معادلات هواپیما. زاویه بین دو صفحه

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

یک صفحه، همراه با یک نقطه و یک خط مستقیم، یک عنصر هندسی اساسی است. با استفاده از آن، اشکال زیادی در هندسه فضایی ساخته می شود. در این مقاله، ما با جزئیات بیشتری به این سوال خواهیم پرداخت که چگونه زاویه بین دو صفحه را پیدا کنیم.

مفهوم

قبل از صحبت در مورد زاویه بین دو صفحه، باید به خوبی بفهمید که در مورد چه عنصری در هندسه صحبت می کنیم. بیایید اصطلاحات را درک کنیم. هواپیما مجموعه بی پایانی از نقاط در فضا است که ما بردارهایی را به هم متصل می کنیم. دومی عمود بر یک بردار خواهد بود. معمولاً به آن نرمال برای هواپیما می گویند.

شکل بالا یک صفحه و دو بردار معمولی را نشان می دهد. مشاهده می شود که هر دو بردار روی یک خط مستقیم قرار دارند. زاویه بین آنها 180o است.

معادلات

در صورتی می توان زاویه بین دو صفحه را تعیین کرد که معادله ریاضی عنصر هندسی در نظر گرفته شده مشخص باشد. انواع مختلفی از این معادلات وجود دارد،که نام آنها در زیر آمده است:

• نوع عمومی;
• بردار;
• در بخش‌ها.

این سه نوع راحت‌ترین نوع برای حل انواع مختلف مسائل هستند، بنابراین بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرند.

یک معادله نوع کلی به این صورت است:

Ax + By + Cz + D=0.

در اینجا x، y، z مختصات یک نقطه دلخواه متعلق به صفحه داده شده است. پارامترهای A، B، C و D اعداد هستند. راحتی این نماد در این واقعیت نهفته است که اعداد A، B، C مختصات یک بردار معمولی با صفحه هستند.

شکل برداری صفحه را می توان به صورت زیر نشان داد:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁، b₁، c₁) + β(a ₂، b₂، c_2).

اینجا (a₂، b₂، c₂) و (a ₁، b₁، c₁) - پارامترهای دو بردار مختصاتی که به صفحه در نظر گرفته شده تعلق دارند. نقطه (x₀، y₀، z_{0) نیز در این صفحه قرار دارد. پارامترهای α و β می توانند مقادیر مستقل و دلخواه بگیرند.}

در نهایت، معادله صفحه در بخش ها به شکل ریاضی زیر نشان داده می شود:

x/p + y/q + z/l=1.

در اینجا p، q، l اعداد خاصی هستند (از جمله اعداد منفی). این نوع معادله زمانی مفید است که لازم است یک صفحه را در یک سیستم مختصات مستطیلی به تصویر بکشیم، زیرا اعداد p، q، l نقاط تقاطع را با محورهای x، y و z نشان می‌دهند.هواپیما.

توجه داشته باشید که هر نوع معادله را می توان با استفاده از عملیات ساده ریاضی به هر نوع دیگری تبدیل کرد.

فرمول زاویه بین دو صفحه

حالا تفاوت های ظریف زیر را در نظر بگیرید. در فضای سه بعدی، دو صفحه تنها به دو صورت قابل قرارگیری هستند. یا متقاطع باشند یا موازی باشند. بین دو صفحه، زاویه چیزی است که بین بردارهای راهنمای آنها قرار دارد (عادی). 2 بردار متقاطع، 2 زاویه (در حالت کلی حاد و مبهم) تشکیل می دهند. زاویه بین صفحات حاد در نظر گرفته می شود. معادله را در نظر بگیرید.

فرمول زاویه بین دو صفحه این است:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

حدس زدن این عبارت آسان است ¯ برای هواپیماهای در نظر گرفته شده. مدول حاصلضرب نقطه ای در عدد نشان می دهد که زاویه θ فقط مقادیری از 0

o _{تا 90}o _{را می گیرد. حاصل ضرب مدول بردارهای نرمال در مخرج به معنای حاصل ضرب طول آنهاست.}

توجه داشته باشید، اگر (n₁¯n_{2¯)=0، آنگاه صفحات در یک زاویه قائمه قطع می شوند.}

مشکل مثال

پس از فهمیدن اینکه زاویه بین دو صفحه به چه چیزی گفته می شود، مشکل زیر را حل خواهیم کرد. به عنوان مثال. بنابراین، محاسبه زاویه بین چنین صفحات ضروری است:

2x - 3y + 4=0;

(x، y، z)=(2، 0، -1) + α(1، 1، -1) + β(0، 2، 3).

برای حل مسئله، باید بردارهای جهت هواپیماها را بدانید. برای صفحه اول، بردار نرمال این است: n₁¯=(2، -3، 0). برای یافتن بردار نرمال صفحه دوم، باید بردارها را بعد از پارامترهای α و β ضرب کرد. نتیجه یک بردار است: n_{2¯=(5, -3, 2).}

برای تعیین زاویه θ، از فرمول پاراگراف قبل استفاده می کنیم. دریافت می کنیم:

θ=آرکوس (|((2، -3، 0)(5، -3، 2))|/(|(2، -3، 0)||(5، -3، 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 رادی.

زاویه محاسبه شده بر حسب رادیان مطابق با 31.26^o است. بنابراین، صفحات مربوط به شرط مسئله در زاویه 31، 26^{o تلاقی می کنند.}