منشور چهار ضلعی: ارتفاع، مورب، مساحت

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در دوره مدرسه هندسه جامد، یکی از ساده ترین شکل هایی که در امتداد سه محور فضایی دارای ابعاد غیر صفر است، منشور چهار گوش است. در مقاله در نظر بگیرید که چه نوع شکلی است، از چه عناصری تشکیل شده است، و همچنین چگونه می توانید سطح و حجم آن را محاسبه کنید.

مفهوم منشور

در هندسه، منشور یک شکل فضایی است که توسط دو پایه یکسان و سطح جانبی که دو طرف این پایه ها را به هم متصل می کنند، تشکیل می شود. توجه داشته باشید که هر دو پایه با استفاده از عملیات ترجمه موازی توسط برخی بردارها به یکدیگر تبدیل می شوند. این تخصیص منشور به این واقعیت منجر می شود که همه اضلاع آن همیشه متوازی الاضلاع هستند.

تعداد اضلاع پایه می تواند دلخواه باشد و از سه شروع شود. وقتی این عدد به بی نهایت میل می کند، منشور به آرامی به یک استوانه تبدیل می شود، زیرا قاعده آن به دایره تبدیل می شود و متوازی الاضلاع جانبی که به هم متصل می شوند، یک سطح استوانه ای را تشکیل می دهند.

مثل هر چند وجهی، منشور با این مشخصه مشخص می شوداضلاع (صفحه هایی که شکل را محدود می کنند)، لبه ها (قطعه هایی که هر دو ضلع آنها را قطع می کنند) و راس ها (نقاط تلاقی سه ضلع، برای یک منشور دو تا از آنها جانبی هستند و سومی پایه است). مقادیر سه عنصر نامگذاری شده شکل با عبارت زیر به هم مرتبط می شوند:

P=C + B - 2

در اینجا P، C و B به ترتیب تعداد یال ها، اضلاع و رئوس هستند. این عبارت نماد ریاضی قضیه اویلر است.

تصویر بالا دو منشور را نشان می دهد. در قاعده یکی از آنها (A) یک شش ضلعی منتظم قرار دارد و اضلاع کناری بر پایه ها عمود هستند. شکل B منشور دیگری را نشان می دهد. اضلاع آن دیگر بر پایه ها عمود نیستند و قاعده یک پنج ضلعی منظم است.

منشور چهار گوش چیست؟

همانطور که از توضیحات بالا مشخص است، نوع منشور در درجه اول با نوع چندضلعی که پایه را تشکیل می دهد تعیین می شود (هر دو پایه یکسان هستند، بنابراین می توانیم در مورد یکی از آنها صحبت کنیم). اگر این چند ضلعی متوازی الاضلاع باشد، منشور چهار ضلعی به دست می آید. بنابراین، تمام اضلاع این نوع منشور متوازی الاضلاع هستند. یک منشور چهار گوش نام خاص خود را دارد - متوازی الاضلاع.

تعداد اضلاع یک متوازی الاضلاع شش است و هر ضلع موازی مشابهی با آن دارد. از آنجایی که پایه های جعبه دو ضلعی هستند، چهار طرف باقی مانده جانبی هستند.

تعداد رئوس متوازی الاضلاع هشت است، که اگر به یاد داشته باشیم که رئوس منشور فقط در رئوس چند ضلعی های پایه تشکیل می شوند، به راحتی قابل مشاهده است (4x2=8). با استفاده از قضیه اویلر، تعداد یال ها را بدست می آوریم:

P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12

از 12 دنده، فقط 4 دنده به طور مستقل از طرفین تشکیل شده است. 8 باقیمانده در صفحات پایه های شکل قرار دارند.

در ادامه مقاله فقط در مورد منشورهای چهار گوش صحبت خواهیم کرد.

انواع متوازی الاضلاع

اولین نوع طبقه بندی ویژگی های متوازی الاضلاع زیرین است. ممکن است اینگونه به نظر برسد:

• منظم که زوایای آن برابر با 90 نیست^o;
• مستطیل;
• یک مربع یک چهارضلعی منظم است.

نوع دوم طبقه بندی زاویه ای است که ضلع از پایه عبور می کند. دو مورد مختلف در اینجا ممکن است:

• این زاویه مستقیم نیست، سپس منشور را مایل یا مایل می نامند؛
• زاویه 90^o است، پس چنین منشوری مستطیل یا مستقیم است.

سومین نوع طبقه بندی مربوط به ارتفاع منشور است. اگر منشور مستطیل باشد و قاعده آن مربع یا مستطیل باشد، به آن مکعب می گویند. اگر یک مربع در قاعده وجود داشته باشد، منشور مستطیل شکل است و ارتفاع آن برابر با طول ضلع مربع است، آنگاه شکل مکعب شناخته شده را به دست می آوریم.

سطح و مساحت منشور

مجموعه تمام نقاطی که روی دو پایه یک منشور قرار دارند(متوازی الاضلاع) و در اضلاع آن (چهار متوازی الاضلاع) سطح شکل را تشکیل می دهند. مساحت این سطح را می توان با محاسبه مساحت پایه و این مقدار برای سطح جانبی محاسبه کرد. سپس مجموع آنها مقدار مورد نظر را می دهد. از نظر ریاضی، این به صورت زیر نوشته می شود:

S=2S_o+ S_b

در اینجا S_o و S_b به ترتیب مساحت سطح پایه و کناری هستند. عدد 2 قبل از S_o ظاهر می شود زیرا دو پایه وجود دارد.

توجه داشته باشید که فرمول نوشته شده برای هر منشوری معتبر است و نه فقط برای مساحت یک منشور چهار گوش.

مفید است یادآوری کنیم که مساحت متوازی الاضلاع S_p با فرمول:

محاسبه می شود.

S_p=ah

که در آن نمادهای a و h به ترتیب طول یکی از اضلاع و ارتفاع کشیده شده به این سمت را نشان می دهند.

مساحت یک منشور مستطیل شکل با پایه مربع

در یک منشور چهارگوش منظم، قاعده یک مربع است. برای قطعیت، طرف آن را با حرف a نشان می دهیم. برای محاسبه مساحت یک منشور چهار گوش منظم باید ارتفاع آن را بدانید. طبق تعریفی که برای این کمیت وجود دارد، برابر است با طول عمودی که از یک قاعده به پایه دیگر افتاده است، یعنی برابر با فاصله بین آنها. بیایید آن را با حرف h نشان دهیم. از آنجایی که تمام وجوه جانبی برای نوع منشور مورد نظر بر پایه ها عمود هستند، ارتفاع یک منشور چهار گوش منظم برابر با طول لبه کناری آن خواهد بود.

Bفرمول کلی برای مساحت سطح یک منشور دو جمله است. مساحت پایه در این مورد به راحتی قابل محاسبه است، برابر است با:

S_o=a²

برای محاسبه مساحت سطح جانبی، به صورت زیر استدلال می کنیم: این سطح توسط 4 مستطیل یکسان تشکیل شده است. علاوه بر این، اضلاع هر یک از آنها برابر با a و h است. این بدان معنی است که مساحت S_b برابر است با:

S_b=4ah

توجه داشته باشید که حاصلضرب 4a محیط قاعده مربع است. اگر این عبارت را به یک پایه دلخواه تعمیم دهیم، آنگاه برای یک منشور مستطیلی سطح جانبی را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

S_b=P_oh

جایی که P_o محیط پایه است.

با بازگشت به مسئله محاسبه مساحت یک منشور چهار گوش منظم، می توانیم فرمول نهایی را بنویسیم:

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 ah=2a(a+2h)

مساحت یک متوازی الاضلاع مایل

محاسبه آن تا حدودی دشوارتر از یک مستطیل شکل است. در این حالت، مساحت پایه یک منشور چهار گوش با استفاده از فرمول مشابه برای متوازی الاضلاع محاسبه می شود. تغییرات مربوط به نحوه تعیین سطح جانبی است.

برای این کار، از همان فرمول در طول محیطی که در پاراگراف بالا داده شده است استفاده کنید. فقط اکنون ضریب های کمی متفاوت خواهد داشت. فرمول کلی S_b در مورد منشور مورب این است:

S_b=P_src

در اینجا c طول لبه کناری شکل است.مقدار P_sr محیط برش مستطیلی است. این محیط به صورت زیر ساخته شده است: باید تمام وجوه جانبی را با یک صفحه قطع کرد تا بر همه آنها عمود باشد. مستطیل حاصل برش دلخواه خواهد بود.

شکل بالا نمونه ای از یک جعبه مورب را نشان می دهد. قسمت متقاطع آن با اضلاع زوایای قائمه تشکیل می دهد. محیط بخش P_sr است. توسط چهار ارتفاع متوازی الاضلاع جانبی تشکیل شده است. برای این منشور چهار گوش، سطح جانبی با استفاده از فرمول بالا محاسبه می شود.

طول قطر یک مکعب

مورب یک متوازی الاضلاع قطعه ای است که دو راس را که اضلاع مشترکی ندارند به هم متصل می کند. در هر منشور چهار گوش فقط چهار مورب وجود دارد. برای مکعبی که در قاعده آن مستطیل است، طول همه قطرها با یکدیگر برابر است.

شکل زیر شکل مربوطه را نشان می دهد. قطعه قرمز مورب آن است.

محاسبه طول آن بسیار ساده است، اگر قضیه فیثاغورث را به خاطر داشته باشید. هر دانش آموز می تواند فرمول مورد نظر را بدست آورد. شکل زیر را دارد:

D=√(A²+ B² + C²)

در اینجا D طول قطر است. کاراکترهای باقیمانده طول دو طرف کادر هستند.

بسیاری از مردم مورب یک متوازی الاضلاع را با قطرهای اضلاع آن اشتباه می گیرند. در زیر یک تصویر است که در آن رنگی استپاره ها نشان دهنده قطرهای اضلاع شکل هستند.

طول هر یک از آنها نیز با قضیه فیثاغورث تعیین می شود و برابر است با جذر مجموع مجذورات طول ضلع های مربوطه.

حجم منشور

علاوه بر مساحت یک منشور چهار گوش منظم یا انواع دیگر منشورها، برای حل برخی مسائل هندسی، باید حجم آنها را نیز بدانید. این مقدار برای مطلقاً هر منشوری با فرمول زیر محاسبه می شود:

V=S_oh

اگر منشور مستطیلی است، کافی است مساحت قاعده آن را محاسبه کرده و در طول لبه ضلع ضرب کنیم تا حجم شکل به دست آید.

اگر منشور یک منشور چهار گوش منتظم باشد، حجم آن خواهد بود:

V=a²h.

به راحتی می توان فهمید که اگر طول لبه کناری h برابر با ضلع پایه a باشد، این فرمول به عبارتی برای حجم یک مکعب تبدیل می شود.

مشکل با مکعب

برای تجمیع مواد مورد مطالعه، مسئله زیر را حل می کنیم: یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل وجود دارد که اضلاع آن 3 سانتی متر، 4 سانتی متر و 5 سانتی متر است که باید مساحت سطح، طول مورب و حجم آن را محاسبه کرد.

برای قطعیت فرض می کنیم که قاعده شکل یک مستطیل با اضلاع 3 سانتی متر و 4 سانتی متر است سپس مساحت آن 12 سانتی متر است² و دوره 14 سانتی متر است. با استفاده از فرمول مساحت سطح منشور، به دست می آید:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94cm2

برای تعیین طول مورب و حجم شکل، می توانید مستقیماً از عبارات بالا استفاده کنید:

D=√(3²+4²+5²)=7 071 سانتی متر؛

V=345=60cm³.

مشکل با متوازی الاضلاع مایل

شکل زیر یک منشور مورب را نشان می دهد. اضلاع آن برابر است: a=10 سانتی متر، b=8 سانتی متر، c=12 سانتی متر، باید سطح این شکل را پیدا کنید.

ابتدا، بیایید مساحت پایه را تعیین کنیم. شکل نشان می دهد که زاویه تند 50^o است. سپس مساحت آن است:

S_o=ha=sin(50^o)ba

برای تعیین مساحت سطح جانبی، باید محیط مستطیل سایه دار را پیدا کنید. اضلاع این مستطیل asin(45^o) و bsin(60^o) است. سپس محیط این مستطیل برابر است با:

P_sr=2(asin(45^o)+bsin(60^o))

مساحت کل این جعبه برابر است با:

S=2S_o+ S_b=2(sin(50^o)ba + acsin(45^o) + bcsin(60^o))

داده های شرط مسئله را با طول اضلاع شکل جایگزین می کنیم، پاسخ می گیریم:

S=458, 5496 cm³

از حل این مسئله می توان دریافت که از توابع مثلثاتی برای تعیین مساحت ارقام مایل استفاده می شود.