زوایای بین صفحات. نحوه تعیین زاویه بین صفحات

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

هنگام حل مسائل هندسی در فضا، اغلب مواردی وجود دارد که لازم است زوایای بین اجسام فضایی مختلف محاسبه شود. در این مقاله به موضوع یافتن زاویه بین صفحات و بین آنها و یک خط مستقیم می پردازیم.

خط در فضا

مشخص است که مطلقاً هر خط مستقیمی در صفحه را می توان با برابری زیر تعریف کرد:

y=ax + b

در اینجا a و b تعدادی اعداد هستند. اگر یک خط مستقیم را در فضا با همان عبارت نشان دهیم، صفحه ای موازی با محور z بدست می آوریم. برای تعریف ریاضی خط فضایی، از روش حل متفاوتی نسبت به حالت دو بعدی استفاده می شود. این شامل استفاده از مفهوم "بردار جهت" است.

بردار هدایت کننده یک خط مستقیم جهت آن را در فضا نشان می دهد. این پارامتر متعلق به خط است. از آنجایی که مجموعه بی نهایتی از بردارها به موازات فضا وجود دارد، بنابراین برای تعیین منحصر به فرد جسم هندسی در نظر گرفته شده، لازم است مختصات نقطه متعلق به آن را نیز دانست.

فرض کنید که وجود داردنقطه P(x₀؛ y₀؛ z_{0) و بردار جهت v¯(a; b ؛ ج)، سپس معادله یک خط مستقیم را می توان به صورت زیر ارائه کرد:}

(x; y; z)=P + αv¯ یا

(x; y; z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + α(a; b; c)}

این عبارت معادله برداری پارامتریک یک خط مستقیم نامیده می شود. ضریب α پارامتری است که می تواند مطلقاً هر مقدار واقعی را بگیرد. مختصات یک خط را می توان با گسترش این برابری به صراحت نشان داد:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

معادله هواپیما

اشکال مختلفی برای نوشتن معادله برای یک صفحه در فضا وجود دارد. در اینجا ما یکی از آنها را در نظر خواهیم گرفت که اغلب در محاسبه زاویه بین دو صفحه یا بین یکی از آنها و یک خط مستقیم استفاده می شود.

اگر بردار n¯(A; B; C) شناخته شده باشد که عمود بر صفحه مورد نظر است و نقطه P(x₀؛ y ₀ ؛ z_{0)، که به آن تعلق دارد، سپس معادله کلی برای دومی است:}

Ax + By + Cz + D=0 که در آن D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

ما اشتقاق این عبارت را که بسیار ساده است حذف کرده ایم. در اینجا فقط متذکر می شویم که با دانستن ضرایب متغیرها در معادله صفحه، می توان به راحتی تمام بردارهایی را که بر آن عمود هستند پیدا کرد. دومی نرمال نامیده می شود و در محاسبه زوایای بین مایل و صفحه و بینآنالوگ های دلخواه.

موقعیت صفحات و فرمول زاویه بین آنها

فرض کنید دو هواپیما وجود دارد. چه گزینه هایی برای موقعیت نسبی آنها در فضا وجود دارد. از آنجایی که هواپیما دو بعد بی نهایت و یک صفر دارد، تنها دو گزینه برای جهت گیری متقابل آنها ممکن است:

آنها موازی یکدیگر خواهند بود؛
ممکن است همپوشانی داشته باشند.

زاویه بین صفحات، شاخص بین بردارهای جهت آنها است، یعنی بین نرمال آنها n₁¯ و n_2¯.

بدیهی است که اگر آنها با صفحه موازی باشند، زاویه تقاطع بین آنها صفر است. اگر آنها را قطع کنند، آنگاه غیر صفر است، اما همیشه تیز است. یک مورد خاص از تقاطع، زاویه 90o خواهد بود، زمانی که صفحات متقابلا بر هم عمود باشند.

زاویه α بین n₁¯ و n_{2¯ به راحتی از حاصل ضرب اسکالر این بردارها تعیین می شود. یعنی فرمول صورت می گیرد:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

فرض کنید که مختصات این بردارها عبارتند از: n₁¯(a₁؛ b₁; c₁)، n₂¯(a₂؛ b_{2؛ c}2_{). سپس، با استفاده از فرمول های محاسبه حاصل ضرب اسکالر و ماژول های بردارها از طریق مختصات آنها، عبارت بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²)))

مدول در شمارشگر به این دلیل ظاهر شد که مقادیر زوایای مبهم را حذف می کرد.

