مسائل ریاضی در بسیاری از علوم استفاده می شود. اینها نه تنها شامل فیزیک، شیمی، مهندسی و اقتصاد، بلکه پزشکی، اکولوژی و سایر رشته ها نیز می شود. یکی از مفاهیم مهم برای یافتن راه حل برای معضلات مهم، مشتق یک تابع است. توضیح معنای فیزیکی آن به هیچ وجه آنقدرها که ممکن است برای افراد ناآشنا در اصل موضوع به نظر می رسد دشوار نیست. فقط کافی است نمونه های مناسبی از آن را در زندگی واقعی و موقعیت های معمولی روزمره پیدا کنید. در واقع، هر راننده‌ای هر روز وقتی به سرعت‌سنج نگاه می‌کند، با کار مشابهی کنار می‌آید و سرعت ماشین خود را در یک لحظه خاص از یک زمان ثابت تعیین می‌کند. به هر حال، در این پارامتر است که ماهیت معنای فیزیکی مشتق نهفته است.
چگونه سرعت را پیدا کنیم
سرعت یک فرد در جاده را با دانستن مسافت طی شده و زمان سفر، هر دانش آموز کلاس پنجمی به راحتی می تواند تعیین کند. برای انجام این کار، اولین مقدار داده شده بر دوم تقسیم می شود. ولیهر ریاضیدان جوانی نمی داند که در حال حاضر نسبت افزایش یک تابع و یک آرگومان را پیدا می کند. در واقع، اگر حرکت را به شکل نمودار تصور کنیم، مسیر را در امتداد محور y و زمان را در امتداد آبسیسا ترسیم کنیم، دقیقاً به این صورت خواهد بود.
اما سرعت عابر پیاده یا هر جسم دیگری که در قسمت بزرگی از مسیر تعیین می کنیم، با در نظر گرفتن حرکت یکنواخت، ممکن است تغییر کند. در فیزیک اشکال مختلفی از حرکت وجود دارد. می توان آن را نه تنها با یک شتاب ثابت انجام داد، بلکه می تواند به صورت دلخواه از سرعت و سرعت آن نیز افزایش یابد. لازم به ذکر است که در این حالت خط توصیف کننده حرکت دیگر یک خط مستقیم نخواهد بود. از نظر گرافیکی، می تواند پیچیده ترین تنظیمات را به خود اختصاص دهد. اما برای هر یک از نقاط نمودار، ما همیشه می‌توانیم یک مماس که با یک تابع خطی نشان داده می‌شود رسم کنیم.
برای روشن شدن پارامتر تغییر جابجایی بسته به زمان، لازم است قطعات اندازه‌گیری شده کوتاه شوند. هنگامی که آنها بی نهایت کوچک می شوند، سرعت محاسبه شده آنی خواهد بود. این تجربه به ما کمک می کند تا مشتق را تعریف کنیم. معنای فیزیکی آن نیز به طور منطقی از چنین استدلالی ناشی می شود.
از نظر هندسه
مشخص است که هر چه سرعت جسم بیشتر باشد، نمودار وابستگی جابجایی به زمان تندتر است و از این رو زاویه تمایل مماس به نمودار در یک نقطه مشخص است. شاخص چنین تغییراتی می تواند مماس زاویه بین محور x و خط مماس باشد. فقط مقدار مشتق را تعیین می کند و با نسبت طول ها محاسبه می شودمقابل پایه مجاور در مثلث قائم الزاویه تشکیل شده توسط عمودی که از نقطه ای به محور x افتاده است.
این معنای هندسی اولین مشتق است. یکی فیزیکی در این واقعیت آشکار می شود که ارزش پای مقابل در مورد ما مسافت طی شده است و پای مجاور زمان است. نسبت آنها سرعت است. و دوباره به این نتیجه می رسیم که سرعت آنی، زمانی که هر دو شکاف به بی نهایت کوچک تمایل دارند، تعیین می شود، جوهر مفهوم مشتق است که معنای فیزیکی آن را نشان می دهد. دومین مشتق در این مثال، شتاب بدن خواهد بود که به نوبه خود میزان تغییر سرعت را نشان می دهد.
