در هندسه، پس از یک نقطه، یک خط مستقیم شاید ساده ترین عنصر باشد. در ساخت هر شکل پیچیده در هواپیما و در فضای سه بعدی استفاده می شود. در این مقاله معادله کلی خط مستقیم را در نظر می گیریم و با استفاده از آن چند مسئله را حل می کنیم. بیایید شروع کنیم!
خط مستقیم در هندسه
همه می دانند که اشکالی مانند مستطیل، مثلث، منشور، مکعب و غیره از تقاطع خطوط مستقیم تشکیل می شوند. خط مستقیم در هندسه جسمی تک بعدی است که می توان آن را با انتقال نقطه معینی به بردار با جهت یکسان یا مخالف به دست آورد. برای درک بهتر این تعریف، تصور کنید که نقطه ای P در فضا وجود دارد. یک بردار دلخواه u¯ در این فضا بگیرید. سپس هر نقطه Q از خط را می توان در نتیجه عملیات ریاضی زیر به دست آورد:
Q=P + λu¯.
در اینجا λ یک عدد دلخواه است که می تواند مثبت یا منفی باشد. اگر برابریدر بالا بر حسب مختصات بنویسید، سپس معادله خط مستقیم زیر را بدست می آوریم:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a، b، c).
این برابری را معادله یک خط مستقیم به صورت برداری می نامند. و بردار u¯ یک راهنما نامیده می شود.
معادله عمومی یک خط مستقیم در یک صفحه
هر دانش آموزی می تواند بدون هیچ مشکلی آن را یادداشت کند. اما اغلب معادله به این صورت نوشته می شود:
y=kx + b.
که در آن k و b اعداد دلخواه هستند. عدد b عضو آزاد نامیده می شود. پارامتر k برابر است با مماس زاویه تشکیل شده از تقاطع خط مستقیم با محور x.
معادله فوق با توجه به متغیر y بیان می شود. اگر آن را به شکل کلی تر ارائه کنیم، نماد زیر را دریافت می کنیم:
Ax + By + C=0.
به راحتی می توان نشان داد که این شکل از نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه به راحتی به شکل قبلی تبدیل می شود. برای این کار باید قسمت چپ و راست را بر ضریب B تقسیم کرده و y را بیان کنیم.
شکل بالا یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو نقطه می گذرد.
یک خط در فضای سه بعدی
بیایید به مطالعه خود ادامه دهیم. ما این سوال را در نظر گرفتیم که چگونه معادله یک خط مستقیم در یک فرم کلی در یک صفحه داده می شود. اگر نماد داده شده در بند قبلی مقاله را برای حالت فضایی اعمال کنیم، چه چیزی بدست می آوریم؟ همه چیز ساده است - دیگر یک خط مستقیم نیست، بلکه یک هواپیما است. در واقع، عبارت زیر صفحه‌ای را توصیف می‌کند که با محور z موازی است:
Ax + By + C=0.
اگر C=0 باشد، چنین صفحه ای عبور می کنداز طریق محور z این یک ویژگی مهم است.
پس چگونه با معادله کلی یک خط مستقیم در فضا باشیم؟ برای درک چگونگی پرسیدن آن، باید چیزی را به خاطر بسپارید. دو صفحه در امتداد یک خط مستقیم قطع می شوند. این یعنی چی؟ فقط این که معادله کلی حاصل حل یک سیستم دو معادله برای هواپیماها است. بیایید این سیستم را بنویسیم:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
این سیستم معادله کلی یک خط مستقیم در فضا است. توجه داشته باشید که صفحات نباید موازی یکدیگر باشند، یعنی بردارهای عادی آنها باید در زاویه ای نسبت به یکدیگر متمایل شوند. در غیر این صورت، سیستم هیچ راه حلی نخواهد داشت.
در بالا شکل برداری معادله را برای یک خط مستقیم ارائه کردیم. هنگام حل این سیستم استفاده از آن راحت است. برای این کار ابتدا باید حاصلضرب بردار نرمال های این هواپیماها را پیدا کنید. نتیجه این عملیات بردار جهت یک خط مستقیم خواهد بود. سپس، هر نقطه متعلق به خط باید محاسبه شود. برای انجام این کار، باید هر یک از متغیرها را برابر با یک مقدار مشخص قرار دهید، دو متغیر باقیمانده را می توان با حل سیستم کاهش یافته پیدا کرد.
