هواپیما در فضا. محل قرارگیری هواپیماها در فضا

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

صفحه یک شی هندسی است که از ویژگی های آن هنگام ساختن برجستگی نقاط و خطوط و همچنین هنگام محاسبه فواصل و زوایای دو وجهی بین عناصر اشکال سه بعدی استفاده می شود. بیایید در این مقاله در نظر بگیریم که از چه معادلاتی می توان برای مطالعه مکان هواپیماها در فضا استفاده کرد.

تعریف هواپیما

همه به طور شهودی تصور می کنند که چه شی مورد بحث قرار خواهد گرفت. از دیدگاه هندسی، صفحه مجموعه ای از نقاط است که هر بردار بین آنها باید عمود بر یک بردار باشد. به عنوان مثال، اگر m نقاط مختلف در فضا وجود داشته باشد، می توان از آنها m(m-1) / 2 بردار مختلف ساخت و نقاط را به صورت جفت به هم متصل کرد. اگر همه بردارها بر یک جهت عمود باشند، این شرط کافی است که همه نقاط m به یک صفحه تعلق داشته باشند.

معادله کلی

در هندسه فضایی، یک صفحه با استفاده از معادلاتی توصیف می شود که معمولاً شامل سه مختصات مجهول مربوط به محورهای x، y و z است. بهمعادله کلی را در مختصات صفحه در فضا بدست آورید، فرض کنید یک بردار n¯(A; B; C) و یک نقطه M (x₀؛ y_{0 وجود دارد.} ؛ z_{0). با استفاده از این دو شی، هواپیما را می توان به طور منحصر به فرد تعریف کرد.}

در واقع، فرض کنید نقطه دوم P(x; y; z) وجود دارد که مختصات آن ناشناخته است. طبق تعریفی که در بالا داده شد، بردار MP¯ باید عمود بر n باشد، یعنی حاصل ضرب اسکالر برای آنها برابر با صفر است. سپس می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:

(n¯MP¯)=0 یا

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

با باز کردن پرانتزها و معرفی ضریب D جدید، عبارت: را دریافت می کنیم.

Ax + By + Cz + D=0 که در آن D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

این عبارت را معادله کلی برای صفحه می نامند. یادآوری این نکته مهم است که ضرایب جلوی x، y و z مختصات بردار n¯(A; B; C) را عمود بر صفحه تشکیل می دهند. منطبق با حالت عادی است و راهنمای هواپیما است. برای تعیین معادله کلی، فرقی نمی کند که این بردار به کجا هدایت شود. یعنی صفحات ساخته شده بر روی بردارهای n¯ و -n¯ یکسان خواهند بود.

شکل بالا یک صفحه، یک بردار معمولی با آن، و یک خط عمود بر صفحه را نشان می دهد.

قطعات قطع شده توسط صفحه روی محورها و معادله مربوطه

معادله عمومی امکان استفاده از عملیات ساده ریاضی را برای تعیین، دردر چه نقاطی هواپیما محورهای مختصات را قطع خواهد کرد. دانستن این اطلاعات برای داشتن ایده در مورد موقعیت هواپیما و همچنین هنگام به تصویر کشیدن آن در نقشه ها مهم است.

برای تعیین نقاط تقاطع نامگذاری شده، از یک معادله در بخش ها استفاده می شود. به این دلیل نامیده می شود که به صراحت حاوی مقادیر طول قطعات بریده شده توسط صفحه در محورهای مختصات، هنگام شمارش از نقطه (0؛ 0؛ 0) است. بیایید این معادله را بدست آوریم.

عبارت کلی برای هواپیما را به صورت زیر بنویسید:

Ax + By + Cz=-D

قسمت چپ و راست را می توان بر -D بدون نقض تساوی تقسیم کرد. ما داریم:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 یا

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

مخرج هر عبارت را با یک نماد جدید طراحی کنید، دریافت می کنیم:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C سپس

x/p + y/q + z/r=1

این معادله ای است که در قسمت های بالا ذکر شد. از آن نتیجه می شود که مقدار مخرج هر جمله مختصات تقاطع با محور متناظر صفحه را نشان می دهد. به عنوان مثال، محور y را در نقطه (0; q; 0) قطع می کند. اگر مختصات صفر x و z را در معادله جایگزین کنید، درک این موضوع آسان است.

توجه داشته باشید که اگر هیچ متغیری در معادله در بخش‌ها وجود نداشته باشد، به این معنی است که صفحه محور مربوطه را قطع نمی‌کند. به عنوان مثال، با توجه به عبارت:

x/p + y/q=1

این بدان معناست که صفحه به ترتیب قطعات p و q را در محور x و y قطع می کند، اما با محور z موازی خواهد بود.

نتیجه گیری در مورد رفتار هواپیما در هنگامهمانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، عدم وجود یک متغیر در معادله او برای یک عبارت نوع عمومی نیز صادق است.

معادله پارامتری برداری

نوع سومی از معادله وجود دارد که امکان توصیف یک هواپیما در فضا را فراهم می کند. این بردار پارامتری نامیده می شود زیرا توسط دو بردار واقع در صفحه و دو پارامتری که می توانند مقادیر مستقل دلخواه را بگیرند به دست می آید. بیایید نشان دهیم که چگونه می توان این معادله را به دست آورد.

