خط و صفحه دو عنصر هندسی مهم هستند که می توان از آنها برای ساخت اشکال مختلف در فضای دو بعدی و سه بعدی استفاده کرد. نحوه یافتن فاصله بین خطوط موازی و صفحات موازی را در نظر بگیرید.
تکلیف ریاضی خط مستقیم
از درس هندسه مدرسه مشخص است که در یک سیستم مختصات مستطیلی دو بعدی یک خط را می توان به شکل زیر مشخص کرد:
y=kx + b.
که در آن k و b اعداد (پارامترها) هستند. شکل نوشتاری نشان دادن یک خط در یک صفحه، صفحه ای است که با محور z در فضای سه بعدی موازی است. با توجه به این موضوع، در این مقاله، برای تخصیص ریاضی یک خط مستقیم، از یک فرم راحت تر و جهانی تر - یک بردار استفاده خواهیم کرد.
فرض کنید که خط ما موازی با بردار u¯(a, b, c) است و از نقطه P می گذرد(x0, y0، z0). در این حالت، به صورت برداری، معادله آن به صورت زیر نمایش داده می شود:
(x, y, z)=(x0, y 0، z0) + λ(a, b, c).
در اینجا λ هر عددی است. اگر به صراحت مختصات را با بسط عبارت نوشته شده نشان دهیم، یک فرم پارامتریک از نوشتن یک خط مستقیم به دست خواهیم آورد.
کار با یک معادله برداری هنگام حل مسائل مختلف که در آنها لازم است فاصله بین خطوط موازی تعیین شود، راحت است.
خطوط و فاصله بین آنها
منطقی است که در مورد فاصله بین خطوط فقط زمانی صحبت کنیم که موازی باشند (در حالت سه بعدی، فاصله غیر صفر بین خطوط اریب نیز وجود دارد). اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، واضح است که در فاصله صفر از یکدیگر قرار دارند.
فاصله بین خطوط موازی طول عمود اتصال آنهاست. برای تعیین این نشانگر کافی است یک نقطه دلخواه روی یکی از خطوط انتخاب کنید و یک عمود از آن به دیگری رها کنید.
اجازه دهید به طور خلاصه روند پیدا کردن فاصله مورد نظر را شرح دهیم. فرض کنید معادلات برداری دو خط را می دانیم که به شکل کلی زیر ارائه شده اند:
(x، y، z)=P + λu¯;
(x، y، z)=Q + βv¯.
روی این خطوط متوازی الاضلاع بسازید تا یکی از اضلاع آن PQ و دیگری مثلاً u باشد. بدیهی است که ارتفاع این شکل که از نقطه P کشیده شده است، طول عمود مورد نیاز است. برای پیدا کردن آن، می توانید ساده زیر را اعمال کنیدفرمول:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
از آنجایی که فاصله بین خطوط مستقیم طول پاره عمود بین آنهاست پس با توجه به عبارت نوشته شده کافی است مدول حاصلضرب برداری PQ¯ و u¯ را پیدا کرده و حاصل را بر تقسیم کنیم. طول بردار u¯.
نمونه ای از کار برای تعیین فاصله بین خطوط مستقیم
دو خط مستقیم با معادلات برداری زیر به دست می آید:
(x، y، z)=(2، 3، -1) + λ(-2، 1، 3);
(x، y، z)=(1، 1، 1) + β(2، -1، -3).
از عبارات نوشته شده مشخص است که دو خط موازی داریم. در واقع، اگر مختصات بردار جهت خط اول را در -1 ضرب کنیم، مختصات بردار جهت خط دوم را بدست می آوریم که نشان دهنده موازی بودن آنهاست.
فاصله بین خطوط مستقیم با استفاده از فرمول نوشته شده در پاراگراف قبلی مقاله محاسبه می شود. ما داریم:
P(2، 3، -1)، Q(1، 1، 1)=>PQ¯=(-1، -2، 2);
u¯=(-2، 1، 3).
سپس دریافت می کنیم:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 سانتی متر.
توجه داشته باشید که به جای نقاط P و Q، مطلقاً از هر نقطه ای که متعلق به این خطوط است می توان برای حل مسئله استفاده کرد. در این صورت، همان فاصله d را بدست می آوریم.
تنظیم یک صفحه در هندسه
مسئله فاصله بین خطوط در بالا به تفصیل مورد بحث قرار گرفت. حالا بیایید نشان دهیم که چگونه فاصله بین صفحات موازی را پیدا کنیم.
