یک مخروط یکی از شکل های فضایی چرخش است که ویژگی ها و ویژگی های آن با استریومتری بررسی می شود. در این مقاله، این شکل را تعریف می کنیم و فرمول های اصلی اتصال پارامترهای خطی یک مخروط را با سطح و حجم آن در نظر می گیریم.
مخروط چیست؟
از نقطه نظر هندسه، ما در مورد یک شکل فضایی صحبت می کنیم که توسط مجموعه ای از قطعات مستقیم تشکیل شده است که یک نقطه مشخص در فضا را با تمام نقاط یک منحنی صاف و صاف به هم متصل می کند. این منحنی می تواند دایره یا بیضی باشد. شکل زیر یک مخروط را نشان می دهد.
شکل ارائه شده حجم ندارد، زیرا دیواره های سطح آن دارای ضخامت بی نهایت کوچکی هستند. با این حال، اگر با یک ماده پر شود و از بالا نه با یک منحنی، بلکه توسط یک شکل صاف، به عنوان مثال، یک دایره محدود شود، یک جسم حجمی جامد خواهیم داشت که معمولاً به آن مخروط نیز می گویند.
شکل یک مخروط اغلب در زندگی یافت می شود. بنابراین، دارای یک مخروط بستنی یا مخروط های ترافیکی راه راه سیاه و نارنجی است که برای جلب توجه شرکت کنندگان در ترافیک در جاده قرار می گیرد.
عناصر مخروط و انواع آن
از آنجایی که مخروط چند وجهی نیست، تعداد عناصر تشکیل دهنده آن به اندازه چندوجهی نیست. در هندسه، یک مخروط عمومی از عناصر زیر تشکیل شده است:
- پایه ، که منحنی مرزی آن را مستقیم یا ژنراتیکس می نامند؛
- سطح جانبی، که مجموعه ای از تمام نقاط پاره خط مستقیم (ژنراتیس) است که راس و نقاط منحنی راهنما را به هم متصل می کند؛
- راس، که نقطه تقاطع ژنراتیکس است.
توجه داشته باشید که راس نباید در صفحه قاعده قرار گیرد، زیرا در این حالت مخروط به شکل صاف تبدیل می شود.
اگر یک پاره عمود از بالا به قاعده رسم کنیم، ارتفاع شکل را بدست می آوریم. اگر آخرین قاعده در مرکز هندسی قطع شود، آنگاه یک مخروط مستقیم است. اگر عمود بر مرکز هندسی قاعده منطبق نباشد، شکل مایل خواهد بود.
مخروط های مستقیم و مایل در شکل نشان داده شده است. در اینجا ارتفاع و شعاع قاعده مخروط به ترتیب با h و r نشان داده می شود. خطی که بالای شکل و مرکز هندسی پایه را به هم وصل می کند، محور مخروط است. از شکل مشخص می شود که برای یک شکل مستقیم، ارتفاع بر روی این محور قرار دارد و برای یک شکل شیبدار، ارتفاع با محور زاویه تشکیل می دهد. محور مخروط با حرف a نشان داده می شود.
مخروط مستقیم با پایه گرد
شاید، این مخروط رایج‌ترین شکل از کلاس‌های در نظر گرفته شده باشد. از یک دایره و یک ضلع تشکیل شده استسطوح به دست آوردن آن با روش های هندسی دشوار نیست. برای انجام این کار، یک مثلث قائم الزاویه بردارید و آن را حول محوری که با یکی از پاها منطبق است بچرخانید. بدیهی است که این پایه به ارتفاع شکل تبدیل می شود و طول پایه دوم مثلث شعاع قاعده مخروط را تشکیل می دهد. نمودار زیر طرح توصیف شده را برای به دست آوردن شکل چرخش مورد نظر نشان می دهد.
مثلث نشان داده شده را می توان به دور یک پایه دیگر چرخاند، که منجر به ایجاد مخروطی با شعاع پایه بزرگتر و ارتفاع کمتر از اولی می شود.
برای تعیین بدون ابهام تمام پارامترهای یک مخروط مستقیم گرد، باید هر دو ویژگی خطی آن را دانست. در میان آنها، شعاع r، ارتفاع h یا طول ژنراتیکس g متمایز می شوند. همه این مقادیر طول اضلاع مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده است، بنابراین، قضیه فیثاغورث برای اتصال آنها معتبر است:
g2=r2+ h2.
مساحت سطح
هنگام مطالعه سطح هر شکل سه بعدی، استفاده از توسعه آن در یک هواپیما راحت است. مخروط نیز از این قاعده مستثنی نیست. برای یک مخروط گرد، توسعه در زیر نشان داده شده است.
می بینیم که باز شدن شکل از دو بخش تشکیل شده است:
- دایره ای که پایه مخروط را تشکیل می دهد.
- قطعه دایره که سطح مخروطی شکل است.
مساحت یک دایره به راحتی پیدا می شود و فرمول مربوطه برای هر دانش آموزی شناخته شده است. صحبت در مورد بخش دایره ای، ما توجه داشته باشید که آنبخشی از یک دایره با شعاع g (طول ژنراتیکس مخروط) است. طول قوس این بخش برابر با محیط قاعده است. این پارامترها امکان تعیین مساحت آن را بدون ابهام فراهم می کند. فرمول مربوطه این است:
S=pir2+ pirg.
جمله اول و دوم در عبارت به ترتیب مخروط قاعده و سطح جانبی ناحیه هستند.
اگر طول مولد g ناشناخته است، اما ارتفاع h شکل داده می شود، فرمول را می توان به صورت: بازنویسی کرد.
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
حجم شکل
اگر یک هرم مستقیم بگیریم و تعداد اضلاع قاعده آن را در بی نهایت افزایش دهیم، شکل قاعده به یک دایره متمایل می شود و سطح جانبی هرم به سطح مخروطی نزدیک می شود. این ملاحظات به ما اجازه می دهد که از فرمول حجم یک هرم هنگام محاسبه مقدار مشابه برای مخروط استفاده کنیم. حجم یک مخروط را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
V=1/3hSo.
این فرمول همیشه درست است، صرف نظر از اینکه پایه مخروط چیست، با داشتن مساحت So. علاوه بر این، این فرمول برای مخروط مایل نیز صدق می کند.
از آنجایی که ما در حال مطالعه خواص یک شکل راست با پایه گرد هستیم، می توانیم از عبارت زیر برای تعیین حجم آن استفاده کنیم:
V=1/3hpir2.
فرمول واضح است.
مشکل یافتن سطح و حجم
بگذارید مخروطی داده شود که شعاع آن 10 سانتی متر است و طول ژنراتیکس 20 است.نیاز به تعیین حجم و مساحت این شکل را ببینید.
برای محاسبه مساحت S، می توانید بلافاصله از فرمول نوشته شده در بالا استفاده کنید. ما داریم:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
برای تعیین حجم، باید ارتفاع شکل را بدانید. ما آن را با استفاده از رابطه بین پارامترهای خطی مخروط محاسبه می کنیم. ما دریافت می کنیم:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17، 32 سانتی متر.
اکنون می توانید از فرمول V: استفاده کنید
V=1/3hpir2=1/317، 323، 14102 ≈ 1812, 83cm3.
توجه داشته باشید که حجم یک مخروط گرد یک سوم استوانه ای است که در آن حک شده است.