نمونه هایی از حل مسائل برای تعیین زاویه تقاطع صفحات

با دانستن نحوه یافتن زاویه بین صفحات، مشکل زیر را حل خواهیم کرد. دو صفحه آورده شده است که معادلات آنها عبارتند از:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

زاویه بین صفحات چقدر است؟

برای پاسخ به سوال، به یاد بیاوریم که ضرایب متغیرها در معادله کلی صفحه مختصات بردار راهنما هستند. برای هواپیماهای مشخص شده مختصات نرمال آنها را داریم:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

اکنون حاصل ضرب اسکالر این بردارها و ماژول های آنها را پیدا می کنیم، داریم:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

اکنون می توانید اعداد یافت شده را با فرمول داده شده در پاراگراف قبلی جایگزین کنید. دریافت می کنیم:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

مقدار حاصل مطابق با زاویه تلاقی سطوح مشخص شده در شرایط است.وظایف.

اکنون یک مثال دیگر را در نظر بگیرید. با توجه به دو هواپیما:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

آیا تلاقی می کنند؟ بیایید مقادیر مختصات بردارهای جهت آنها را بنویسیم، محصول اسکالر و ماژول های آنها را محاسبه کنیم:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

پس زاویه تقاطع برابر است با:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

این زاویه نشان می دهد که صفحات همدیگر را قطع نمی کنند، بلکه موازی هستند. این واقعیت که آنها با یکدیگر مطابقت ندارند به راحتی قابل بررسی است. بیایید برای این یک نقطه دلخواه متعلق به اولین آنها، برای مثال، P(0; 3; 2) در نظر بگیریم. مختصات آن را با معادله دوم جایگزین می کنیم، می گیریم:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

یعنی نقطه P فقط به صفحه اول تعلق دارد.

بنابراین دو صفحه زمانی که نرمال آنها موازی باشد.

صفحه و خط مستقیم

در مورد در نظر گرفتن موقعیت نسبی بین یک صفحه و یک خط مستقیم، چندین گزینه بیشتر از دو صفحه وجود دارد. این واقعیت با این واقعیت مرتبط است که خط مستقیم یک جسم یک بعدی است. خط و هواپیما می توانند:

متقابل موازی، در این مورد صفحه خط را قطع نمی کند؛
دومی ممکن است متعلق به هواپیما باشد، در حالی که موازی آن نیز خواهد بود؛
هر دو شی می تواننددر یک زاویه قطع می شوند.

بیایید ابتدا مورد آخر را در نظر بگیریم، زیرا نیاز به معرفی مفهوم زاویه تقاطع دارد.

خط و صفحه، زاویه بین آنها

اگر یک خط مستقیم صفحه ای را قطع کند، آن را نسبت به آن مایل می گویند. نقطه تقاطع را پایه شیب می گویند. برای تعیین زاویه بین این اجسام هندسی، لازم است که یک راست عمود بر صفحه را از هر نقطه پایین بیاوریم. سپس نقطه تلاقی عمود بر صفحه و محل تلاقی خط مایل با آن یک خط مستقیم تشکیل می دهند. دومی را طرح ریزی خط اصلی بر روی صفحه مورد نظر می نامند. زاویه حاد بین خط و طرح ریزی آن زاویه مورد نیاز است.

تعریف تا حدی گیج کننده از زاویه بین صفحه و مایل شکل زیر را روشن می کند.

در اینجا زاویه ABO زاویه بین خط AB و صفحه a است.

برای نوشتن فرمول آن، یک مثال را در نظر بگیرید. بگذارید یک خط مستقیم و یک صفحه وجود داشته باشد که با معادلات توصیف می شوند:

(x; y; z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

اگر حاصل ضرب اسکالر را بین بردارهای جهت خط و صفحه بیابید، محاسبه زاویه مورد نظر برای این اشیاء آسان است. زاویه حاد حاصل را باید از 90 o کم کرد، سپس بین یک خط مستقیم و یک صفحه به دست آمد.

شکل بالا الگوریتم توصیف شده برای یافتن را نشان می دهدزاویه در نظر گرفته شده در اینجا β زاویه بین عادی و خط است و α بین خط و برآمدگی آن بر روی صفحه است. مشاهده می شود که مجموع آنها 90o است.

در بالا، فرمولی ارائه شد که به این سؤال پاسخ می دهد که چگونه می توان زاویه بین صفحات را پیدا کرد. اکنون عبارت مربوطه را برای حالت یک خط مستقیم و یک صفحه می‌دهیم:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

مدول در فرمول اجازه می دهد فقط زوایای تند محاسبه شود. تابع آرکسین به دلیل استفاده از فرمول کاهش متناظر بین توابع مثلثاتی (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) به جای آرکوزین ظاهر شد.

