مطالعه خصوصیات اشکال فضایی نقش مهمی در حل مسائل کاربردی دارد. علمی که با اشکال در فضا سروکار دارد، استریومتری نامیده می شود. در این مقاله از نقطه نظر هندسه جامد، یک مخروط را در نظر می گیریم و نحوه پیدا کردن مساحت مخروط را نشان می دهیم.
مخروط با پایه گرد
در حالت کلی، مخروط سطحی است که بر روی یک منحنی مسطح ساخته شده است، که تمام نقاط آن توسط قطعاتی با یک نقطه در فضا به هم متصل شده اند. دومی راس مخروط نامیده می شود.
از تعریف بالا مشخص می شود که یک منحنی می تواند شکل دلخواه داشته باشد، مانند سهمی، هذلولی، بیضوی و غیره. با این وجود، در عمل و در مسائل هندسه، اغلب یک مخروط گرد است که اغلب با آن مواجه می‌شویم. در تصویر زیر نشان داده شده است.
در اینجا نماد r نشان دهنده شعاع دایره ای است که در قاعده شکل قرار دارد، h عمود بر صفحه دایره است که از بالای شکل ترسیم شده است. به آن ارتفاع می گویند. مقدار s ژنراتیکس مخروط یا مولد آن است.
می توان دید که بخش های r، h و sمثلث قائم الزاویه تشکیل دهید اگر حول پایه h بچرخد، هیپوتانوس s سطح مخروطی را توصیف می کند و پایه r پایه گرد شکل را تشکیل می دهد. به همین دلیل مخروط را یک چهره انقلابی می دانند. سه پارامتر خطی نامگذاری شده توسط برابری به هم مرتبط هستند:
s2=r2+ h2
توجه داشته باشید که برابری داده شده فقط برای یک مخروط مستقیم گرد معتبر است. یک شکل مستقیم فقط در صورتی است که ارتفاع آن دقیقاً در مرکز دایره پایه باشد. اگر این شرط برآورده نشود، شکل مایل نامیده می شود. تفاوت بین مخروط های مستقیم و مورب در شکل زیر نشان داده شده است.
توسعه شکل
مطالعه سطح یک مخروط با در نظر گرفتن آن در یک هواپیما راحت است. این شیوه نمایش سطح چهره ها در فضا را توسعه آنها می گویند. برای یک مخروط، این توسعه را می توان به شرح زیر به دست آورد: شما باید یک شکل ساخته شده، به عنوان مثال، از کاغذ بگیرید. سپس با قیچی پایه گرد را از دور دور برش دهید. پس از آن، در امتداد ژنراتیکس، یک برش از سطح مخروطی ایجاد کنید و آن را به یک صفحه تبدیل کنید. نتیجه این عملیات ساده ایجاد مخروط خواهد بود که در شکل زیر نشان داده شده است.
همانطور که می بینید، سطح یک مخروط در واقع می تواند در یک صفحه نمایش داده شود. از دو بخش زیر تشکیل شده است:
- دایره با شعاع r که پایه شکل را نشان می دهد؛
- قطعه دایره ای با شعاع g که یک سطح مخروطی است.
فرمول مساحت یک مخروط شامل یافتن نواحی هر دو سطح بازشده است.
محاسبه مساحت یک شکل
بیایید کار را به دو مرحله تقسیم کنیم. ابتدا مساحت قاعده مخروط و سپس مساحت سطح مخروطی را پیدا می کنیم.
بخش اول مشکل به راحتی قابل حل است. از آنجایی که شعاع r داده شده است، برای محاسبه مساحت پایه کافی است عبارت مربوطه را برای مساحت یک دایره به یاد بیاورید. بیایید آن را بنویسیم:
So=پی × r2
اگر شعاع مشخص نیست، ابتدا باید آن را با استفاده از فرمول رابطه بین آن، ارتفاع و مولد پیدا کنید.
بخش دوم مشکل یافتن مساحت یک مخروط تا حدودی پیچیده تر است. توجه داشته باشید که بخش دایره ای بر روی شعاع g ژنراتیکس ساخته شده است و توسط کمانی که طول آن برابر با محیط دایره است محدود شده است. این واقعیت به شما امکان می دهد نسبت را بنویسید و زاویه بخش در نظر گرفته شده را پیدا کنید. بیایید آن را با حرف یونانی φ نشان دهیم. این زاویه برابر خواهد بود با:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
با دانستن زاویه مرکزی φ یک بخش دایره ای، می توانید از نسبت مناسب برای یافتن مساحت آن استفاده کنید. بیایید آن را با نماد Sb نشان دهیم. برابر خواهد بود با:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=پی × g2 × φ / (2 × پی)=پی × r × g
یعنی مساحت سطح مخروطی با حاصل ضرب ژنراتیکس g، شعاع پایه r و عدد Pi مطابقت دارد.
دانستن حوزه های هر دوسطوح در نظر گرفته شده، می توانیم فرمول نهایی را برای مساحت یک مخروط بنویسیم:
S=So+ Sb=پی × r۲+ پی × r × g=پی × r × (r + g)
عبارت نوشته شده برای محاسبه S، دانش دو پارامتر خطی مخروط را فرض می کند. اگر g یا r ناشناخته باشد، می توان آنها را از طریق ارتفاع h پیدا کرد.
مسئله محاسبه مساحت یک مخروط
معروف است که ارتفاع مخروط راست گرد برابر با قطر آن است. با دانستن اینکه مساحت پایه آن 50 سانتی متر است، باید مساحت شکل را محاسبه کرد2.
با دانستن مساحت یک دایره، می توانید شعاع شکل را پیدا کنید. ما داریم:
So=پی × r2=>
r=√(So /pi)
حالا بیایید مولد g را بر حسب h و r پیدا کنیم. طبق شرط، ارتفاع h شکل برابر با دو شعاع r است، سپس:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / پی)
فرمول های یافت شده برای g و r باید در عبارت کل منطقه مخروط جایگزین شوند. ما دریافت می کنیم:
S=So+ پی × √(So /پی) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
در عبارت به دست آمده، مساحت پایه So را جایگزین می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم: S ≈ 161.8 cm2.
