در ریاضیات و پردازش، مفهوم سیگنال تحلیلی (به اختصار - C، AC) یک تابع پیچیده است که دارای مولفه های فرکانس منفی نیست. بخش واقعی و خیالی این پدیده توابع واقعی هستند که توسط تبدیل هیلبرت به یکدیگر مرتبط هستند. سیگنال تحلیلی یک پدیده نسبتاً رایج در شیمی است که ماهیت آن شبیه به تعریف ریاضی این مفهوم است.
اجراها
نمایش تحلیلی یک تابع واقعی یک سیگنال تحلیلی حاوی تابع اصلی و تبدیل هیلبرت آن است. این نمایش بسیاری از دستکاری های ریاضی را تسهیل می کند. ایده اصلی این است که مولفه های فرکانس منفی تبدیل فوریه (یا طیف) یک تابع واقعی به دلیل تقارن هرمیتی چنین طیفی زاید هستند. این مولفه های فرکانس منفی را می توان بدون دور انداختاز دست دادن اطلاعات، مشروط بر اینکه بخواهید به جای آن با یک تابع پیچیده مقابله کنید. این ویژگی‌های مشخصی را در دسترس‌تر می‌سازد و استخراج تکنیک‌های مدولاسیون و دمودولاسیون مانند SSB را آسان‌تر می‌کند.
مولفه های منفی
تا زمانی که تابعی که دستکاری می شود هیچ مولفه فرکانس منفی نداشته باشد (یعنی هنوز تحلیلی است)، تبدیل از مختلط به واقعی صرفاً صرفاً صرفاً کنار گذاشتن قسمت خیالی است. نمایش تحلیلی تعمیم مفهوم بردار است: در حالی که یک بردار به دامنه، فاز و فرکانس ثابت با زمان محدود می شود، تجزیه و تحلیل کیفی یک سیگنال تحلیلی امکان پارامترهای متغیر با زمان را فراهم می کند.
دامنه، فاز و فرکانس آنی در برخی برنامه‌ها برای اندازه‌گیری و تشخیص ویژگی‌های محلی C استفاده می‌شود. یکی دیگر از کاربردهای نمایش تحلیلی مربوط به دمدولاسیون سیگنال‌های مدوله‌شده است. مختصات قطبی به راحتی اثرات مدولاسیون AM و فاز (یا فرکانس) را جدا می کند و به طور موثر انواع خاصی را از بین می برد.
سپس یک فیلتر پایین گذر ساده با ضرایب واقعی می تواند قسمت مورد علاقه را قطع کند. انگیزه دیگر کاهش حداکثر فرکانس است که حداقل فرکانس را برای نمونه برداری غیر مستعار کاهش می دهد. تغییر فرکانس سودمندی ریاضی نمایش را تضعیف نمی کند. بنابراین، در این معنا، downconverted هنوز هم تحلیلی است. با این حال، بازسازی نمایندگی واقعیدیگر مسئله ساده ای نیست که به سادگی جزء واقعی را استخراج کنیم. ممکن است نیاز به تبدیل بالا باشد، و اگر سیگنال نمونه برداری شود (زمان گسسته)، ممکن است به درون یابی (نمونه برداری مجدد) نیز برای جلوگیری از همخوانی نیاز باشد.
متغیرها
این مفهوم برای پدیده های تک متغیری به خوبی تعریف شده است که معمولاً موقتی است. این موقتی بسیاری از ریاضیدانان مبتدی را گیج می کند. برای دو یا چند متغیر، C تحلیلی را می توان به روش های مختلف تعریف کرد و دو رویکرد در زیر ارائه شده است.
بخش های واقعی و خیالی این پدیده با دو عنصر از یک سیگنال تک ژنی با ارزش برداری مطابقت دارد، همانطور که برای پدیده های مشابه با یک متغیر تعریف شده است. با این حال، monogenic را می توان به تعداد دلخواه از متغیرها به روشی ساده گسترش داد و یک تابع برداری بعدی (n + 1) برای حالت سیگنال های متغیر n ایجاد کرد.
تبدیل سیگنال
می توانید یک سیگنال واقعی را با افزودن یک مؤلفه خیالی (Q) که تبدیل هیلبرت مؤلفه واقعی است به یک سیگنال تحلیلی تبدیل کنید.
به هر حال، این در پردازش دیجیتال آن جدید نیست. یکی از روش‌های سنتی برای تولید AM تک باند جانبی (SSB)، روش فازبندی، شامل ایجاد سیگنال‌ها با تولید تبدیل هیلبرت از یک سیگنال صوتی در یک شبکه مقاومت-خازن آنالوگ است. از آنجایی که فقط فرکانس های مثبت دارد، تبدیل آن به سیگنال RF مدوله شده تنها با یک باند جانبی آسان است.
فرمول های تعریف
بیان سیگنال تحلیلی یک تابع پیچیده هولومورفیک است که در مرز نیم صفحه مختلط بالایی تعریف شده است. مرز نیم صفحه بالایی با تصادفی منطبق است، بنابراین C با نگاشت fa داده می شود: R → C. از اواسط قرن گذشته، زمانی که دنیس گابور در سال 1946 پیشنهاد استفاده از این پدیده را برای مطالعه دامنه و فاز ثابت داد. ، سیگنال کاربردهای زیادی پیدا کرده است. ویژگی این پدیده مورد تاکید قرار گرفت [Vak96]، که در آن نشان داده شد که تنها تجزیه و تحلیل کیفی سیگنال تحلیلی با شرایط فیزیکی دامنه، فاز و فرکانس مطابقت دارد.
