به بیان ساده و خلاصه، دامنه مقادیری است که هر تابعی می تواند بگیرد. برای بررسی کامل این موضوع، باید به تدریج نکات و مفاهیم زیر را از هم جدا کنید. ابتدا بیایید تعریف تابع و تاریخچه ظاهر آن را درک کنیم.
یک تابع چیست
همه علوم دقیق مثال های زیادی را در اختیار ما قرار می دهند که در آن متغیرهای مورد نظر به نحوی به یکدیگر وابسته هستند. به عنوان مثال، چگالی یک ماده کاملاً با جرم و حجم آن تعیین می شود. فشار یک گاز ایده آل در حجم ثابت با دما تغییر می کند. این مثال ها با این واقعیت متحد می شوند که همه فرمول ها دارای وابستگی هایی بین متغیرها هستند که به آنها تابعی می گویند.
یک تابع مفهومی است که وابستگی یک کمیت به کمیت دیگر را بیان می کند. شکل y=f(x) دارد که y مقدار تابع است که به آرگومان x بستگی دارد. بنابراین، می توان گفت که y یک متغیر وابسته به مقدار x است. مقادیری که x می تواند با هم بگیرد عبارتند ازدامنه تابع داده شده (D(y) یا D(f))، و بر این اساس، مقادیر y مجموعه مقادیر تابع (E(f) یا E(y)) را تشکیل می دهند. مواردی وجود دارد که یک تابع با فرمولی داده می شود. در این مورد، دامنه تعریف شامل مقدار چنین متغیرهایی است که در آن نمادگذاری با فرمول معنی دارد.
ویژگی های منطبق یا برابر وجود دارد. اینها دو تابع هستند که دارای محدوده مساوی از مقادیر معتبر هستند، همچنین مقادیر خود تابع برای همه آرگومان های یکسان برابر است.
بسیاری از قوانین علوم دقیق مشابه موقعیت های زندگی واقعی نامگذاری شده اند. یک واقعیت جالب در مورد تابع ریاضی نیز وجود دارد. یک قضیه در مورد حد یک تابع "ساندویچ" بین دو تابع دیگر وجود دارد که حد یکسانی دارند - در مورد دو پلیس. آنها آن را اینگونه توضیح می دهند: از آنجایی که دو پلیس یک زندانی را به سلولی بین خود هدایت می کنند، جنایتکار مجبور می شود به آنجا برود و او به سادگی چاره ای ندارد.
مرجع ویژگی تاریخی
مفهوم تابع بلافاصله نهایی و دقیق نشد، مسیر طولانی را طی کرده است. ابتدا، فرما در معرفی و مطالعه مکان‌های صفحه و جامد، که در اواخر قرن هفدهم منتشر شد، موارد زیر را بیان کرد:
هرگاه دو مجهول در معادله نهایی وجود داشته باشد، جا وجود دارد.
به طور کلی، این اثر از وابستگی عملکردی و تصویر مادی آن (مکان=خط) صحبت می کند.
همچنین، تقریباً در همان زمان، رنه دکارت در کار خود "هندسه" (1637) خطوط را با معادلات آنها مطالعه کرد، جایی که دوباره این واقعیتوابستگی دو کمیت به یکدیگر.
خود ذکر اصطلاح "کارکرد" تنها در پایان قرن هفدهم با لایب نیتس ظاهر شد، اما نه در تفسیر مدرن آن. او در کار علمی خود در نظر گرفت که یک تابع بخش های مختلفی است که با یک خط منحنی مرتبط است.
اما در قرن هجدهم، این تابع به طور صحیح تری تعریف شد. برنولی چنین نوشت:
یک تابع مقداری است که از یک متغیر و یک ثابت تشکیل شده است.
افکار اویلر نیز به این نزدیک بود:
یک تابع کمیت متغیر یک عبارت تحلیلی است که به نوعی از این کمیت متغیر و اعداد یا کمیت های ثابت ساخته شده است.
هنگامی که برخی از کمیت‌ها به گونه‌ای به دیگری وابسته هستند که وقتی کمیت دوم تغییر می‌کند، خود آنها تغییر می‌کنند، پس اولی را توابع دومی می‌نامند.