مسئله: یک هواپیما خط مستقیم را قطع می کند

حالا بیایید نحوه کار با فرمول بالا را نشان دهیم. بیایید مشکل را حل کنیم: باید زاویه بین محور y و صفحه داده شده توسط معادله محاسبه شود:

y - z + 12=0

این هواپیما در تصویر نشان داده شده است.

می توانید ببینید که محورهای y و z را به ترتیب در نقاط (0; -12; 0) و (0; 0; 12) قطع می کند و موازی با محور x است.

بردار جهت خط y مختصاتی دارد (0; 1; 0). یک بردار عمود بر یک صفحه معین با مختصات (0; 1; -1) مشخص می شود. فرمول زاویه تقاطع یک خط مستقیم و یک صفحه را اعمال می کنیم، به دست می آوریم:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

مشکل: خط مستقیم موازی با صفحه

حالا بیایید تصمیم بگیریممشابه مشکل قبلی که سوال آن طور دیگری مطرح شده است. معادلات صفحه و خط مستقیم مشخص است:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

لازم است بفهمیم که آیا این اجسام هندسی موازی یکدیگر هستند یا خیر.

دو بردار داریم: جهت خط مستقیم (0؛ 2؛ 2) و جهت صفحه (1؛ 1؛ -1) است. محصول نقطه آنها را پیدا کنید:

01 + 12 - 12=0

صفر حاصل نشان می دهد که زاویه بین این بردارها 90o است، که ثابت می کند خط و صفحه موازی هستند.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا این خط فقط موازی است یا در صفحه قرار دارد. برای انجام این کار، یک نقطه دلخواه را در خط انتخاب کنید و بررسی کنید که آیا به هواپیما تعلق دارد یا خیر. برای مثال، بیایید λ=0 را در نظر بگیریم، سپس نقطه P(1; 0; 0) متعلق به خط است. معادله صفحه P را جایگزین کنید:

1 - 3=-2 ≠ 0

نقطه P به صفحه تعلق ندارد، به این معنی که کل خط نیز در آن قرار ندارد.

دانستن زوایای بین اجسام هندسی در نظر گرفته شده کجا مهم است؟

فرمول‌ها و مثال‌های حل مسئله در بالا فقط جنبه نظری ندارند. آنها اغلب برای تعیین مقادیر فیزیکی مهم اشکال سه بعدی واقعی مانند منشورها یا اهرام استفاده می شوند. این مهم است که بتوانیم زاویه بین صفحات را هنگام محاسبه حجم شکل ها و مساحت سطوح آنها تعیین کنیم. علاوه بر این، اگر در مورد یک منشور مستقیم ممکن است از این فرمول ها برای تعیین استفاده نکنیدمقادیر مشخص شده، پس برای هر نوع هرمی استفاده از آنها اجتناب ناپذیر است.

در زیر، مثالی از استفاده از نظریه فوق برای تعیین زوایای هرم با قاعده مربع در نظر بگیرید.

هرم و گوشه های آن

شکل زیر هرمی را نشان می دهد که در قاعده آن مربعی با ضلع a قرار دارد. ارتفاع شکل h است. باید دو گوشه پیدا کرد:

بین سطح جانبی و پایه؛
بین دنده کناری و پایه.

برای حل مشکل ابتدا باید وارد سیستم مختصات شوید و پارامترهای رئوس مربوطه را تعیین کنید. شکل نشان می دهد که مبدا مختصات با نقطه در مرکز قاعده مربع منطبق است. در این مورد، صفحه پایه با معادله توصیف می شود:

z=0

یعنی برای هر x و y مقدار مختصات سوم همیشه صفر است. صفحه جانبی ABC محور z را در نقطه B(0؛ 0؛ h) و محور y را در نقطه با مختصات (0؛ a/2؛ 0) قطع می کند. از محور x عبور نمی کند. این به این معنی است که معادله صفحه ABC را می توان به صورت:نوشت

y / (a / 2) + z / h=1 یا

2hy + az - ah=0

بردار AB¯ یک لبه جانبی است. مختصات شروع و پایان آن عبارتند از: A(a/2؛ a/2؛ 0) و B(0؛ 0؛ h). سپس مختصات خود بردار:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

ما تمام معادلات و بردارهای لازم را پیدا کرده ایم. اکنون باقی مانده است که از فرمول های در نظر گرفته شده استفاده کنید.

ابتدا در هرم زاویه بین صفحات پایه را محاسبه می کنیم.و جانبی بردارهای نرمال مربوطه عبارتند از: n₁¯(0; 0; 1) و n_{2¯(0؛ 2h؛ a). سپس زاویه این خواهد بود:}