برای تعیین موازی بودن و عمود بودن صفحات و همچنین محاسبه فواصل بین این اجسام هندسی، استفاده از یک یا نوع دیگری از توابع عددی راحت است. برای چه مسائلی استفاده از معادله یک صفحه در قطعات راحت است؟ در این مقاله به چیستی و نحوه استفاده از آن در کارهای عملی می پردازیم.
معادله در پاره خط چیست؟
یک هواپیما را می توان به روش های مختلفی در فضای سه بعدی تعریف کرد. در این مقاله به برخی از آنها در حل مسائل مختلف پرداخته می شود. در اینجا ما شرح مفصلی از معادله در بخش هایی از هواپیما ارائه می دهیم. به طور کلی شکل زیر را دارد:
x/p + y/q + z/r=1.
که در آن نمادهای p، q، r برخی از اعداد خاص را نشان می دهند. این معادله را می توان به راحتی به یک عبارت کلی و به اشکال دیگر توابع عددی برای صفحه ترجمه کرد.
راحتی نوشتن معادله به صورت پاره‌ها در این واقعیت نهفته است که شامل مختصات صریح تقاطع صفحه با محورهای مختصات عمود بر هم است. در محور xنسبت به مبدأ، صفحه قطعه‌ای به طول p را قطع می‌کند، در محور y - مساوی q، روی z - به طول r.
اگر هر یک از سه متغیر در معادله موجود نباشد، به این معنی است که هواپیما از محور مربوطه عبور نمی کند (ریاضیدانان می گویند که در بی نهایت عبور می کند).
بعد، در اینجا چند مشکل وجود دارد که در آنها نحوه کار با این معادله را نشان خواهیم داد.
ارتباط کلی و در بخش های معادلات
مشخص است که هواپیما با برابری زیر به دست می آید:
2x - 3y + z - 6=0.
لازم است این معادله کلی صفحه را به صورت قطعه یادداشت کنید.
وقتی مشکل مشابهی پیش می آید، باید این تکنیک را دنبال کنید: عبارت آزاد را به سمت راست برابری منتقل می کنیم. سپس کل معادله را بر این عبارت تقسیم می کنیم و سعی می کنیم آن را به شکلی که در پاراگراف قبلی ارائه شده است بیان کنیم. ما داریم:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
ما در بخش ها معادله صفحه را که در ابتدا به شکل کلی داده شده است، به دست آورده ایم. قابل توجه است که هواپیما بخش هایی با طول های 3، 2 و 6 را به ترتیب برای محورهای x، y و z قطع می کند. محور y صفحه را در ناحیه مختصات منفی قطع می کند.
هنگام ترسیم یک معادله در بخش ها، مهم است که قبل از همه متغیرها علامت "+" وجود داشته باشد. فقط در این حالت، عددی که این متغیر بر آن تقسیم می‌شود، مختصات برش محور را نشان می‌دهد.
بردار و نقطه عادی روی صفحه
مشخص است که برخی از صفحات بردار جهت دارند (3; 0; -1). همچنین مشخص است که از نقطه (1؛ 1؛ 1) می گذرد. برای این صفحه، یک معادله را در بخش بنویسید.
برای حل این مشکل، ابتدا باید از شکل کلی این شی هندسی دو بعدی استفاده کنید. فرم کلی به صورت زیر نوشته می شود:
Ax + By + Cz + D=0.
سه ضریب اول در اینجا مختصات بردار راهنما هستند که در بیان مسئله مشخص شده است، یعنی:
A=3;
B=0;
C=-1.
برای یافتن عبارت آزاد D باقی مانده است. می توان آن را با فرمول زیر تعیین کرد:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
که در آن مقادیر مختصات با شاخص 1 با مختصات یک نقطه متعلق به صفحه مطابقت دارد. مقادیر آنها را از شرایط مشکل جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
حالا می توانید معادله کامل را بنویسید:
3x - z - 2=0.
تکنیک تبدیل این عبارت به یک معادله در بخش‌های صفحه قبلاً در بالا نشان داده شده است. آن را اعمال کنید:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
پاسخ مشکل دریافت شد. توجه داشته باشید که این صفحه فقط محورهای x و z را قطع می کند. برای y موازی است.
دو خط مستقیم که یک صفحه را تعریف می کنند
از درس هندسه فضایی، هر دانش آموز می داند که دو خط دلخواه به طور منحصر به فرد صفحه ای را درفضای سه بعدی بیایید یک مشکل مشابه را حل کنیم.
دو معادله خط شناخته شده است:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
لازم است معادله صفحه را به صورت پاره پاره ای که از این خطوط می گذرد یادداشت کنید.
از آنجایی که هر دو خط باید در صفحه قرار بگیرند، این بدان معنی است که بردارهای آنها (راهنماها) باید بر بردار (راهنما) برای صفحه عمود باشند. در عین حال، مشخص است که حاصل ضرب برداری دلخواه دو بخش جهت دار، نتیجه را به شکل مختصات سوم، عمود بر دو قطعه اصلی می دهد. با توجه به این ویژگی، مختصات یک بردار نرمال به صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
از آنجایی که می توان آن را در یک عدد دلخواه ضرب کرد، این یک قطعه جهت دار جدید به موازات قسمت اصلی تشکیل می دهد، می توانیم علامت مختصات به دست آمده را با عکس آن جایگزین کنیم (ضرب در -1)، دریافت می کنیم:
(1; 2; 1).
بردار جهت را می دانیم. باقی مانده است که یک نقطه دلخواه از یکی از خطوط مستقیم را برداریم و معادله کلی صفحه را ترسیم کنیم:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
با ترجمه این برابری به یک عبارت در بخش ها، دریافت می کنیم:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
بنابراین، صفحه هر سه محور را در ناحیه مثبت سیستم مختصات قطع می کند.
سه امتیاز و یک هواپیما
درست مانند دو خط مستقیم، سه نقطه یک صفحه را به طور منحصر به فردی در فضای سه بعدی تعریف می کنند. معادله مربوطه را به صورت پاره پاره می نویسیم در صورتی که مختصات نقاط زیر در صفحه مشخص باشد:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
اجازه دهید به صورت زیر عمل کنیم: مختصات دو بردار دلخواه را که این نقاط را به هم متصل می کنند محاسبه کنید، سپس با محاسبه حاصل ضرب قطعات جهت یافته پیدا شده، بردار n¯ نرمال با صفحه را پیدا کنید. ما دریافت می کنیم:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
نقطه P را به عنوان مثال در نظر بگیرید، معادله صفحه را بسازید:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 یا z=0.
ما یک عبارت ساده به دست آوردیم که با صفحه xy در سیستم مختصات مستطیلی داده شده مطابقت دارد. نمی توان آن را به صورت قطعه نوشت، زیرا محورهای x و y به صفحه تعلق دارند و طول قطعه قطع شده در محور z صفر است (نقطه (0; 0; 0) متعلق به صفحه است).
