هنگام مطالعه رفتار گازها در فیزیک، اغلب مشکلاتی برای تعیین انرژی ذخیره شده در آنها به وجود می آید که از نظر تئوری می توان از آن برای انجام کارهای مفید استفاده کرد. در این مقاله به این سوال خواهیم پرداخت که با چه فرمولی می توان انرژی داخلی یک گاز ایده آل را محاسبه کرد.
مفهوم یک گاز ایده آل
درک واضح از مفهوم گاز ایده آل هنگام حل مشکلات سیستم ها در این حالت تجمع مهم است. هر گازی شکل و حجم ظرفی را می گیرد که در آن قرار می گیرد، اما هر گازی ایده آل نیست. به عنوان مثال، هوا را می توان مخلوطی از گازهای ایده آل در نظر گرفت، در حالی که بخار آب اینطور نیست. تفاوت اساسی بین گازهای واقعی و مدل ایده آل آنها چیست؟
پاسخ به سوال دو ویژگی زیر خواهد بود:
- نسبت بین انرژی جنبشی و پتانسیل مولکولها و اتمهای سازنده گاز؛
- نسبتبین اندازه خطی ذراتگاز و میانگین فاصله بین آنها.
یک گاز تنها زمانی ایده آل در نظر گرفته می شود که میانگین انرژی جنبشی ذرات آن به طور غیرقابل مقایسه ای بیشتر از انرژی اتصال بین آنها باشد. تفاوت بین این انرژی ها به حدی است که می توانیم فرض کنیم که تعامل بین ذرات کاملاً وجود ندارد. همچنین، یک گاز ایده آل با عدم وجود ابعاد ذرات آن مشخص می شود، یا بهتر است بگوییم، این ابعاد را می توان نادیده گرفت، زیرا آنها بسیار کوچکتر از میانگین فواصل بین ذرات هستند.
معیارهای تجربی خوب برای تعیین ایده آل بودن یک سیستم گازی، ویژگی های ترمودینامیکی آن مانند دما و فشار است. اگر اولی بزرگتر از 300 کلوین باشد و دومی کمتر از 1 اتمسفر باشد، هر گازی را می توان ایده آل در نظر گرفت.
انرژی داخلی گاز چیست؟
قبل از نوشتن فرمول انرژی داخلی یک گاز ایده آل، باید با این ویژگی بیشتر آشنا شوید.
در ترمودینامیک، انرژی داخلی معمولاً با حرف لاتین U نشان داده می شود. در حالت کلی، با فرمول زیر تعیین می شود:
U=H - PV
جایی که H آنتالپی سیستم است، P و V فشار و حجم هستند.
در معنای فیزیکی خود، انرژی درونی از دو جزء تشکیل شده است: جنبشی و پتانسیل. اولی با انواع مختلف حرکت ذرات سیستم همراه است و دومی - با برهمکنش نیرو بین آنها. اگر این تعریف را برای مفهوم گاز ایده آل که انرژی پتانسیل ندارد اعمال کنیم، مقدار U در هر حالتی از سیستم دقیقا برابر با انرژی جنبشی آن خواهد بود، یعنی:
U=Ek.
اشتقاق فرمول انرژی داخلی
در بالا، دریافتیم که برای تعیین آن برای سیستمی با گاز ایده آل، باید انرژی جنبشی آن را محاسبه کرد. از درس فیزیک عمومی مشخص است که انرژی ذره ای با جرم m که در جهت خاصی با سرعت v به جلو حرکت می کند، با فرمول:تعیین می شود.
Ek1=mv2/2.
همچنین می‌توان آن را برای ذرات گاز (اتم‌ها و مولکولها) به کار برد، با این حال، باید نکاتی را بیان کرد.
اول، سرعت v باید به عنوان مقداری متوسط درک شود. واقعیت این است که ذرات گاز بر اساس توزیع ماکسول-بولتزمن با سرعت های متفاوتی حرکت می کنند. دومی امکان تعیین سرعت متوسط را فراهم می کند که در صورت عدم تأثیر خارجی بر روی سیستم، در طول زمان تغییر نمی کند.
