داد که از -∞ شروع می شود و به +∞ ختم می شود. در این حالت بردار از نقطه ای در فضا عبور می کند. بنابراین، تمام بردارهایی که می توان بین هر دو نقطه در یک خط مستقیم رسم کرد، موازی یکدیگر خواهند بود. این تعریف به شما امکان می دهد معادله یک خط مستقیم را به صورت برداری تنظیم کنید:

(x; y; z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + α(a; b; c)}

در اینجا، بردار با مختصات (a; b; c) راهنمای این خط است که از نقطه عبور می کند (x₀؛ y_{0 ؛ z}0_{).پارامتر α به شما امکان می دهد نقطه مشخص شده را به هر نقطه دیگری برای این خط انتقال دهید. این معادله بصری است و کار با آن هم در فضای سه بعدی و هم در هواپیما آسان است. برای یک صفحه، مختصات z و مولفه بردار جهت سوم را شامل نمی شود.}

راحتی انجام محاسبات و مطالعه موقعیت نسبی خطوط مستقیم به دلیل استفاده از معادله برداری به این دلیل است که بردار جهت دهنده آن مشخص است. مختصات آن برای محاسبه زاویه بین خطوط و فاصله بین آنها استفاده می شود.

معادله کلی برای یک خط مستقیم در یک صفحه

بیایید به طور صریح معادله برداری خط مستقیم را برای حالت دو بعدی بنویسیم. به نظر می رسد:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

اکنون پارامتر α را برای هر تساوی محاسبه می کنیم و قسمت های مناسب برابری های به دست آمده را برابر می کنیم:

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

با باز کردن پرانتزها و انتقال همه عبارت ها به یک طرف برابری، دریافت می کنیم:

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0، که در آن A=1/a، B=-1/b، C=y₀/b- x 0_/a

عبارت به دست آمده معادله کلی برای یک خط مستقیم داده شده در فضای دو بعدی نامیده می شود (در سه بعدی این معادله مربوط به صفحه موازی با محور z است، نه یک خط مستقیم).

اگر به صراحت از y تا x در این عبارت بنویسیم، شکل زیر را بدست می آوریم، شناخته شدههر دانش آموز:

y=kx + p، که در آن k=-A/B، p=-C/B

این معادله خطی به طور منحصر به فرد یک خط مستقیم را در صفحه تعریف می کند. رسم آن بر اساس معادله معروف بسیار آسان است، برای این کار باید x=0 و y=0 را به نوبه خود قرار دهید، نقاط مربوطه را در سیستم مختصات علامت گذاری کنید و یک خط مستقیم که نقاط به دست آمده را به هم متصل کنید، رسم کنید.

فرمول زاویه بین خطوط

در یک صفحه، دو خط می توانند همدیگر را قطع کنند یا موازی یکدیگر باشند. در فضا به این گزینه ها امکان وجود خطوط کج اضافه می شود. هر نسخه ای از موقعیت نسبی این اجسام هندسی یک بعدی اجرا شود، زاویه بین آنها همیشه می تواند با فرمول زیر تعیین شود:

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(|v₁ ¯||v_2¯|))

جایی که v₁¯ و v_{2¯ به ترتیب بردارهای راهنمای خط 1 و 2 هستند. شمارنده مدول حاصل ضرب نقطه‌ای است تا زوایای مبهم را حذف کند و فقط زوایای تیز را در نظر بگیرد.}

بردارهای v₁¯ و v_{2¯ را می توان با دو یا سه مختصات به دست داد، در حالی که فرمول زاویه φ بدون تغییر باقی می ماند.}

موازی و عمود بودن خطوط

اگر زاویه بین 2 خط محاسبه شده با استفاده از فرمول بالا 0o باشد، گفته می شود که آنها موازی هستند. برای تعیین موازی بودن یا نبودن خطوط، نمی توان زاویه را محاسبه کردφ، کافی است نشان دهیم که یک بردار جهت را می توان از طریق یک بردار مشابه از یک خط دیگر نشان داد، یعنی:

v₁¯=qv_2¯

اینجا q مقداری واقعی است.

اگر معادلات خطوط به صورت: داده شود

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_2,

پس فقط زمانی موازی خواهند بود که ضرایب x برابر باشند، یعنی:

k₁=k₂

این واقعیت را می توان ثابت کرد اگر در نظر بگیریم که چگونه ضریب k بر حسب مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم بیان می شود.

اگر زاویه تقاطع بین خطوط 90^o باشد، آنها را عمود می گویند. برای تعیین عمود بودن خطوط، محاسبه زاویه φ نیز لازم نیست، برای این کار فقط حاصل ضرب اسکالر بردارهای v₁¯ و v کافی است. 2_{¯. باید صفر باشد.}

در مورد متقاطع خطوط مستقیم در فضا، می توان از فرمول زاویه φ نیز استفاده کرد. در این مورد، نتیجه باید به درستی تفسیر شود. φ محاسبه‌شده زاویه بین بردارهای جهت خطوطی را نشان می‌دهد که همدیگر را قطع نمی‌کنند و موازی نیستند.

کار 1. خطوط عمود بر

معلوم است که معادلات خطوط به شکل: است.

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

لازم است مشخص شود که آیا این خطوط هستند یا خیرعمود بر.

همانطور که در بالا ذکر شد، برای پاسخ به سوال، کافی است حاصل ضرب اسکالر بردارهای راهنماها را که با مختصات (1; 2) و (-4; 2) مطابقت دارد، محاسبه کنیم. ما داریم:

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

از آنجایی که ما 0 دریافت کردیم، این بدان معناست که خطوط در نظر گرفته شده در یک زاویه قائم با هم قطع می شوند، یعنی عمود هستند.

وظیفه شماره ۲. زاویه تقاطع خط

مشخص است که دو معادله برای خطوط مستقیم به شکل زیر است:

y=2x - 1;

y=-x + 3

لازم است زاویه بین خطوط را پیدا کنید.

از آنجایی که ضرایب x مقادیر متفاوتی دارند، این خطوط موازی نیستند. برای یافتن زاویه ای که هنگام تلاقی آنها تشکیل می شود، هر یک از معادلات را به شکل برداری ترجمه می کنیم.

برای خط اول دریافت می کنیم:

(x; y)=(x; 2x - 1)

در سمت راست معادله، برداری داریم که مختصات آن به x بستگی دارد. بیایید آن را به صورت مجموع دو بردار نشان دهیم و مختصات اولی حاوی متغیر x خواهد بود و مختصات دوم منحصراً از اعداد تشکیل شده است:

(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)

از آنجایی که x مقادیر دلخواه را می گیرد، می توان آن را با پارامتر α جایگزین کرد. معادله برداری برای خط اول می شود:

(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)

همان کارها را با معادله دوم خط انجام می دهیم، دریافت می کنیم:

(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>

(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)

ما معادلات اصلی را به صورت برداری بازنویسی کردیم. اکنون می توانید از فرمول زاویه تقاطع استفاده کنید و مختصات بردارهای هدایت کننده خطوط را جایگزین آن کنید:

(1; 2)(1; -1)=-1;

|(1; 2)|=√5;

|(1; -1)|=√2;

φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o

بنابراین، خطوط مورد بررسی با زاویه 71.565o یا 1.249 رادیان قطع می شوند.

این مشکل می توانست به گونه دیگری حل شود. برای انجام این کار، لازم بود دو نقطه دلخواه از هر خط مستقیم گرفته، بردارهای مستقیم از آنها بسازیم و سپس از فرمول φ استفاده کنیم.