بردار یک شی هندسی مهم است که با کمک ویژگی هایش می توان بسیاری از مسائل را در هواپیما و در فضا حل کرد. در این مقاله به تعریف آن می پردازیم، ویژگی های اصلی آن را در نظر می گیریم و همچنین نشان می دهیم که چگونه می توان از یک بردار در فضا برای تعریف صفحات استفاده کرد.
بردار چیست: حالت دوبعدی
قبل از هر چیز، لازم است به وضوح بفهمیم که در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. در هندسه، قطعه جهت دار را بردار می گویند. مانند هر بخش، دو عنصر اصلی مشخص می شود: نقطه شروع و پایان. مختصات این نقاط به طور منحصربه‌فرد تمام ویژگی‌های بردار را تعیین می‌کنند.
بیایید مثالی از یک بردار در یک صفحه را در نظر بگیریم. برای این کار دو محور x و y عمود بر هم رسم می کنیم. اجازه دهید یک نقطه دلخواه P(x,y) را علامت گذاری کنیم. اگر این نقطه را به مبدا (نقطه O) وصل کنیم و سپس جهت P را مشخص کنیم، بردار OP¯ را می گیریم (در ادامه مقاله، نوار روی نماد نشان می دهد که ما یک بردار را در نظر می گیریم). رسم برداری روی صفحه در زیر نشان داده شده است.
در اینجا، بردار دیگری AB¯ نیز نشان داده شده است، و می بینید که ویژگی های آن دقیقاً مشابه OP¯ است، اما در قسمت دیگری از سیستم مختصات قرار دارد. با ترجمه موازی OP¯، می توانید تعداد نامتناهی بردار با ویژگی های یکسان به دست آورید.
بردار در فضا
همه اشیاء واقعی که ما را احاطه کرده اند در فضای سه بعدی قرار دارند. مطالعه خواص هندسی اشکال سه بعدی با استریومتری سروکار دارد که با مفهوم بردارهای سه بعدی عمل می کند. تفاوت آنها با دو بعدی فقط در این است که توصیف آنها به یک مختصات اضافی نیاز دارد که در امتداد سوم عمود بر محور x و y z اندازه گیری می شود.
شکل زیر یک بردار در فضا را نشان می دهد. مختصات انتهای آن در امتداد هر محور با بخش های رنگی نشان داده می شود. ابتدای بردار در نقطه تلاقی هر سه محور مختصات قرار دارد، یعنی دارای مختصات (0; 0; 0) است.
از آنجایی که یک بردار در یک صفحه حالت خاصی از یک قطعه جهت‌دار فضایی است، ما فقط یک بردار سه بعدی را در مقاله در نظر خواهیم گرفت.
مختصات برداری بر اساس مختصات شناخته شده شروع و پایان آن
فرض کنید دو نقطه P(x1؛ y1؛ z۱ وجود دارد. و Q(x2؛ y2؛ z2). نحوه تعیین مختصات بردار PQ¯. ابتدا باید توافق کرد که کدام یک از نقاط شروع و کدام انتهای بردار باشد. در ریاضیات مرسوم است که شی مورد نظر را در جهت آن بنویسند، یعنی P آغاز است، Q است.- پایان. ثانیاً، مختصات بردار PQ¯ به عنوان تفاوت بین مختصات مربوطه انتها و ابتدا محاسبه می شود، یعنی:
PQ¯=(x2- x1؛ y2- y 1؛ z2- z1).
توجه داشته باشید که با تغییر جهت بردار، مختصات آن به صورت زیر تغییر می کند:
QP¯=(x1- x2؛ y1- y 2؛ z1- z2).
این یعنی PQ¯=-QP¯.
درک یک چیز دیگر مهم است. در بالا گفته شد که در صفحه بی نهایت بردار برابر با داده شده وجود دارد. این واقعیت در مورد فضایی نیز صادق است. در واقع، وقتی مختصات PQ¯ را در مثال بالا محاسبه کردیم، عملیات ترجمه موازی این بردار را به گونه ای انجام دادیم که مبدأ آن با مبدا منطبق شود. بردار PQ¯ را می توان به عنوان یک قطعه جهت دار از مبدأ تا نقطه M رسم کرد((x2 - x1؛ y2 - y1؛ z2 - z1.