فرض کنید چند بردار شناخته شده شما وجود دارد.) و v¯(a₂؛ b₂؛ c₂). اگر موازی نباشند، می توان از آنها برای تنظیم یک صفحه خاص با ثابت کردن ابتدای یکی از این بردارها در یک نقطه M(x₀; y_{0 استفاده کرد.} ؛ z₀). اگر یک بردار دلخواه MP¯ را بتوان به صورت ترکیبی از بردارهای خطی u¯ و v¯ نشان داد، این بدان معناست که نقطه P(x; y; z) به همان صفحه u¯، v¯ تعلق دارد. بنابراین، می توانیم برابری را بنویسیم:

MP¯=αu¯ + βv¯

و یا نوشتن این برابری بر حسب مختصات، دریافت می کنیم:

(x; y; z)=(x₀؛ y₀؛ z₀) + α(a₁؛ b₁؛ c₁) + β(a ₂؛ b₂؛ c₂₎

برابری ارائه شده یک معادله برداری پارامتریک برای صفحه است. ATفضای برداری در صفحه u¯ و v¯ ژنراتور نامیده می شوند.

بعد، هنگام حل مسئله، نشان داده می شود که چگونه می توان این معادله را به یک شکل کلی برای یک صفحه کاهش داد.

زاویه بین هواپیماها در فضا

به طور شهودی، هواپیماها در فضای سه بعدی می توانند همدیگر را قطع کنند یا نه. در مورد اول، یافتن زاویه بین آنها جالب است. محاسبه این زاویه دشوارتر از زاویه بین خطوط است، زیرا ما در مورد یک شی هندسی دو وجهی صحبت می کنیم. با این حال، بردار راهنمای قبلا ذکر شده برای هواپیما به کمک می آید.

از نظر هندسی ثابت شده است که زاویه دو وجهی بین دو صفحه متقاطع دقیقاً برابر با زاویه بین بردارهای راهنمای آنها است. بیایید این بردارها را با n₁¯ (a₁; b₁؛ c_{1 نشان دهیم) و n}2_¯(a2_{؛ b}2_{؛ c}2 _{). کسینوس زاویه بین آنها از حاصل ضرب اسکالر تعیین می شود. یعنی خود زاویه در فضای بین صفحات را می توان با فرمول محاسبه کرد:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

در اینجا مدول در مخرج برای حذف مقدار زاویه منفرد استفاده می شود (بین صفحات متقاطع همیشه کمتر یا مساوی 90o است).

به شکل مختصات، این عبارت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²₂)√(a²₂ + b²₂ + c ²²⁾⁾⁾

صفحه های عمود و موازی

اگر صفحات همدیگر را قطع کنند و زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط آنها 90o باشد، آنها عمود خواهند بود. نمونه ای از این هواپیماها یک منشور مستطیلی یا یک مکعب است. این شکل ها توسط شش صفحه تشکیل شده اند. در هر رأس شکل‌های نام‌گذاری شده سه صفحه عمود بر یکدیگر وجود دارد.

برای پی بردن به عمود بودن صفحات در نظر گرفته شده کافی است حاصل ضرب اسکالر بردارهای نرمال آنها را محاسبه کنیم. شرط کافی برای عمود بودن در فضای صفحات، مقدار صفر این محصول است.

موازی به صفحات غیر متقاطع گفته می شود. گاهی نیز گفته می شود که صفحات موازی در بی نهایت همدیگر را قطع می کنند. شرط موازی بودن در فضای صفحات با آن شرط برای بردارهای جهت n₁¯ و n_{2¯ منطبق است. شما می توانید آن را به دو روش بررسی کنید:}

کسینوس زاویه دو وجهی (cos(φ)) را با استفاده از حاصل ضرب اسکالر محاسبه کنید. اگر صفحات موازی باشند، مقدار آن 1 خواهد بود.

سعی کنید با ضرب در یک عدد، یک بردار را از طریق دیگری نشان دهید، یعنی n₁¯=kn_{2¯. اگر می توان این کار را انجام داد، پس هواپیماهای مربوطه هستندموازی.}

شکل دو صفحه موازی را نشان می دهد.

حالا با استفاده از دانش ریاضی به دست آمده مثال هایی از حل دو مسئله جالب می آوریم.

چگونه یک فرم کلی از یک معادله برداری بدست آوریم؟

این یک عبارت برداری پارامتریک برای یک صفحه است. برای سهولت در درک جریان عملیات و ترفندهای ریاضی مورد استفاده، یک مثال خاص را در نظر بگیرید:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

این عبارت را گسترش دهید و پارامترهای مجهول را بیان کنید:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

سپس:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

با باز کردن پرانتز در آخرین عبارت، دریافت می کنیم:

z=2x-2 + 3y - 6 یا

2x + 3y - z - 8=0

شکل کلی معادله را برای صفحه مشخص شده در بیان مسئله به صورت برداری به دست آورده ایم

چگونه یک هواپیما از طریق سه نقطه بسازیم؟

در صورتی که این نقاط به یک خط مستقیم تعلق نداشته باشند، می توان یک صفحه را از سه نقطه عبور داد. الگوریتم برای حل این مشکل شامل دنباله اقدامات زیر است: