هر دانش آموز در مطالعه استریومتری در دبیرستان با یک مخروط روبرو شد. دو ویژگی مهم این شکل فضایی مساحت سطح و حجم است. در این مقاله نحوه یافتن حجم یک مخروط گرد را نشان خواهیم داد.
مخروط گرد به عنوان شکل چرخش مثلث قائم الزاویه
قبل از رفتن مستقیم به موضوع مقاله، لازم است مخروط را از نظر هندسی توصیف کنید.
بگذارید یک مثلث قائم الزاویه وجود داشته باشد. اگر آن را به دور هر یک از پاها بچرخانید، نتیجه این عمل شکل مورد نظر خواهد بود که در شکل زیر نشان داده شده است.
در اینجا، پایه AB بخشی از محور مخروط است و طول آن با ارتفاع شکل مطابقت دارد. پایه دوم (بخش CA) شعاع مخروط خواهد بود. در طول چرخش، دایره ای را توصیف می کند که پایه شکل را محدود می کند. هیپوتنوز BC را ژنراتیکس شکل یا مولد آن می نامند. نقطه B تنها راس مخروط است.
با توجه به خواص مثلث ABC، می توانیم رابطه بین ژنراتیکس g، شعاع r و ارتفاع h را به صورت زیر بنویسیم.برابری:
g2=h2+ r2
این فرمول در حل بسیاری از مسائل هندسی با شکل مورد نظر مفید است.
فرمول حجم مخروط
حجم هر شکل فضایی مساحت فضا است که با سطوح این شکل محدود می شود. دو سطح برای مخروط وجود دارد:
- جانبی یا مخروطی. این توسط همه ژنراتیس ها تشکیل می شود.
- بنیاد. در این مورد، یک دایره است.
فرمول تعیین حجم مخروط را دریافت کنید. برای این کار، آن را به صورت ذهنی به چندین لایه موازی با پایه برش می دهیم. ضخامت هر یک از لایه ها dx است که به صفر میل دارد. مساحت Sx لایه در فاصله x از بالای شکل برابر است با عبارت زیر:
Sx=pir2x2/h 2
اعتبار این عبارت را می توان به طور مستقیم با جایگزین کردن مقادیر x=0 و x=h تأیید کرد. در حالت اول مساحتی برابر با صفر و در حالت دوم برابر با مساحت پایه گرد خواهیم داشت.
برای تعیین حجم مخروط، باید "حجم‌های" کوچک هر لایه را جمع آوری کنید، یعنی باید از حساب انتگرال استفاده کنید:
V=∫0h(pir۲x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x۲dx)
با محاسبه این انتگرال، به فرمول نهایی برای یک مخروط گرد می رسیم:
V=1/3pir2h
جالب است بدانید که این فرمول کاملاً شبیه فرمولی است که برای محاسبه حجم یک هرم دلخواه استفاده می شود. این تصادف تصادفی نیست، زیرا هر هرمی زمانی تبدیل به مخروط می شود که تعداد لبه های آن تا بی نهایت افزایش یابد.
مشکل محاسبه حجم
ارائه مثالی برای حل مسئله مفید است که استفاده از فرمول مشتق شده برای جلد V را نشان می دهد.
مخروط گردی را در نظر می گیریم که مساحت پایه آن 37 سانتی متر است2، و مولد شکل سه برابر شعاع است. حجم مخروط چقدر است؟
ما حق داریم از فرمول حجم استفاده کنیم اگر دو کمیت بدانیم: ارتفاع h و شعاع r. بیایید فرمول هایی را پیدا کنیم که آنها را مطابق با شرایط مشکل تعیین می کند.
شعاع r را می توان با دانستن مساحت دایره So محاسبه کرد، داریم:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
با استفاده از شرط مسئله، برابری مولد g را می نویسیم:
g=3r=3√(So/pi)
با دانستن فرمول های r و g، ارتفاع h را محاسبه کنید:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
ما تمام پارامترهای لازم را پیدا کردیم. اکنون زمان آن است که آنها را به فرمول V:
وصل کنید
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
جایگزین باقی مانده استناحیه پایه So و مقدار حجم را محاسبه کنید: V=119.75 سانتی متر3.
