استوانه یکی از اشکال سه بعدی ساده است که در درس هندسه مدرسه (بخش هندسه جامد) مطالعه می شود. در این مورد، اغلب در محاسبه حجم و جرم یک استوانه و همچنین در تعیین مساحت سطح آن مشکلاتی ایجاد می شود. پاسخ به سوالات علامت گذاری شده در این مقاله آورده شده است.
سیلندر چیست؟
قبل از پاسخ به این سوال که جرم استوانه و حجم آن چقدر است، باید در نظر گرفت که این شکل فضایی چیست. بلافاصله باید توجه داشت که استوانه یک جسم سه بعدی است. یعنی در فضا می توانید سه پارامتر آن را در امتداد هر یک از محورها در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی اندازه گیری کنید. در واقع، برای تعیین بدون ابهام ابعاد یک استوانه، کافی است تنها دو پارامتر آن را بدانید.
سیلندر یک شکل سه بعدی است که از دو دایره و یک سطح استوانه ای تشکیل شده است. برای نشان دادن واضح تر این جسم، کافی است یک مستطیل بردارید و شروع به چرخش آن به دور هر یک از اضلاع آن کنید، که محور چرخش خواهد بود. در این حالت، مستطیل چرخان شکل را توصیف می کندچرخش - سیلندر.
دو سطح گرد را پایه های سیلندر می نامند که با شعاع خاصی مشخص می شوند. فاصله بین پایه ها را ارتفاع می گویند. این دو پایه توسط یک سطح استوانه ای به هم متصل شده اند. خطی که از مرکز هر دو دایره می گذرد، محور استوانه نامیده می شود.
حجم و مساحت سطح
همانطور که از بالا می بینید، استوانه با دو پارامتر تعریف می شود: ارتفاع h و شعاع پایه آن r. با دانستن این پارامترها می توان سایر مشخصات بدنه در نظر گرفته شده را محاسبه کرد. در زیر موارد اصلی آمده است:
- مساحت پایه ها. این مقدار با فرمول محاسبه می شود: S1=2pir2، که در آن pi برابر با 3، 14 است. رقم 2 در فرمول ظاهر می شود زیرا استوانه دو پایه یکسان دارد.
- مساحت سطح استوانه ای. می توان آن را به این صورت محاسبه کرد: S2=2pirh. درک این فرمول آسان است: اگر یک سطح استوانه ای به صورت عمودی از یک پایه به پایه دیگر بریده شود و منبسط شود، یک مستطیل به دست می آید که ارتفاع آن برابر با ارتفاع استوانه است و عرض آن مطابق با محیط قاعده شکل سه بعدی. از آنجایی که مساحت مستطیل حاصل حاصل ضرب اضلاع آن است که برابر با h و 2pir است، فرمول فوق به دست می آید.
- مساحت سطح سیلندر. برابر با مجموع مساحت های S1 و S2 است، به دست می آوریم: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- جلد. یافتن این مقدار آسان است، فقط باید مساحت یک پایه را در ارتفاع شکل ضرب کنید: V=(S1/2)h=pir 2 ساعت
تعیین جرم سیلندر
در نهایت، ارزش رفتن مستقیم به موضوع مقاله را دارد. چگونه جرم سیلندر را تعیین کنیم؟ برای انجام این کار، باید حجم آن را بدانید، فرمول محاسبه که در بالا ارائه شد. و چگالی ماده ای که از آن تشکیل شده است. جرم با یک فرمول ساده تعیین می شود: m=ρV، که ρ چگالی ماده ای است که جسم مورد نظر را تشکیل می دهد.
مفهوم چگالی جرم ماده ای را مشخص می کند که در واحد حجم فضا قرار دارد. مثلا. مشخص است که آهن چگالی بالاتری نسبت به چوب دارد. این بدان معناست که در مورد حجم مساوی از آهن و چوب، جرم اولی بسیار بزرگتر از دومی خواهد بود (تقریباً 16 برابر).
محاسبه جرم سیلندر مسی
یک مشکل ساده را در نظر بگیرید. لازم است جرم یک سیلندر ساخته شده از مس را پیدا کنید. برای قطعیت، اجازه دهید قطر استوانه 20 سانتی متر و ارتفاع 10 سانتی متر باشد.
قبل از شروع حل مشکل، باید با داده های منبع سروکار داشته باشید. شعاع استوانه برابر با نصف قطر آن یعنی r=20/2=10cm و ارتفاع آن h=10cm است.از آنجایی که استوانه در نظر گرفته شده در مسئله از مس ساخته شده است، پس با توجه به داده های مرجع، مقدار چگالی این ماده را می نویسیم: ρ=8، 96 گرم در سانتی متر3 (برای دمای 20 درجه سانتی گراد).
اکنون می توانید شروع به حل مشکل کنید. ابتدا بیایید حجم را محاسبه کنیم: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 سانتی متر3. سپس جرم سیلندر خواهد بود: m=ρV=8.963140=28134 گرم یا تقریباً 28 کیلوگرم.
باید به ابعاد واحدها در هنگام استفاده در فرمول های مربوطه توجه کنید. بنابراین، در مسئله، تمام پارامترها به سانتی متر و گرم ارائه شد.
سیلندرهای همگن و توخالی
از نتیجه به دست آمده در بالا می توان دریافت که یک استوانه مسی با ابعاد نسبتاً کوچک (10 سانتی متر) دارای جرم بزرگ (28 کیلوگرم) است. این نه تنها به دلیل این واقعیت است که از مواد سنگین ساخته شده است، بلکه به دلیل همگن بودن آن است. درک این واقعیت بسیار مهم است، زیرا فرمول بالا برای محاسبه جرم تنها در صورتی قابل استفاده است که استوانه کاملاً (از بیرون و داخل) از یک ماده ساخته شده باشد، یعنی همگن باشد.
در عمل، اغلب از استوانه های توخالی استفاده می شود (به عنوان مثال، بشکه های استوانه ای برای آب). یعنی از ورقه های نازک مقداری مواد درست شده اند اما داخلشان خالی است. برای یک استوانه توخالی، نمی توان از فرمول مشخص شده برای محاسبه جرم استفاده کرد.
محاسبه جرم یک استوانه توخالی
جالب است که محاسبه کنیم اگر یک استوانه مسی داخل آن خالی باشد چه جرمی خواهد داشت. به عنوان مثال، اجازه دهید از یک ورق مسی نازک با ضخامت تنها d=2 میلی متر ساخته شود.
برای حل این مشکل، باید حجم خود مس را که جسم از آن ساخته شده است، پیدا کنید. حجم سیلندر نیست. چون ضخامتورق در مقایسه با ابعاد استوانه کوچک است (d=2 میلی متر و r=10 سانتی متر)، سپس حجم مسی که جسم از آن ساخته شده است را می توان با ضرب کل سطح استوانه در عدد بدست آورد. ضخامت ورق مس را دریافت می کنیم: V=dS 3=d2pir(r+h). با جایگزینی داده های مسئله قبلی، به دست می آوریم: V=0.223، 1410(10+10)=251.2 cm3. جرم یک استوانه توخالی را می توان با ضرب حجم مس به دست آمده که برای ساخت آن لازم بود در چگالی مس بدست آورد: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 گرم یا 2.3 کیلوگرم. یعنی وزن استوانه توخالی در نظر گرفته شده 12 (28، 1/2، 3) برابر کمتر از یک استوانه همگن است.
