چهارضلعی محاط شده در دایره. چهار ضلعی ABCD در یک دایره حک شده است

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

با تقسیم ریاضیات به جبر و هندسه، مطالب آموزشی دشوارتر می شود. چهره های جدید و موارد خاص آنها ظاهر می شود. برای اینکه مطالب را به خوبی درک کنیم، باید مفاهیم، خواص اشیاء و قضایای مربوط به آن را مطالعه کنیم.

مفاهیم کلی

چهارضلعی به معنای شکل هندسی است. از 4 نقطه تشکیل شده است. علاوه بر این، 3 مورد از آنها در یک خط مستقیم قرار ندارند. بخش هایی وجود دارند که نقاط مشخص شده را به صورت سری به هم متصل می کنند.

کلیه چهارضلعی های مورد مطالعه در درس هندسه مدرسه در نمودار زیر نشان داده شده است. نتیجه گیری: هر شی از شکل ارائه شده دارای ویژگی های شکل قبل است.

یک چهارضلعی می تواند از انواع زیر باشد:

• متوازی الاضلاع. توازی اضلاع مقابل آن با قضایای مربوطه ثابت می شود.
• ذوزنقه. چهارضلعی با پایه های موازی. دو طرف دیگر نیستند.
• مستطیل. شکلی که هر 4 گوشه را دارد=90º.
• لوزی. رقمی با همه اضلاع برابر است.
• مربع. ویژگی های دو شکل آخر را ترکیب می کند. همه اضلاع آن برابر است و همه زوایای آن قائم است.

تعریف اصلی این مبحث یک چهارضلعی است که در یک دایره حک شده است. شامل موارد زیر است. این شکلی است که دور آن یک دایره توصیف شده است. باید از تمام رئوس عبور کند. مجموع زوایای داخلی یک چهارضلعی که در یک دایره محاط شده است به 360 درجه می رسد.

هر چهارضلعی را نمی توان نوشت. این به این دلیل است که ممکن است نیمسازهای عمود بر 4 ضلع در یک نقطه قطع نشوند. این امر یافتن مرکز دایره‌ای که یک ضلعی را در بر می‌گیرد غیرممکن می‌کند.

موارد ویژه

برای هر قانون استثنا وجود دارد. بنابراین، در این تاپیک موارد خاصی نیز وجود دارد:

• یک متوازی الاضلاع، به این ترتیب، نمی تواند در یک دایره محاط شود. فقط مورد خاصش این یک مستطیل است.
• اگر همه رئوس یک لوزی روی خط محدود قرار گیرند، آن یک مربع است.
• همه رئوس ذوزنقه در مرز دایره قرار دارند. در این مورد، آنها از یک شکل متساوی الساقین صحبت می کنند.

ویژگی های چهارضلعی محاط شده در دایره

قبل از حل مسائل ساده و پیچیده در مورد یک موضوع خاص، باید دانش خود را تأیید کنید. بدون مطالعه مطالب آموزشی، حل یک مثال غیر ممکن است.

قضیه 1

مجموع زوایای مقابل یک چهارضلعی که در یک دایره محاط شده است 180 درجه است.

اثبات

با توجه به: ABCD چهار ضلعی در دایره محاط شده است. مرکز آن نقطه O است. باید ثابت کنیم که _<A + _<C=180º و _< B + _<D=180º.

باید ارقام ارائه شده را در نظر بگیرید.

1. _{<A در دایره ای در مرکز نقطه O حک شده است. از طریق ½ BCD (نیم قوس) اندازه گیری می شود.}
2. _{<C در همان دایره حک شده است. از طریق ½ BAD (نیمه قوس) اندازه گیری می شود.}
3. BAD و BCD یک دایره کامل تشکیل می دهند، یعنی قدر آنها 360 درجه است.
4. _<A + _{<C برابر است با نصف مجموع نیم‌کمان‌های نشان‌داده‌شده.}
5. بنابراین _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

به روشی مشابه، اثبات _<B و _{<D. با این حال، راه حل دومی برای مشکل وجود دارد.}

1. معلوم است که مجموع زوایای داخلی یک چهارضلعی 360 درجه است.
2. زیرا _<A + _<C=180º. بر این اساس، _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

قضیه 2

(اغلب معکوس نامیده می شود) اگر در یک چهار ضلعی _<A + _<C=180º و _{<B +} <_{D=180º (اگر مخالف باشند)، پس می توان یک دایره را در اطراف چنین شکلی توصیف کرد.}

اثبات

مجموع زوایای مقابل چهار ضلعی ABCD برابر با 180 درجه داده شده است. _<A + _<C=180º، _<B +_{<D=180º. ما باید ثابت کنیم که یک دایره را می توان به دور ABCD محصور کرد.}

از درس هندسه مشخص می شود که می توان یک دایره را از طریق 3 نقطه از یک چهارضلعی رسم کرد. به عنوان مثال، می توانید از نقاط A، B، C استفاده کنید. نقطه D در کجا قرار خواهد گرفت؟ 3 حدس وجود دارد:

1. او به داخل دایره می رسد. در این مورد، D خط را لمس نمی کند.
2. خارج از دایره. او خیلی فراتر از خط مشخص شده قدم می گذارد.
3. روی یک دایره معلوم می شود.