ویژگی های برداری
مانند هر شی هندسی، یک بردار دارای برخی ویژگی های ذاتی است که می توان از آنها برای حل مسائل استفاده کرد. بیایید به طور خلاصه آنها را فهرست کنیم.
مدول بردارطول بخش جهت دار است. با دانستن مختصات، محاسبه آن آسان است. برای بردار PQ¯ در مثال بالا، مدول این است:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2- y1)2+ (z2 - z1 )2].
ماژول برداری روشن استصفحه با فرمول مشابهی فقط بدون مشارکت مختصات سوم محاسبه می شود.
مجموع و اختلاف بردارها طبق قانون مثلث انجام می شود. شکل زیر نحوه جمع و تفریق این اشیاء را نشان می دهد.
برای به دست آوردن بردار جمع، ابتدای دوم را به انتهای بردار اول اضافه کنید. بردار مورد نظر از ابتدای بردار اول شروع و در پایان بردار دوم به پایان می رسد.
تفاوت با در نظر گرفتن این واقعیت انجام می شود که بردار کسر شده با بردار مخالف جایگزین می شود و سپس عملیات جمع توضیح داده شده در بالا انجام می شود.
علاوه بر جمع و تفریق، مهم است که بتوان یک بردار را در یک عدد ضرب کرد. اگر عدد برابر با k باشد، برداري به دست مي آيد كه مدول آن k برابر با بردار اصلي متفاوت است و جهت آن يكسان است (k>0) يا مخالف بردار اصلي (k<0).
عملیات ضرب بردارها در بین خود نیز تعریف شده است. در مقاله یک پاراگراف جداگانه برای آن مشخص می کنیم.
ضرب اسکالر و برداری
فرض کنید دو بردار وجود دارد u¯(x1; y1؛ z1) و v¯(x2؛ y2؛ z2). بردار به بردار را می توان به دو روش مختلف ضرب کرد:
- اسکالر. در این مورد، نتیجه یک عدد است.
- بردار. نتیجه چند بردار جدید است.
حاصل ضرب اسکالر بردارهای u¯ و v¯ به صورت زیر محاسبه می شود:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
جایی که α زاویه بین بردارهای داده شده است.
می توان نشان داد که با دانستن مختصات u¯ و v¯، حاصل ضرب نقطه آنها را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
محصول اسکالر هنگام تجزیه یک بردار به دو بخش عمود بر هم برای استفاده راحت است. همچنین برای محاسبه موازی یا متعامد بودن بردارها و محاسبه زاویه بین آنها استفاده می شود.
ضرب ضربدری u¯ و v¯ بردار جدیدی می دهد که عمود بر بردار اصلی است و مدول دارد:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
جهت پایین یا بالا بردار جدید با قانون دست راست تعیین می شود (چهار انگشت دست راست از انتهای بردار اول به انتهای بردار دوم هدایت می شوند و شست به سمت بالا می رود. جهت بردار جدید را نشان می دهد). شکل زیر نتیجه حاصلضرب متقاطع را برای دلخواه a¯ و b¯ نشان می دهد.
ضرب متقاطع برای محاسبه مساحت شکل ها و همچنین برای تعیین مختصات یک بردار عمود بر یک صفحه معین استفاده می شود.
بردارها و خواص آنها برای تعریف معادله یک صفحه راحت هستند.
معادله عادی و عمومی هواپیما
راه های مختلفی برای تعریف هواپیما وجود دارد. یکی از آنها استخراج معادله کلی صفحه است که مستقیماً از دانش بردار عمود بر آن و برخی از نقاط شناخته شده متعلق به صفحه ناشی می شود.
فرض کنید که یک بردار n¯ (A; B; C) و یک نقطه P وجود دارد (x0؛ y0; z 0). چه شرطی تمام نقاط Q(x; y; z) صفحه را برآورده می کند؟ این شرط عبارت است از عمود بردار PQ¯ به n¯ نرمال. برای دو بردار عمود بر هم، حاصل ضرب نقطه ای صفر می شود (cos(90o)=0)، این را بنویسید:
(n¯PQ¯)=0 یا
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
با باز کردن پرانتزها، دریافت می کنیم:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 یا
Ax + By + Cz +D=0 که در آن D=-Ax0-By0-Cz0.
