ظهور مفهوم انتگرال به دلیل نیاز به یافتن تابع ضد مشتق توسط مشتق آن و همچنین تعیین میزان کار، مساحت ارقام پیچیده، مسافت طی شده، با پارامترهای مشخص شده توسط منحنی های توصیف شده توسط فرمول های غیرخطی.
از دوره
و فیزیک می داند که کار برابر است با حاصل ضرب نیرو و فاصله. اگر تمام حرکات با سرعت ثابت اتفاق بیفتد یا با اعمال همان نیرو بر فاصله غلبه شود، همه چیز واضح است، فقط باید آنها را ضرب کنید. انتگرال یک ثابت چیست؟ این یک تابع خطی به شکل y=kx+c است.
اما نیرو در حین کار می تواند تغییر کند و به نوعی وابستگی طبیعی است. در صورت ثابت نبودن سرعت، در محاسبه مسافت طی شده نیز همین وضعیت رخ می دهد.
بنابراین، واضح است که انتگرال برای چیست. تعریف آن به عنوان مجموع حاصل از مقادیر تابع با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان، معنای اصلی این مفهوم را به عنوان ناحیه یک شکل که از بالا با خط تابع محدود شده است، کاملاً توصیف می کند. لبه ها با مرزهای تعریف.
Jean Gaston Darboux، ریاضیدان فرانسوی، در نیمه دوم قرن نوزدهمقرن به وضوح توضیح داد که انتگرال چیست. او آنقدر واضح گفت که به طور کلی درک این موضوع حتی برای یک دانش آموز دبیرستانی نیز دشوار نخواهد بود.
فرض کنید تابعی از هر شکل پیچیده ای وجود دارد. محور y که مقادیر استدلال بر روی آن ترسیم می شود به فواصل کوچک تقسیم می شود، در حالت ایده آل آنها بی نهایت کوچک هستند، اما از آنجایی که مفهوم بی نهایت نسبتاً انتزاعی است، کافی است فقط بخش های کوچک، مقدار را تصور کنیم. که معمولاً با حرف یونانی Δ (دلتا) نشان داده می شود.
عملکرد به آجرهای کوچک "بریده" شد.
هر مقدار آرگومان مربوط به نقطه ای در محور y است که مقادیر تابع مربوطه روی آن رسم می شود. اما از آنجایی که ناحیه انتخاب شده دارای دو حاشیه است، دو مقدار تابع نیز وجود خواهد داشت، بیشتر و کمتر.
مجموع حاصل از مقادیر بزرگتر با افزایش Δ، مجموع داربوکس بزرگ نامیده می شود و به عنوان S نشان داده می شود. بر این اساس، مقادیر کوچکتر در یک منطقه محدود، ضرب در Δ، همه با هم یک مجموع داربوکس کوچک s تشکیل دهید. این بخش به خودی خود شبیه یک ذوزنقه مستطیلی است، زیرا می توان از انحنای خط تابع با افزایش بی نهایت کوچک آن چشم پوشی کرد. ساده ترین راه برای یافتن مساحت چنین شکل هندسی این است که حاصلضرب مقدار بزرگتر و کوچکتر تابع را با افزایش Δ و تقسیم بر دو، یعنی آن را به عنوان میانگین حسابی تعیین کنید.
این انتگرال Darboux است:
s=Σf(x) Δ مقدار کمی است؛
S=Σf(x+Δ)Δ یک جمع بزرگ است.
پس انتگرال چیست؟ ناحیه محدود شده توسط خط تابع و مرزهای تعریف خواهد بود:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
یعنی میانگین حسابی مجموع Darboux بزرگ و کوچک.c یک مقدار ثابت است که در حین تمایز روی صفر تنظیم می شود.
بر اساس بیان هندسی این مفهوم، معنای فیزیکی انتگرال روشن می شود. مساحت شکل که توسط تابع سرعت مشخص شده و با فاصله زمانی در امتداد محور آبسیسا محدود شده است، طول مسیر طی شده خواهد بود.
L=∫f(x)dx در بازه t1 تا t2،
کجا
f(x) – تابع سرعت، یعنی فرمولی که با آن در طول زمان تغییر می کند؛
L – طول مسیر؛
t1 – زمان شروع؛
t2 - زمان پایان سفر.
دقیقاً بر اساس همان اصل، مقدار کار تعیین می شود، فقط فاصله در امتداد آبسیسا ترسیم می شود و مقدار نیروی وارد شده در هر نقطه خاص در امتداد اردین رسم می شود.
