در ریاضیات، جمع (که با نماد بزرگ یونانی سیگما مشخص می شود) مجموعه ای از جمع اعداد است. مقدار آن چقدر است؟ این نتیجه چنین اقدامی است. اگر اعداد یکی پس از دیگری از چپ به راست جمع شوند، نتیجه میانی یک جمع جزئی است.
مقدار چقدر است؟
اعدادی که باید جمع شوند می توانند اعداد صحیح، گویا، واقعی یا مختلط باشند. علاوه بر آنها، انواع دیگری از مقادیر را می توان اضافه کرد: بردارها، ماتریس ها، چند جمله ای ها، و به طور کلی عناصر هر گروه افزایشی (یا حتی یک مونوئید).
اگر تعداد عناصر عبارات محدود باشد، جمع بندی همیشه یک مقدار کاملاً تعریف شده به دست می دهد. مجموع یک دنباله نامتناهی از مقادیر را یک سری می گویند. مقدار آن را اغلب می توان با استفاده از یک حد تعیین کرد (اگرچه گاهی اوقات مقدار می تواند بی نهایت باشد).
دنباله
جمع اعداد [3، 7، 2، 1] را می توان با عبارتی تعریف کرد که مقدار آن مجموع ارقام موجود در آن است، به عنوان مثال 3 + 7 + 2 + 1=13. علاوه بر ایناز نظر انجمنی، مجموع به نحوه گروه بندی عبارات بستگی ندارد، به عنوان مثال، (3 + 7) + (2 + 1) و 3 + ((7 + 2) + 1) هر دو برابر نه هستند، بنابراین معمولاً از پرانتز صرف نظر می شود.. جمع نیز جابه‌جایی است، بنابراین مرتب کردن مجدد عبارت‌ها، مقدار مجموع را تغییر نمی‌دهد. توجه داشته باشید که این ویژگی ممکن است برای جمع بی نهایت کار نکند.
هیچ علامت خاصی برای جمع کردن دنباله هایی از این نوع وجود ندارد. اگر کمتر از دو عنصر وجود داشته باشد، فقط یک تفاوت جزئی وجود دارد. جمع یک دنباله از یک عضو دارای علامت مثبت نیست (از شکل خود عدد قابل تشخیص نیست) و اگر هیچ عنصری وجود نداشته باشد، حتی نمی توان آن را نوشت (اما در عوض می توان آن را با علامت نشان داد. مقدار آن "0"). با این حال، اگر شرایط دنباله با یک الگوی خاص، مانند یک تابع، مشخص شود، عملگر جمع می‌تواند مفید یا حتی ضروری باشد.
رکورد
برای درک اینکه یک مجموع چیست، لازم است ظاهر آن را نیز تجزیه کنید.
برای جمع کردن دنباله ای از اعداد صحیح از 1 تا 100، اغلب از عبارتی استفاده می شود که شامل یک بیضی برای نشان دادن اعضای گمشده است: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100. در این مثال به راحتی قابل مشاهده است. با این حال، برای گزینه های پیچیده تر، لازم است دقیقاً قاعده مورد استفاده برای یافتن مقدار عناصر مشخص شود که با استفاده از عملگر جمع "Σ" قابل دستیابی است. با استفاده از این نماد (سیگما)، می توانید نماد زیر را اعمال کنید:
مقدار این عبارت 5050 است. می توان آن را با استفاده از استقراء ریاضی یافت که قسمت دوم فرمول از آنجا آمده است.
برای توالی های مختلف، فرمول تغییر می کند. فرآیند ضبط به جستجوی پیش‌تصویر یک توالی نامتناهی و سپس توصیف آن با یک فرمول خلاصه می‌شود. پس از انجام این کار، درک مقدار آن در یک مورد خاص دشوار نیست.
هنگامی که لازم است توضیح دهیم که اعداد با علائم آنها (به اضافه یا منفی) جمع می شوند، از اصطلاح جمع جبری استفاده می شود. برای مثال، در تئوری مدارهای الکتریکی، قوانین مدار کیرشهوف مجموع جبری جریان‌ها را در شبکه‌ای از رساناها در نظر می‌گیرد که در نقطه‌ای به هم می‌رسند و به جریان‌هایی که در داخل و خارج از یک گره می‌روند، علائم مخالف می‌دهند.
