اشکال انقلاب در هندسه هنگام مطالعه ویژگی ها و ویژگی های آنها مورد توجه ویژه قرار می گیرند. یکی از آنها مخروط کوتاه است. هدف این مقاله پاسخ به این سوال است که از چه فرمولی می توان برای محاسبه مساحت مخروط بریده استفاده کرد.
در مورد کدام رقم صحبت می کنیم؟
قبل از توصیف مساحت یک مخروط کوتاه، لازم است یک تعریف هندسی دقیق از این شکل ارائه شود. کوتاه شده چنین مخروطی است که در نتیجه بریدن راس یک مخروط معمولی توسط یک صفحه به دست می آید. در این تعریف، باید بر تعدادی از تفاوت های ظریف تأکید شود. ابتدا سطح مقطع باید موازی با صفحه پایه مخروط باشد. ثانیا، شکل اصلی باید یک مخروط دایره ای باشد. البته، این می تواند یک شکل بیضوی، هذلولی و انواع دیگر باشد، اما در این مقاله ما خود را به در نظر گرفتن تنها یک مخروط دایره ای محدود می کنیم. مورد دوم در شکل زیر نشان داده شده است.
به راحتی می توان حدس زد که می توان آن را نه تنها با کمک یک مقطع توسط یک هواپیما، بلکه با کمک یک عملیات چرخشی به دست آورد. برایبرای این کار باید ذوزنقه ای را بردارید که دو زاویه قائمه دارد و آن را به دور سمتی که مجاور این زوایای قائمه است بچرخانید. در نتیجه، پایه های ذوزنقه به شعاع پایه های مخروط بریده تبدیل می شوند و سمت مایل جانبی ذوزنقه، سطح مخروطی شکل را توصیف می کند.
توسعه شکل
با توجه به مساحت یک مخروط بریده، مفید است که توسعه آن، یعنی تصویر سطح یک شکل سه بعدی در یک صفحه را بیاوریم. در زیر اسکن شکل مورد مطالعه با پارامترهای دلخواه است.
می توان دید که مساحت شکل از سه جزء تشکیل شده است: دو دایره و یک بخش دایره ای کوتاه. بدیهی است که برای تعیین مساحت مورد نیاز باید مساحت تمامی ارقام نامبرده را جمع کرد. بیایید این مشکل را در پاراگراف بعدی حل کنیم.
ناحیه مخروط کوتاه
برای سهولت درک استدلال زیر، نماد زیر را معرفی می کنیم:
- r1، r2 - شعاع پایه های بزرگ و کوچک به ترتیب؛
- h - ارتفاع شکل؛
- g - ژنراتیکس مخروط (طول ضلع مایل ذوزنقه).
مساحت پایه های مخروط کوتاه به راحتی قابل محاسبه است. بیایید عبارات مربوطه را بنویسیم:
So1=pir12;
So2=pir22.
تعیین مساحت قسمتی از بخش دایره ای تا حدودی دشوارتر است. اگر تصور کنیم که مرکز این بخش دایره‌ای قطع نشده باشد، شعاع آن برابر با مقدار G خواهد بود. اگر مقدار مربوطه را در نظر بگیریم، محاسبه آن دشوار نیست.مثلث های مخروطی قائم الزاویه مشابه برابر است با:
G=r1g/(r1-r۲1
-r۲).
سپس مساحت کل بخش دایره ای که بر روی شعاع G ساخته شده است و متکی به کمانی به طول 2pir1 است، برابر خواهد بود. به:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
حالا بیایید مساحت بخش دایره ای کوچک S2 را تعیین کنیم، که باید از S1 کم شود. برابر است با:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r22) - گرم)=پیr22g/(r1-r2).
مساحت سطح مخروطی مخروطی Sb برابر است با تفاوت بین S1 و S 2. ما دریافت می کنیم:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - پی r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
علی رغم برخی محاسبات دست و پا گیر، یک عبارت نسبتاً ساده برای مساحت سطح کناری شکل به دست آوردیم.
با اضافه کردن مساحت پایه ها و Sb، به فرمول مساحت مخروط کوتاه شده می رسیم:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22+ pig (r1+r2).
بنابراین، برای محاسبه مقدار S شکل مورد مطالعه، باید سه پارامتر خطی آن را بدانید.
مشکل مثال
مخروط مستقیم دایره ایبا شعاع 10 سانتی متر و ارتفاع 15 سانتی متر توسط یک هواپیما قطع شد به طوری که یک مخروط ناقص منظم به دست آمد. با دانستن اینکه فاصله بین پایه های شکل کوتاه 10 سانتی متر است، باید سطح آن را پیدا کرد.
برای استفاده از فرمول مساحت یک مخروط کوتاه، باید سه پارامتر آن را پیدا کنید. یکی که می دانیم:
r1=10 سانتی متر.
اگر مثلث های قائم الزاویه مشابه را در نظر بگیریم که در نتیجه بخش محوری مخروط به دست می آیند، محاسبه دو مورد دیگر آسان است. با در نظر گرفتن شرایط مشکل، دریافت می کنیم:
r2=105/15=3.33 سانتی متر.
در نهایت، راهنمای مخروط کوتاه g به صورت زیر خواهد بود:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12.02 سانتی متر.
اکنون می توانید مقادیر r1، r2 و g را در فرمول S:
جایگزین کنید.
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851.93 سانتی متر 2.
مساحت سطح مورد نظر شکل تقریباً 852 سانتی متر است2.