چگونه یک معادله برداری را به یک معادله عمومی تبدیل کنیم؟ تفاوت های ظریف
این یک مشکل واقعی است که می تواند در صورت نیاز به نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم با استفاده از مختصات شناخته شده دو نقطه ایجاد شود.اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مشکل با یک مثال حل می شود. مختصات دو نقطه مشخص شود:
- P=(x1، y1);
- Q=(x2، y2).
معادله به شکل برداری بسیار آسان است. مختصات بردار جهت عبارتند از:
PQ=(x2-x1، y2-y 1).
توجه داشته باشید که اگر مختصات Q را از مختصات نقطه P کم کنیم، بردار فقط جهت خود را به سمت مخالف تغییر می دهد. حالا باید هر نقطه ای را بگیرید و معادله برداری را بنویسید:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1، y2-y1).
برای نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم، پارامتر λ باید در هر دو حالت بیان شود. و سپس نتایج را مقایسه کنید. ما داریم:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
فقط باز کردن پرانتزها و انتقال تمام عبارت های معادله به یک طرف معادله باقی می ماند تا یک عبارت کلی برای خط مستقیمی که از دو نقطه شناخته شده می گذرد به دست آوریم.
در مورد یک مسئله سه بعدی، الگوریتم حل حفظ می شود، فقط نتیجه آن یک سیستم دو معادله برای صفحات خواهد بود.
وظیفه
لازم است یک معادله کلی بسازیمیک خط مستقیم که محور x را در (3-، 0) قطع می کند و با محور y موازی است.
حل مسئله را با نوشتن معادله به صورت برداری شروع می کنیم. از آنجایی که خط با محور y موازی است، بردار هدایت کننده آن به صورت زیر خواهد بود:
u¯=(0، 1).
سپس خط مورد نظر به صورت زیر نوشته می شود:
(x، y)=(-3، 0) + λ(0، 1).
حالا بیایید این عبارت را به شکل کلی ترجمه کنیم، برای این پارامتر λ: را بیان می کنیم.
- x=-3;
- y=λ.
بنابراین، هر مقدار از متغیر y متعلق به خط است، با این حال، تنها مقدار واحد متغیر x با آن مطابقت دارد. بنابراین، معادله کلی به این شکل خواهد بود:
x + 3=0.
مشکل با خط مستقیم در فضا
مشخص است که دو صفحه متقاطع با معادلات زیر به دست می آیند:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
لازم است معادله برداری خط مستقیمی را که این صفحات در امتداد آن قطع می کنند، پیدا کنیم. بیایید شروع کنیم.
همانطور که گفته شد، معادله کلی یک خط مستقیم در فضای سه بعدی قبلاً به صورت سیستم دو با سه مجهول ارائه شده است. اول از همه، بردار جهتی را تعیین می کنیم که صفحات در امتداد آن قطع می شوند. با ضرب مختصات بردار نرمال ها در صفحات، به دست می آید:
u¯=[(2، 1، -1)(1، -2، 0)]=(-2، -1، -5).
از آنجایی که ضرب یک بردار در یک عدد منفی جهت آن را معکوس می کند، می توانیم بنویسیم:
u¯=-1(-2، -1، -5)=(2، 1، 5).
بهبرای یافتن یک عبارت برداری برای یک خط مستقیم، علاوه بر بردار جهت، باید نقطه ای از این خط مستقیم را نیز دانست. پیدا کنید چون مختصات آن باید سیستم معادلات را در شرایط مسئله برآورده کند، سپس آنها را پیدا خواهیم کرد. برای مثال، x=0 را قرار می دهیم، سپس می گیریم:
y=z;
y=3/2=1، 5.
بنابراین، نقطه متعلق به خط مستقیم مورد نظر دارای مختصات است:
P=(0، 1، 5، 1، 5).
سپس پاسخ این مسئله را می گیریم، معادله برداری خط مورد نظر به شکل زیر خواهد بود:
(x، y، z)=(0، 1، 5، 1، 5) + λ(2، 1، 5).
صحت راه حل را می توان به راحتی بررسی کرد. برای انجام این کار، باید مقدار دلخواه پارامتر λ را انتخاب کنید و مختصات به دست آمده از نقطه خط مستقیم را در هر دو معادله برای صفحات جایگزین کنید، در هر دو حالت یک هویت خواهید داشت.