باید فرض کرد که D داخل دایره است. جای راس نشان داده شده توسط D´ اشغال شده است. معلوم می شود ABCD' چهار ضلعی.

نتیجه این است:_<B + _{<D´=2 روز.}

اگر AD´ را تا تقاطع دایره موجود در مرکز نقطه E ادامه دهیم و E و C را به هم وصل کنیم، یک چهار ضلعی ABCE به دست می‌آوریم. از قضیه اول برابری حاصل می شود:

طبق قوانین هندسه، عبارت معتبر نیست زیرا _<D' گوشه بیرونی مثلث CD´E است. بر این اساس، باید بیشتر از _{<E باشد. از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که D باید روی دایره یا خارج از آن باشد.}

به طور مشابه، فرض سوم زمانی که D´´ از مرز شکل توصیف شده فراتر رود، می تواند اشتباه باشد.

از دو فرضیه تنها فرضیه صحیح به دست می آید. راس D روی خط دایره قرار دارد. به عبارت دیگر، D با E منطبق است. بنابراین تمام نقاط چهارضلعی روی خط توصیف شده قرار دارند.

از اینهادو قضیه، پیامدهای آن عبارتند از:

هر مستطیلی را می توان در یک دایره حک کرد. پیامد دیگری هم دارد. یک دایره را می توان دور هر مستطیلی محصور کرد

ذوزنقه با باسن مساوی را می توان به صورت دایره ای حک کرد. به عبارت دیگر، به نظر می رسد: یک دایره را می توان در اطراف یک ذوزنقه با لبه های مساوی توصیف کرد

چند مثال

مسئله 1. ABCD چهار ضلعی در یک دایره محاط شده است. _<ABC=105º، _<CAD=35º. باید _{<ABD را پیدا کنید. پاسخ باید بر حسب درجه نوشته شود.}

تصمیم. در ابتدا ممکن است یافتن پاسخ دشوار به نظر برسد.

1. شما باید ویژگی های این موضوع را به خاطر بسپارید. یعنی: مجموع زوایای مقابل=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

در هندسه، بهتر است به این اصل پایبند باشید: هر چیزی را که می توانید پیدا کنید. بعدا مفید خواهد بود.

2. مرحله بعدی: از قضیه مجموع مثلث استفاده کنید.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<<ADC=180º – 75º=70º}

_<ABD و _{<ACD درج شده است. طبق شرط، آنها بر یک قوس تکیه می کنند. بر این اساس، آنها مقادیر مساوی دارند:}

_<ABD=_<ACD=70º

پاسخ: _<ABD=70º.

مسئله 2. BCDE یک چهارضلعی محاط شده در یک دایره است. _<B=69º، _<C=84º. مرکز دایره نقطه E است. پیدا کنید - _<E.

تصمیم.

1. باید _{<E را با قضیه 1 پیدا کرد.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

پاسخ: _{< E=96º.}

مسئله 3. یک چهار ضلعی در یک دایره در نظر گرفته شده است. داده ها در شکل نشان داده شده است. یافتن مقادیر مجهول x، y، z ضروری است.

راه حل:

z=180º – 93º=87º (توسط قضیه 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (توسط قضیه 1)

پاسخ: z=87º، x=82º، y=98º.

مسئله 4. یک چهارضلعی وجود دارد که در یک دایره محاط شده است. مقادیر در شکل نشان داده شده است. x, y را پیدا کنید.

راه حل:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

پاسخ: x=100º، y=109º.

مشکلات برای راه حل مستقل

مثال 1. یک دایره در نظر گرفته شده است. مرکز آن نقطه O است. AC و BD قطر دارند. _<ACB=38º. باید _{<AOD را پیدا کنید. پاسخ باید بر حسب درجه داده شود.}

مثال 2. یک ABCD چهار ضلعی و دایره ای که دور آن محصور شده است را در نظر می گیریم. _<ABC=110º، _<ABD=70º. _{<CAD را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بنویسید.}

مثال 3. یک دایره و یک چهار ضلعی محاطی ABCD داده می شود. دو زاویه آن 82 درجه و58 درجه باید بزرگ‌ترین زاویه‌های باقی‌مانده را پیدا کنید و پاسخ را بر حسب درجه بنویسید.

مثال 4. ABCD چهارضلعی داده شده است. زوایای A، B، C به نسبت 1:2:3 آورده شده است. در صورتی که بتوان چهارضلعی مشخص شده را در دایره ای محاط کرد، باید زاویه D را پیدا کرد. پاسخ باید بر حسب درجه داده شود.

مثال 5. ABCD چهارضلعی داده شده است. اضلاع آن قوس هایی از دایره محدود شده را تشکیل می دهند. مقادیر درجه AB، BC، CD و AD به ترتیب عبارتند از: 78˚، 107˚، 39˚، 136˚. باید _{< را از چهار گوش داده شده پیدا کنید و پاسخ را بر حسب درجه بنویسید.}