این معادله برای هواپیما کلی نامیده می شود. می بینیم که ضرایب جلوی x، y و z مختصات بردار عمود بر n¯ هستند. به آن راهنمای هواپیما می گویند.
معادله پارامتری برداری صفحه
روش دوم برای تعریف یک هواپیما استفاده از دو بردار در آن است.
فرض کنید که بردارهایی وجود دارد u¯(x1; y1؛ z1) و v¯(x2؛ y2؛ z2). همانطور که گفته شد، هر یک از آنها در فضا را می توان با تعداد نامتناهی قطعه جهت دار یکسان نشان داد، بنابراین، برای تعیین منحصر به فرد صفحه به یک نقطه دیگر نیاز است. بگذارید این نقطه P(x0;y0; z0). هر نقطه Q(x; y; z) در صفحه مورد نظر قرار می گیرد اگر بردار PQ¯ را بتوان به صورت ترکیبی از u¯ و v¯ نشان داد. یعنی داریم:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
جایی که α و β برخی از اعداد واقعی هستند. از این برابری عبارت زیر می آید:
(x; y; z)=(x0; y0؛ z0) + α(x1؛ y1؛ z1) + β(x 2؛ y2؛ z2).
به آن معادله برداری پارامتریک صفحه نسبت به 2 بردار u¯ و v¯ می گویند. با جایگزینی پارامترهای دلخواه α و β، می توان تمام نقاط (x; y; z) متعلق به این صفحه را پیدا کرد.
از این معادله به راحتی می توان بیان کلی برای هواپیما را به دست آورد. برای این کار کافی است بردار جهت n¯ را پیدا کنید که بر هر دو بردار u¯ و v¯ عمود خواهد بود، یعنی حاصل ضرب برداری آنها باید اعمال شود.
مسئله تعیین معادله کلی صفحه
بیایید نحوه استفاده از فرمول های بالا برای حل مسائل هندسی را نشان دهیم. فرض کنید بردار جهت صفحه n¯ (5; -3; 1) باشد. شما باید معادله هواپیما را پیدا کنید، با دانستن اینکه نقطه P(2; 0; 0) به آن تعلق دارد.
معادله کلی به صورت: نوشته می شود
Ax + By + Cz +D=0.
از آنجایی که بردار عمود بر صفحه مشخص است، معادله به شکل زیر خواهد بود:
5x - 3y + z +D=0.
باقی مانده است که عبارت آزاد D را پیدا کنیم. ما آن را از دانش مختصات P: محاسبه می کنیم.
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
بنابراین، معادله مورد نظر هواپیما به شکل: است.
5x - 3y + z -10=0.
شکل زیر نشان می دهد که صفحه به دست آمده چگونه است.
مختصات مشخص شده نقاط مربوط به تقاطع صفحه با محورهای x، y و z است.
مسئله تعیین صفحه از طریق دو بردار و یک نقطه
حالا فرض کنید صفحه قبلی متفاوت تعریف شده است. دو بردار u¯(-2؛ 0؛ 10) و v¯(-2؛ -10/3؛ 0) و همچنین نقطه P(2؛ 0؛ 0) شناخته شده اند. چگونه معادله صفحه را به صورت پارامتریک برداری بنویسیم؟ با استفاده از فرمول مربوطه در نظر گرفته شده، به دست می آوریم:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2؛ 0؛ 10) + β(-2؛ -10/3؛ 0).
توجه داشته باشید که تعاریف این معادله صفحه، بردارهای u¯ و v¯ را می توان مطلقاً هر کدام گرفت، اما با یک شرط: آنها نباید موازی باشند. در غیر این صورت، صفحه را نمی توان به طور منحصر به فرد تعیین کرد، با این حال، می توان معادله ای برای یک پرتو یا مجموعه ای از صفحات پیدا کرد.
