منشور شش ضلعی و مشخصات اصلی آن

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

هندسه فضایی مطالعه منشورها است. ویژگی های مهم آنها حجم موجود در آنها، مساحت سطح و تعداد عناصر تشکیل دهنده است. در مقاله، تمام این ویژگی ها را برای یک منشور شش ضلعی در نظر خواهیم گرفت.

در مورد کدام منشور صحبت می کنیم؟

منشور شش ضلعی شکلی است که توسط دو چند ضلعی با شش ضلع و شش زاویه و شش متوازی الاضلاع تشکیل شده است که شش ضلعی های مشخص شده را به یک شکل هندسی متصل می کند.

شکل نمونه ای از این منشور را نشان می دهد.

هگزاگونی که با رنگ قرمز مشخص شده است، قاعده شکل نامیده می شود. بدیهی است که تعداد پایه های آن برابر با دو است و هر دو یکسان هستند. وجوه زرد مایل به سبز یک منشور اضلاع آن نامیده می شود. در شکل آنها با مربع نشان داده شده اند، اما به طور کلی متوازی الاضلاع هستند.

منشور شش ضلعی می تواند مایل و مستقیم باشد. در حالت اول، زوایای بین پایه و اضلاع مستقیم نیستند، در حالت دوم برابر با 90o هستند. همچنین این منشور می تواند صحیح و نادرست باشد. شش ضلعی منظممنشور باید مستقیم باشد و یک شش ضلعی منظم در قاعده داشته باشد. منشور فوق در شکل این الزامات را برآورده می کند، بنابراین صحیح نامیده می شود. در ادامه مقاله فقط خواص آن را به عنوان یک مورد کلی بررسی خواهیم کرد.

عناصر

برای هر منشوری عناصر اصلی آن لبه ها، وجه ها و رئوس هستند. منشور شش ضلعی نیز از این قاعده مستثنی نیست. شکل بالا به شما امکان می دهد تعداد این عناصر را بشمارید. بنابراین، ما 8 وجه یا ضلع (دو پایه و شش متوازی الاضلاع جانبی) به دست می آوریم، تعداد راس ها 12 است (6 رأس برای هر قاعده)، تعداد یال های یک منشور شش ضلعی 18 (شش جانبی و 12 برای پایه ها) است..

در دهه 1750، لئونارد اویلر (ریاضی‌دان سوئیسی) برای همه چند وجهی‌ها، که شامل یک منشور، یک رابطه ریاضی بین اعداد عناصر نشان‌داده‌شده است، ایجاد کرد. این رابطه به نظر می رسد:

تعداد لبه ها=تعداد وجوه + تعداد رئوس - 2.

اعداد بالا این فرمول را برآورده می کند.

مورب منشور

همه مورب های یک منشور شش ضلعی را می توان به دو نوع تقسیم کرد:

• آنهایی که در صفحه های صورتش دراز می کشند؛
• کسانی که به کل حجم شکل تعلق دارند.

تصویر زیر همه این مورب ها را نشان می دهد.

می توان دید که D₁ قطر ضلعی است، D₂ و D_۳ است قطرهای کل منشور، D₄ و D_{5 - قطرهای پایه.}

طول قطرهای اضلاع با هم برابر است.محاسبه آنها با استفاده از قضیه معروف فیثاغورث آسان است. بگذارید a طول ضلع شش ضلعی، b طول لبه کناری باشد. سپس قطر دارای طول است:

D₁=√(a² + b^2).

تعیین

D₄ نیز آسان است. اگر به یاد بیاوریم که یک شش ضلعی منظم در دایره ای با شعاع a قرار می گیرد، D_{4 قطر این دایره است، یعنی فرمول زیر را به دست می آوریم:}

D_4=2a.

پیدا کردن پایه های

D₅ تا حدودی سخت تر است. برای انجام این کار، یک مثلث متساوی الاضلاع ABC را در نظر بگیرید (شکل را ببینید). برای او AB=BC=a، زاویه ABC 120^{o است. اگر ارتفاع را از این زاویه پایین بیاوریم (همچنین نیمساز و میانه خواهد بود)، نیمی از پایه AC برابر است با:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

ضلع AC مورب D_{5 است، بنابراین دریافت می کنیم:}

D_5=AC=√3a.

اکنون باقی مانده است که قطرهای D₂و D_{3 یک منشور شش ضلعی منظم را پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید ببینید که آنها هیپوتنوس مثلث های قائم الزاویه مربوطه هستند. با استفاده از قضیه فیثاغورث، دریافت می کنیم:}

D₂=√(D₄²+ b^۲)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

بنابراین، بزرگترین قطر برای هر مقدار از a و b استD_2.

مساحت سطح

برای درک آنچه در خطر است، ساده ترین راه این است که توسعه این منشور را در نظر بگیرید. در تصویر نشان داده شده است.

می توان دید که برای تعیین مساحت تمام اضلاع شکل مورد نظر، باید مساحت چهار ضلعی و مساحت شش ضلعی را جداگانه محاسبه کرد و سپس آنها را ضرب کرد. با اعداد صحیح مربوطه برابر با تعداد هر n-گون در منشور، و نتایج را اضافه کنید. شش ضلعی 2، مستطیل 6.

برای مساحت یک مستطیل به دست می آید:

S_1=ab.

پس مساحت سطح جانبی برابر است با:

S_2=6ab.

برای تعیین مساحت یک شش ضلعی، ساده ترین راه استفاده از فرمول مربوطه است که به نظر می رسد:

S=n/4a2ctg(pi/n).

با جایگزین کردن عدد n برابر با 6 در این عبارت، مساحت یک شش ضلعی را بدست می آوریم:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

این عبارت باید در دو ضرب شود تا مساحت پایه های منشور به دست آید:

S_os=3√3a^2.

باید S_os و S_{2 را اضافه کنید تا مساحت کل شکل را بدست آورید:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

حجم منشور

بعد از فرمول برایمساحت یک پایه شش ضلعی، محاسبه حجم موجود در منشور مورد نظر به آسانی پوست اندازی گلابی است. برای انجام این کار، فقط باید مساحت یک پایه (شش ضلعی) را در ارتفاع شکل ضرب کنید که طول آن برابر با طول لبه کناری است. ما فرمول را دریافت می کنیم:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

توجه داشته باشید که حاصل ضرب پایه و ارتفاع مقدار حجم مطلقاً هر منشور، از جمله منشور مایل را می دهد. با این حال، در مورد دوم، محاسبه ارتفاع پیچیده است، زیرا دیگر با طول دنده جانبی برابر نخواهد بود. در مورد یک منشور شش ضلعی منظم، مقدار حجم آن تابعی از دو متغیر است: اضلاع a و b.