یکی از مشکلات رایج در استریومتری، تلاقی خطوط مستقیم و صفحات و محاسبه زوایای بین آنهاست. اجازه دهید در این مقاله با جزئیات بیشتر روش به اصطلاح مختصات و زوایای بین خط و صفحه را بررسی کنیم.
خط و صفحه در هندسه
قبل از در نظر گرفتن روش مختصات و زاویه بین خط و صفحه، باید با اجسام هندسی نامگذاری شده آشنا شوید.
خط به مجموعه ای از نقاط در فضا یا روی صفحه گفته می شود که هر یک از آنها را می توان با انتقال خطی نقطه قبلی به بردار معینی به دست آورد. در ادامه این بردار را با نماد u نشان می دهیم. اگر این بردار در هر عددی ضرب شود که برابر با صفر نباشد، یک بردار موازی با u بدست می آوریم. خط یک شی بی نهایت خطی است.
صفحه همچنین مجموعه ای از نقاط است که به گونه ای قرار گرفته اند که اگر بردارهای دلخواه از آنها بسازید، همه آنها بر برخی از بردار n¯ عمود خواهند بود. دومی عادی یا به سادگی عادی نامیده می شود.یک صفحه، بر خلاف خط مستقیم، یک جسم بی نهایت دو بعدی است.
روش مختصات برای حل مسائل هندسه
بر اساس نام خود روش می توان نتیجه گرفت که ما در مورد روشی برای حل مسائل صحبت می کنیم که مبتنی بر انجام محاسبات متوالی تحلیلی است. به عبارت دیگر، روش مختصات به شما این امکان را می دهد که مسائل هندسی را با استفاده از ابزارهای جبر جهانی، که اصلی ترین آنها معادلات هستند، حل کنید.
لازم به ذکر است که روش مورد بررسی در طلوع هندسه و جبر مدرن ظاهر شد. سهم بزرگی در توسعه آن توسط رنه دکارت، پیر دو فرما، آیزاک نیوتن و لایب‌نیتس در قرن‌های 17-18 انجام شد.
ماهیت روش محاسبه فواصل، زوایا، مساحت و حجم عناصر هندسی بر اساس مختصات نقاط شناخته شده است. توجه داشته باشید که شکل معادلات نهایی به دست آمده به سیستم مختصات بستگی دارد. اغلب، سیستم دکارتی مستطیلی در مشکلات استفاده می شود، زیرا کار با آن راحت تر است.
معادله خط
در نظر گرفتن روش مختصات و زوایای بین خط و صفحه، اجازه دهید با تنظیم معادله خط شروع کنیم. راه های مختلفی برای نمایش خطوط به شکل جبری وجود دارد. در اینجا ما فقط معادله برداری را در نظر می گیریم، زیرا به راحتی می توان آن را به هر شکل دیگری از آن به دست آورد و کار با آن آسان است.
فرض کنید دو نقطه وجود دارد: P و Q. مشخص است که می توان از آنها یک خط کشید و آن راتنها خواهد بود. نمایش ریاضی مربوط به عنصر به این صورت است:
(x، y، z)=P + λPQ¯.
که در آن PQ¯ برداری است که مختصات آن به صورت زیر به دست می آید:
PQ¯=Q - P.
نماد λ پارامتری را نشان می دهد که می تواند مطلقاً هر عددی را بگیرد.
در عبارت نوشته شده می توانید جهت بردار را تغییر دهید و همچنین مختصات Q را به جای نقطه P جایگزین کنید. همه این تبدیل ها منجر به تغییر مکان هندسی خط نمی شود.
توجه داشته باشید که هنگام حل مسائل، گاهی اوقات لازم است که معادله برداری نوشته شده را به شکل صریح (پارامتری) نشان دهید.
تنظیم هواپیما در فضا
همچنین برای یک خط مستقیم، چندین شکل از معادلات ریاضی برای یک هواپیما نیز وجود دارد. در میان آنها، ما بردار، معادله در بخش ها و شکل کلی را یادداشت می کنیم. در این مقاله به فرم آخر توجه ویژه ای خواهیم داشت.
یک معادله کلی برای یک صفحه دلخواه را می توان به صورت زیر نوشت:
Ax + By + Cz + D=0.
حروف بزرگ لاتین اعداد خاصی هستند که یک صفحه را تعریف می کنند.
راحتی این نماد این است که به صراحت یک بردار معمولی برای صفحه دارد. برابر است با:
n¯=(A, B, C).
شناخت این بردار این امکان را فراهم می کند که با نگاهی اجمالی به معادله صفحه، موقعیت دومی را در سیستم مختصات تصور کنید.