گراف تابع
گراف تابع از تمام نقاط متعلق به محورهای صفحه مختصات تشکیل شده است که ابسیساهای آن مقادیر آرگومان را می گیرند و مقادیر تابع در این نقاط مختصات هستند.
محدوده یک تابع مستقیماً با نمودار آن مرتبط است، زیرا اگر هر ابسیسا توسط محدوده مقادیر معتبر حذف شود، باید نقاط خالی روی نمودار رسم کنید یا نمودار را در محدوده خاصی رسم کنید. به عنوان مثال، اگر نموداری به شکل y=tgx گرفته شود، مقدار x=pi / 2 + pin، n∉R از ناحیه تعریف حذف می شود، در مورد نمودار مماس، باید رسم کنید.خطوط عمودی موازی با محور y (که مجانبی نامیده می شوند) از نقاط ±pi/2 عبور می کنند.
هر مطالعه دقیق و دقیق توابع، شاخه بزرگی از ریاضیات به نام حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می دهد. در ریاضیات ابتدایی، سوالات ابتدایی در مورد توابع نیز مورد بررسی قرار می گیرند، به عنوان مثال، ساختن یک نمودار ساده و ایجاد برخی از ویژگی های اساسی یک تابع.
چه تابعی را می توان روی تنظیم کرد
تابع می تواند:
- یک فرمول باشد، برای مثال: y=cos x;
- تنظیم با هر جدولی از جفت های شکل (x; y);
- فوراً یک نمای گرافیکی داشته باشید، برای این کار باید جفت های مورد قبلی از فرم (x; y) در محورهای مختصات نمایش داده شوند.
هنگام حل برخی از مسائل سطح بالا مراقب باشید، تقریباً هر عبارتی را می توان به عنوان یک تابع با توجه به برخی از آرگومان های مقدار تابع y (x) در نظر گرفت. یافتن دامنه تعریف در چنین وظایفی می تواند کلید راه حل باشد.
دامنه برای چیست؟
اولین چیزی که برای مطالعه یا ساخت یک تابع باید بدانید محدوده آن است. نمودار فقط باید حاوی نقاطی باشد که تابع می تواند وجود داشته باشد. دامنه تعریف (x) همچنین ممکن است به عنوان دامنه مقادیر قابل قبول (به اختصار ODZ) نامیده شود.
برای ساختن درست و سریع نمودار توابع، باید دامنه این تابع را بشناسید، زیرا ظاهر نمودار و وفاداری به آن بستگی دارد.ساخت و ساز. به عنوان مثال، برای ساخت یک تابع y=√x، باید بدانید که x فقط می تواند مقادیر مثبت بگیرد. بنابراین، فقط در ربع مختصات اول ساخته می شود.
دامنه تعریف در مثال توابع ابتدایی
در زرادخانه خود، ریاضیات تعداد کمی توابع ساده و تعریف شده دارد. آنها دامنه محدودی دارند. راه حل این موضوع حتی اگر یک عملکرد به اصطلاح پیچیده پیش روی خود داشته باشید، مشکلی ایجاد نخواهد کرد. این فقط ترکیبی از چندین مورد ساده است.
- بنابراین، تابع می تواند کسری باشد، برای مثال: f(x)=1/x. بنابراین، متغیر (آرگمون ما) در مخرج است و همه می‌دانند که مخرج کسری نمی‌تواند برابر با 0 باشد، بنابراین، آرگومان می‌تواند هر مقداری به جز 0 بگیرد. نماد به این صورت خواهد بود: D(y)=x∈ (-∞؛ 0) ∪ (0; +∞). اگر عبارتی با متغیری در مخرج وجود دارد، باید معادله x را حل کنید و مقادیری را که مخرج را به 0 تبدیل می‌کنند حذف کنید. برای یک نمایش شماتیک، 5 نقطه خوب انتخاب شده کافی است. نمودار این تابع یک هذلولی با مجانبی عمودی خواهد بود که از نقطه (0؛ 0) و در ترکیب، محورهای Ox و Oy می گذرد. اگر تصویر گرافیکی با مجانب تلاقی کند، چنین خطایی بزرگ‌ترین در نظر گرفته می‌شود.
- اما دامنه ریشه چیست؟ دامنه یک تابع با عبارت رادیکال (f(x)=√(2x + 5))، حاوی یک متغیر، نیز تفاوت های ظریف خاص خود را دارد (فقط برای ریشه یک درجه زوج اعمال می شود). مانندریشه حسابی یک عبارت مثبت یا برابر با 0 است، سپس عبارت ریشه باید بزرگتر یا مساوی 0 باشد، نابرابری زیر را حل می کنیم: 2x + 5 ≧ 0، x ≧ -2، 5، بنابراین دامنه این تابع: D(y)=x ∈ (-2، 5؛ +∞). نمودار یکی از شاخه های سهمی است که 90 درجه می چرخد و در ربع مختصات اول قرار دارد.
- اگر با یک تابع لگاریتمی سر و کار داریم، باید به خاطر داشته باشید که در مورد پایه لگاریتم و عبارت زیر علامت لگاریتم محدودیت وجود دارد، در این صورت می توانید دامنه تعریف را به صورت زیر بیابید. را دنبال می کند. ما یک تابع داریم: y=loga(x + 7)، نابرابری را حل می کنیم: x + 7 > 0، x > -7. سپس دامنه این تابع D(y)=x ∈ (-7; +∞) است.
- همچنین به توابع مثلثاتی به شکل y=tgx و y=ctgx توجه کنید، زیرا y=tgx=sinx/cos/x و y=ctgx=cosx/sinx، بنابراین، باید مقادیر را حذف کنید. که در آن مخرج می تواند برابر با صفر باشد. اگر با نمودارهای توابع مثلثاتی آشنا هستید، درک دامنه آنها کار ساده ای است.
چگونه کار با توابع پیچیده متفاوت است
چند قانون اساسی را به خاطر بسپارید. اگر با یک تابع پیچیده کار می کنیم، دیگر نیازی به حل چیزی، ساده کردن، جمع کردن کسرها، کاهش به کمترین مخرج مشترک و استخراج ریشه نیست. ما باید این تابع را بررسی کنیم زیرا عملیات های مختلف (حتی یکسان) می توانند دامنه تابع را تغییر دهند و در نتیجه پاسخ نادرستی به دست بیاورند.
برای مثال، ما یک تابع مختلط داریم: y=(x2 - 4)/(x - 2). ما نمی توانیم صورت و مخرج کسر را کاهش دهیم، زیرا این فقط در صورت x ≠ 2 امکان پذیر است، و این وظیفه یافتن دامنه تابع است، بنابراین صورت را فاکتور نمی کنیم و هیچ نامعادلی را حل نمی کنیم، زیرا مقداری که در آن تابع وجود ندارد، با چشم غیر مسلح قابل مشاهده است. در این مورد، x نمی تواند مقدار 2 را بگیرد، زیرا مخرج نمی تواند به 0 برود، نماد به این صورت خواهد بود: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
توابع متقابل
برای شروع، شایان ذکر است که یک تابع فقط در یک بازه افزایش یا کاهش قابل برگشت است. برای پیدا کردن تابع معکوس، باید x و y را در نماد جابجا کنید و معادله x را حل کنید. دامنه‌های تعریف و دامنه‌های ارزش به سادگی معکوس می‌شوند.
شرط اصلی برگشت‌پذیری بازه یکنواخت یک تابع است، اگر تابعی دارای بازه‌های افزایش و کاهش باشد، می‌توان تابع معکوس هر بازه (افزایش یا کاهش) را ترکیب کرد.
برای مثال، برای تابع نمایی y=exمقابل تابع لگاریتمی طبیعی است y=logea=lna. برای مثلثات، اینها توابعی با پیشوند arc- خواهند بود: y=sinx و y=arcsinx و غیره. نمودارها با توجه به برخی از محورها یا مجانب به صورت متقارن قرار خواهند گرفت.
نتیجه گیری
جستجوی محدوده مقادیر قابل قبول به بررسی نمودار توابع (در صورت وجود) ختم می شود.ثبت و حل سیستم خاص لازم از نابرابری ها.
بنابراین، این مقاله به شما کمک کرد تا بفهمید محدوده یک تابع برای چیست و چگونه آن را پیدا کنید. امیدواریم به شما کمک کند تا درس مدرسه ابتدایی را به خوبی درک کنید.