همه بیانگر چیستی هواپیما هستند. طبق تعریف ریاضی، عنصر هندسی مشخص شده مجموعه ای از نقاط است. علاوه بر این، اگر همه بردارهای ممکن را با استفاده از این نقاط بسازید، همه آنها بر یک بردار عمود خواهند بود. دومی معمولاً معمولی برای هواپیما نامیده می شود.
برای تعیین معادله یک صفحه در فضای سه بعدی، بیشتر از شکل کلی معادله استفاده می شود. به نظر می رسد:
Ax + By + Cz + D=0.
جایی که حروف بزرگ لاتین برخی از اعداد هستند. استفاده از این نوع معادله صفحه راحت است زیرا مختصات بردار نرمال به صراحت در آن آورده شده است. آنها A، B، C هستند.
به راحتی می توان فهمید که دو صفحه فقط زمانی موازی هستند که نرمال آنها موازی باشند.
چگونه فاصله بین دو صفحه موازی را پیدا کنیم؟
برای تعیین فاصله مشخص شده، باید به وضوح درک کنید که چه چیزی در خطر است. فاصله بین صفحاتی که با یکدیگر موازی هستند به عنوان طول بخش عمود بر آنها درک می شود. انتهای این بخش متعلق به صفحات است.
الگوریتم برای حل چنین مسائلی ساده است. برای انجام این کار، شما باید مختصات مطلقاً هر نقطه ای را که به یکی از دو صفحه تعلق دارد، پیدا کنید. سپس، باید از این فرمول استفاده کنید:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
از آنجایی که فاصله یک مقدار مثبت است، علامت مدول در صورت شمار است. فرمول نوشته شده جهانی است، زیرا به شما امکان می دهد فاصله هواپیما تا مطلقاً هر عنصر هندسی را محاسبه کنید. کافی است مختصات یک نقطه از این عنصر را بدانید.
برای کامل بودن، توجه می کنیم که اگر نرمال های دو صفحه با یکدیگر موازی نباشند، آنگاه چنین صفحه هایی با هم قطع می شوند. سپس فاصله بین آنها صفر خواهد شد.
مشکل تعیین فاصله بین هواپیماها
مشخص است که دو صفحه با عبارات زیر به دست می آیند:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
باید موازی بودن صفحات را ثابت کرد و همچنین فاصله بین آنها را تعیین کرد.
برای پاسخ به بخش اول مسئله، باید معادله اول را به یک فرم کلی برسانید. توجه داشته باشید که به اصطلاح به شکل یک معادله در بخش داده می شود. قسمت های چپ و راست آن را در 15 ضرب کنید و همه عبارت ها را به یک طرف معادله منتقل کنید، به دست می آید:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
بیایید مختصات دو بردار معمولی صفحات را بنویسیم:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1، 3/5، 3).
می توان دید که اگر n2¯ در 5 ضرب شود، دقیقاً مختصات n1¯ را به دست خواهیم آورد. بنابراین، هواپیماهای در نظر گرفته شده هستندموازی.
برای محاسبه فاصله بین صفحات موازی، یک نقطه دلخواه از اولین آنها را انتخاب کنید و از فرمول بالا استفاده کنید. به عنوان مثال، نقطه (0، 0، 1) را که متعلق به صفحه اول است، در نظر بگیرید. سپس دریافت می کنیم:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 سانتی متر.
فاصله مطلوب 31 میلی متر است.
فاصله بین هواپیما و خط
دانش نظری ارائه شده همچنین به ما اجازه می دهد تا مشکل تعیین فاصله بین یک خط مستقیم و یک صفحه را حل کنیم. قبلاً در بالا ذکر شد که فرمولی که برای محاسبات بین صفحات معتبر است جهانی است. همچنین می توان از آن برای حل مشکل استفاده کرد. برای انجام این کار، کافی است هر نقطه ای را که به خط داده شده تعلق دارد، انتخاب کنید.
مشکل اصلی در تعیین فاصله بین عناصر هندسی در نظر گرفته شده، اثبات موازی بودن آنهاست (اگر نه، d=0). اثبات موازی بودن آسان است اگر حاصل ضرب اسکالر عادی و بردار جهت خط را محاسبه کنید. اگر عناصر مورد نظر موازی باشند، این حاصل برابر با صفر خواهد بود.