ترتیب متقابل درفضای خط و صفحه
در پاراگراف بعدی مقاله به بررسی روش مختصات و زاویه بین خط و صفحه خواهیم پرداخت. در اینجا به این سوال پاسخ خواهیم داد که عناصر هندسی در نظر گرفته شده چگونه می توانند در فضا قرار گیرند. سه راه وجود دارد:
- خط مستقیم صفحه را قطع می کند. با استفاده از روش مختصات، می توانید محاسبه کنید که خط و صفحه در کدام نقطه تلاقی می کنند.
- صفحه یک خط مستقیم موازی است. در این حالت سیستم معادلات عناصر هندسی راه حلی ندارد. برای اثبات موازی بودن معمولاً از ویژگی حاصل ضرب اسکالر بردار جهت دهنده خط مستقیم و نرمال صفحه استفاده می شود.
- هواپیما دارای یک خط است. با حل سیستم معادلات در این حالت به این نتیجه خواهیم رسید که برای هر مقدار از پارامتر λ برابری صحیح به دست می آید.
در حالت دوم و سوم، زاویه بین اجسام هندسی مشخص شده برابر با صفر است. در حالت اول، بین 0 تا 90 o قرار دارد.
محاسبه زوایای بین خطوط و صفحه
حالا بیایید مستقیماً به موضوع مقاله برویم. هر تقاطع یک خط و یک صفحه در یک زاویه اتفاق می افتد. این زاویه توسط خود خط مستقیم و برآمدگی آن بر روی صفحه تشکیل می شود. اگر از هر نقطه از یک خط مستقیم، یک عمود بر روی صفحه پایین بیاید و سپس از طریق نقطه تلاقی صفحه و عمود و نقطه تلاقی صفحه و خط اصلی، یک برجستگی بدست آوریم. خط مستقیم که یک طرح خواهد بود.
محاسبه زوایای بین خطوط و صفحه کار دشواری نیست. برای حل آن کافی است معادلات اجسام هندسی مربوطه را بدانیم. فرض کنید این معادلات به این شکل هستند:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
زاویه مورد نظر به راحتی با استفاده از ویژگی حاصل ضرب بردارهای اسکالر u¯ و n¯ پیدا می شود. فرمول نهایی به این صورت است:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
این فرمول می گوید که سینوس زاویه بین یک خط و یک صفحه برابر است با نسبت مدول حاصلضرب اسکالر بردارهای علامت گذاری شده به ضرب طول آنها. برای درک اینکه چرا سینوس به جای کسینوس ظاهر شد، اجازه دهید به شکل زیر رجوع کنیم.
می توان دید که اگر تابع کسینوس را اعمال کنیم، زاویه بین بردارهای u¯ و n¯ را به دست خواهیم آورد. زاویه مورد نظر θ (α در شکل) به صورت زیر به دست می آید:
θ=90o- β.
سینوس در نتیجه اعمال فرمول های کاهش ظاهر می شود.
مشکل مثال
بیایید به سمت استفاده عملی از دانش کسب شده برویم. بیایید یک مسئله معمولی را در زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه حل کنیم. مختصات چهار نقطه زیر آورده شده است:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1، 2، 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2، -1، 1).
مشخص است که از طریق نقاط PQMیک هواپیما از آن عبور می کند و یک خط مستقیم از MN می گذرد. با استفاده از روش مختصات، زاویه بین صفحه و خط باید محاسبه شود.
ابتدا، اجازه دهید معادلات خط مستقیم و صفحه را بنویسیم. برای یک خط مستقیم، نوشتن آن آسان است:
MN¯=(-2، -4، 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
برای ایجاد معادله هواپیما، ابتدا نرمال آن را پیدا می کنیم. مختصات آن برابر است با حاصل ضرب برداری دو بردار که در صفحه داده شده قرار دارند. ما داریم:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1، 1، -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11، -4، -5).
حالا اجازه دهید مختصات هر نقطه ای را که در آن قرار دارد با معادله صفحه عمومی جایگزین کنیم تا مقدار عبارت آزاد D: را بدست آوریم.
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
معادله صفحه این است:
11x + 4y + 5z - 7=0.
باید از فرمول زاویه تشکیل شده در تقاطع یک خط مستقیم و یک صفحه برای دریافت پاسخ مسئله استفاده کنیم. ما داریم:
(u¯n¯)=(11، 4، 5)(-2، -4، 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
با استفاده از این مسئله به عنوان مثال، نحوه استفاده از روش مختصات برای حل مسائل هندسی را نشان دادیم.
