تابع معکوس. تئوری و کاربرد

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در ریاضیات، توابع معکوس عباراتی متناظر متقابل هستند که به یکدیگر تبدیل می شوند. برای درک این که این به چه معناست، ارزش بررسی یک مثال خاص را دارد. فرض کنید y=cos(x) داریم. اگر کسینوس را از آرگومان بگیریم، می‌توانیم مقدار y را پیدا کنیم. بدیهی است که برای این کار باید x داشته باشید. اما اگر بازیکن در ابتدا داده شود چه؟ اینجاست که به اصل موضوع می رسد. برای حل مشکل، استفاده از تابع معکوس مورد نیاز است. در مورد ما، این کسینوس قوس است.

بعد از همه تبدیل ها، به دست می آوریم: x=arccos(y).

یعنی برای یافتن یک تابع معکوس با یک تابع، فقط یک استدلال از آن بیان کنید. اما این تنها در صورتی کار می کند که نتیجه یک مقدار واحد داشته باشد (در ادامه در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد).

به طور کلی، این واقعیت را می توان به صورت زیر نوشت: f(x)=y، g(y)=x.

تعریف

بگذارید f تابعی باشد که دامنه آن مجموعه X و استمحدوده مقادیر مجموعه Y است. سپس، اگر g وجود داشته باشد که دامنه‌های آن وظایف مخالف را انجام دهند، آنگاه f قابل برگشت است.

علاوه بر این، در این مورد g منحصر به فرد است، به این معنی که دقیقاً یک تابع وجود دارد که این ویژگی را برآورده می کند (نه بیشتر، نه کمتر). سپس تابع معکوس نامیده می شود و در نوشتن به صورت زیر نشان داده می شود: g(x)=f ^-1(x).

به عبارت دیگر، آنها را می توان به عنوان یک رابطه باینری مشاهده کرد. برگشت پذیری تنها زمانی رخ می دهد که یک عنصر از مجموعه با یک مقدار از مقدار دیگر مطابقت داشته باشد.

همیشه تابع معکوس وجود ندارد. برای انجام این کار، هر عنصر y є Y باید حداکثر با یک x є X مطابقت داشته باشد. سپس f را یک به یک یا تزریق می نامند. اگر f ^-1 متعلق به Y باشد، هر عنصر از این مجموعه باید با مقداری x ∈ X مطابقت داشته باشد. اگر Y یک تصویر f باشد، طبق تعریف وجود دارد، اما همیشه اینطور نیست. برای معکوس بودن، یک تابع باید هم تزریقی و هم تزریقی باشد. چنین عباراتی را بیجکشن می نامند.

مثال: توابع مربع و ریشه

این تابع روی [0، ∞) تعریف شده و با فرمول f (x)=x².

ارائه می شود.

پس تزریقی نیست، زیرا هر پیامد ممکن Y (به جز 0) مربوط به دو X مختلف است - یکی مثبت و دیگری منفی، بنابراین قابل برگشت نیست. در این صورت، به دست آوردن داده های اولیه از داده های دریافتی غیرممکن خواهد بود، که در تضاد استنظریه ها. غیر تزریقی خواهد بود.

اگر دامنه تعریف به صورت مشروط به مقادیر غیر منفی محدود شود، همه چیز مانند قبل کار خواهد کرد. سپس دوطرفه و در نتیجه معکوس است. تابع معکوس در اینجا مثبت نامیده می شود.

نکته در مورد ورود

اجازه دهید عنوان f ^-1 (x) ممکن است شخص را گیج کند، اما در هیچ موردی نباید اینطور استفاده شود: (f (x)) ^{- 1} . این به مفهوم ریاضی کاملاً متفاوتی اشاره دارد و ربطی به تابع معکوس ندارد.

به عنوان یک قانون کلی، برخی از نویسندگان از عباراتی مانند sin^-1 (x).

استفاده می کنند

با این حال، دیگر ریاضیدانان معتقدند که این می تواند باعث سردرگمی شود. برای جلوگیری از چنین مشکلاتی، توابع مثلثاتی معکوس اغلب با پیشوند "قوس" (از کمان لاتین) نشان داده می شوند. در مورد ما، ما در مورد آرکسین صحبت می کنیم. همچنین می توانید گهگاه پیشوند "ar" یا "inv" را برای برخی توابع دیگر ببینید.