آخرین دستاوردها
در طول چند دهه گذشته، علاقه‌ای به مطالعه سیگنال در ابعاد مختلف وجود داشته است که به دلیل مشکلات ناشی از زمینه‌های مختلف از پردازش تصویر/فیلم گرفته تا فرآیندهای نوسانی چندبعدی در فیزیک، مانند لرزه‌ای، الکترومغناطیسی و امواج گرانشی. به طور کلی پذیرفته شده است که برای تعمیم صحیح C تحلیلی (تحلیل کیفی) در مورد چند بعد، باید بر ساختار جبری تکیه کرد که اعداد مختلط معمولی را به روشی مناسب گسترش می دهد. چنین ساختارهایی معمولاً اعداد ابرمجموعه [SKE] نامیده می شوند.
در نهایت، باید امکان ساخت یک سیگنال تحلیلی ابرمجموعه fh وجود داشته باشد: Rd → S، که در آن برخی از سیستم های جبری ابرمختلط عمومی نشان داده شده است، که به طور طبیعی تمام ویژگی های مورد نیاز را برای به دست آوردن دامنه و دامنه آنی گسترش می دهد.فاز.
مطالعه
تعدادی مقاله به مسائل مختلف مربوط به انتخاب صحیح سیستم اعداد ابرمختلط، تعریف تبدیل فوریه ابرمختلط و تبدیل هیلبرت کسری برای مطالعه دامنه و فاز آنی اختصاص داده شده است. اکثر این کارها بر اساس ویژگی‌های فضاهای مختلف مانند سی دی، کواترنیون‌ها، جبرهای کلیرون و سازه‌های کیلی-دیکسون بود.
بعد، ما فقط برخی از کارهای اختصاص داده شده به مطالعه سیگنال در ابعاد مختلف را فهرست می کنیم. تا آنجا که می دانیم، اولین کارها در مورد روش چند متغیره در اوایل دهه 1990 به دست آمد. اینها شامل کار ال [Ell92] در مورد تبدیل های ابرمجموعه است. کار بولو در تعمیم روش واکنش تحلیلی (سیگنال تحلیلی) به اندازه گیری های بسیاری [BS01] و کار فلسبرگ و سومر روی سیگنال های تک ژنی.
چشم انداز بیشتر
انتظار می رود سیگنال hypercomplex تمام خواص مفیدی را که در مورد 1D داریم گسترش دهد. اول از همه، ما باید بتوانیم دامنه و فاز آنی را به اندازه گیری ها استخراج و تعمیم دهیم. دوم، طیف فوریه یک سیگنال تحلیلی پیچیده فقط در فرکانس‌های مثبت حفظ می‌شود، بنابراین ما انتظار داریم تبدیل فوریه بیش‌مختلط طیف بیش‌ارزش‌دار خود را داشته باشد، که فقط در برخی از ربع مثبت فضای ابرمجموعه حفظ می‌شود. زیرا بسیار مهم است.
سوم، اجزای مزدوج یک مفهوم پیچیدهسیگنال تحلیلی مربوط به تبدیل هیلبرت است، و می‌توان انتظار داشت که اجزای مزدوج در فضای ابرکامپلکس نیز باید با ترکیبی از تبدیل‌های هیلبرت مرتبط باشند. و در نهایت، در واقع، یک سیگنال هایپرمختلط باید به عنوان بسط برخی از تابع هولومورفیک ابرمختلط از چندین متغیر ابرمختلط تعریف شده در مرز یک شکل در یک فضای ابرمختلط تعریف شود.
ما به ترتیب به این مسائل رسیدگی می کنیم. اول از همه، ما با نگاهی به فرمول انتگرال فوریه شروع می کنیم و نشان می دهیم که تبدیل هیلبرت به 1-D به فرمول انتگرال فوریه اصلاح شده مربوط می شود. این واقعیت به ما امکان می دهد دامنه، فاز و فرکانس آنی را بدون هیچ ارجاعی به سیستم های اعداد ابرمختلط و توابع هولومورفیک تعریف کنیم.
تغییر انتگرال
ما با گسترش فرمول انتگرال فوریه اصلاح شده به چند بعد ادامه می دهیم و تمام اجزای تغییر فاز لازم را که می توانیم در دامنه و فاز آنی جمع آوری کنیم، تعیین می کنیم. دوم، ما به سؤال وجود توابع هولومورفیک چندین متغیر ابرمجموعه می پردازیم. پس از [Sch93] معلوم شد که جبر ابرمختلط جابجایی و تداعی ایجاد شده توسط مجموعه ای از ژنراتورهای بیضوی (e2i=-1) فضای مناسبی برای زندگی سیگنال تحلیلی ابرمجموعه است، ما چنین جبر ابرمختلطی را فضای Schafers می نامیم و نشان می دهیم. آی تیSD.
بنابراین، ابرمجموعه سیگنال‌های تحلیلی به عنوان یک تابع هولومورفیک در مرز چند دیسک / نیمه بالایی صفحه در فضایی ابرمجموعه تعریف می‌شود، که ما آن را فضای کلی Schafers می‌نامیم و با Sd نشان داده می‌شود. سپس اعتبار فرمول انتگرال کوشی را برای توابع Sd → Sd مشاهده می‌کنیم که روی یک سطح فوق‌العاده در داخل یک پلی دیسک در Sd محاسبه می‌شوند و تبدیل‌های هیلبرت کسری مربوطه را استخراج می‌کنند که اجزای مزدوج هایپرکمپلکس را به هم مرتبط می‌کنند. در نهایت، معلوم می شود که تبدیل فوریه با مقادیر در فضای Schafers فقط در فرکانس های غیر منفی پشتیبانی می شود. با تشکر از این مقاله، شما آموخته اید که سیگنال تحلیلی چیست.