دوم، فرمول Ek1 انرژی در هر درجه آزادی را فرض می کند. ذرات گاز می توانند در هر سه جهت حرکت کنند و همچنین بسته به ساختارشان می چرخند. برای در نظر گرفتن درجه آزادی z، باید در Ek1 ضرب شود، یعنی:
Ek1z=z/2mv2.
انرژی جنبشی کل سیستم Ek N برابر بیشتر از Ek1z است، که در آن N تعداد کل ذرات گاز است. سپس برای U دریافت می کنیم:
U=z/2Nmv2.
طبق این فرمول، تغییر در انرژی داخلی گاز تنها در صورتی امکان پذیر است که تعداد ذرات N در آن تغییر کند.سیستم یا سرعت متوسط آنها v.
انرژی و دمای داخلی
با استفاده از مفاد نظریه جنبشی مولکولی یک گاز ایده آل، می توانیم فرمول زیر را برای رابطه بین میانگین انرژی جنبشی یک ذره و دمای مطلق به دست آوریم:
mv2/2=1/2kBT.
در اینجا kB ثابت بولتزمن است. با جایگزینی این برابری با فرمول U بدست آمده در پاراگراف بالا، به عبارت زیر می رسیم:
U=z/2NkBT.
این عبارت را می توان بر حسب مقدار ماده n و ثابت گاز R به شکل زیر بازنویسی کرد:
U=z/2nR T.
طبق این فرمول، تغییر در انرژی داخلی گاز در صورت تغییر دمای آن امکان پذیر است. مقادیر U و T به صورت خطی به یکدیگر بستگی دارند، یعنی نمودار تابع U(T) یک خط مستقیم است.
ساختار یک ذره گاز چگونه بر انرژی داخلی یک سیستم تأثیر می گذارد؟
ساختار یک ذره گاز (مولکول) به تعداد اتم های تشکیل دهنده آن اشاره دارد. هنگامی که درجه آزادی متناظر z را در فرمول U جایگزین می کند، نقش تعیین کننده ای دارد. اگر گاز تک اتمی باشد، فرمول انرژی داخلی گاز به صورت زیر می شود:
U=3/2nRT.
مقدار z=3 از کجا آمده است؟ ظاهر آن تنها با سه درجه آزادی مرتبط است که یک اتم دارد، زیرا فقط می تواند در یکی از سه جهت فضایی حرکت کند.
اگر دیاتومیک استمولکول گاز، سپس انرژی داخلی باید با استفاده از فرمول زیر محاسبه شود:
U=5/2nRT.
همانطور که می بینید، یک مولکول دو اتمی از قبل دارای 5 درجه آزادی است که 3 درجه آن انتقالی و 2 درجه چرخشی است (مطابق با هندسه مولکول، می تواند حول دو محور متقابل عمود بر هم بچرخد).
در نهایت، اگر گاز سه اتمی یا بیشتر باشد، عبارت زیر برای U درست است:
U=3nRT.
مولکول های پیچیده 3 درجه آزادی انتقالی و 3 درجه آزادی چرخشی دارند.
مشکل مثال
زیر پیستون یک گاز تک اتمی با فشار 1 اتمسفر قرار دارد. در نتیجه گرما، گاز منبسط شد به طوری که حجم آن از 2 لیتر به 3 افزایش یافت. اگر فرآیند انبساط همسان بود، انرژی داخلی سیستم گاز چگونه تغییر کرد.
برای حل این مشکل، فرمول های ارائه شده در مقاله کافی نیست. لازم است معادله حالت یک گاز ایده آل را یادآوری کنیم. شبیه زیر است.
از آنجایی که پیستون سیلندر را با گاز می بندد، مقدار ماده n در طول فرآیند انبساط ثابت می ماند. در طی یک فرآیند ایزوباریک، دما به نسبت مستقیم با حجم سیستم تغییر می کند (قانون چارلز). این به این معنی است که فرمول بالا خواهد بود:
PΔV=nRΔT.
سپس عبارت انرژی داخلی یک گاز تک اتمی به شکل زیر در می آید:
ΔU=3/2PΔV.
با جایگزینی مقادیر تغییر فشار و حجم در واحدهای SI در این معادله، به این پاسخ می رسیم: ΔU ≈ 152 J.