نمونه هایی از یافتن مشتقات در فیزیک
مشتق نشانگر میزان تغییر هر تابع است، حتی زمانی که در مورد حرکت به معنای واقعی کلمه صحبت نمی کنیم. برای نشان دادن این موضوع، اجازه دهید چند مثال عینی بیاوریم. فرض کنید قدرت فعلی، بسته به زمان، طبق قانون زیر تغییر می کند: I=0، 4t2. لازم است مقدار نرخ تغییر این پارامتر در پایان هشتمین ثانیه فرآیند پیدا شود. توجه داشته باشید که خود مقدار مورد نظر، همانطور که از معادله قابل قضاوت است، دائما در حال افزایش است.
برای حل آن، باید اولین مشتق را پیدا کنید، که معنای فیزیکی آن قبلاً در نظر گرفته شد. در اینجا dI / dt=0.8t. در مرحله بعد، آن را در t \u003d 8 پیدا می کنیم، دریافتیم که سرعت تغییر قدرت فعلی 6.4 A / C است. در اینجا در نظر گرفته شده است کهجریان به ترتیب با آمپر و زمان بر حسب ثانیه اندازه گیری می شود.
همه چیز تغییر می کند
جهان مرئی اطراف، متشکل از ماده، دائماً دستخوش تغییرات است و در حال حرکت فرآیندهای مختلفی است که در آن رخ می دهد. برای توصیف آنها می توان از پارامترهای مختلفی استفاده کرد. اگر آنها با وابستگی متحد شوند، از نظر ریاضی به عنوان تابعی نوشته می شوند که تغییرات آنها را به وضوح نشان می دهد. و در جایی که حرکت وجود دارد (به هر شکلی که بیان شود)، مشتقی نیز وجود دارد که معنای فیزیکی آن را در حال حاضر در نظر می گیریم.
به همین مناسبت، مثال زیر. فرض کنید دمای بدن مطابق با قانون T=0، 2 t 2 تغییر می کند. شما باید میزان گرمایش آن را در پایان 10 ثانیه پیدا کنید. مشکل به روشی مشابه آنچه در مورد قبلی توضیح داده شد حل می شود. یعنی مشتق را پیدا می کنیم و مقدار t \u003d 10 را در آن جایگزین می کنیم ، T \u003d 0 ، 4 t \u003d 4 می گیریم. این بدان معنی است که پاسخ نهایی 4 درجه در ثانیه است ، یعنی فرآیند گرمایش و تغییر دما، که بر حسب درجه اندازه گیری می شود، دقیقاً با چنین سرعتی رخ می دهد.
حل مسائل عملی
البته، در زندگی واقعی همه چیز بسیار پیچیده تر از مسائل نظری است. در عمل معمولاً مقدار کمیت ها در طول آزمایش تعیین می شود. در این مورد از ابزارهایی استفاده می شود که در حین اندازه گیری ها با خطای خاصی قرائت می کنند. بنابراین، در محاسبات، باید با مقادیر تقریبی پارامترها برخورد کرد و به گرد کردن اعداد نامناسب متوسل شد.و همچنین ساده سازی های دیگر. با در نظر گرفتن این موضوع، با توجه به اینکه آنها فقط نوعی مدل ریاضی از پیچیده ترین فرآیندهای موجود در طبیعت هستند، دوباره به مسائل مربوط به معنای فیزیکی مشتق می پردازیم.
فوران آتشفشان
بیایید تصور کنیم که یک آتشفشان فوران می کند. او چقدر می تواند خطرناک باشد؟ برای پاسخ به این سوال باید عوامل زیادی را در نظر گرفت. ما سعی خواهیم کرد یکی از آنها را در نظر بگیریم.
از دهانه "هیولا آتشین" سنگ ها به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شوند که سرعت اولیه آنها از لحظه خروج به بیرون 120 متر بر ثانیه است. لازم است محاسبه شود که آنها می توانند به حداکثر ارتفاع برسند.
برای یافتن مقدار مورد نظر، معادله ای برای وابستگی ارتفاع H، اندازه گیری شده بر حسب متر، به مقادیر دیگر ایجاد می کنیم. اینها شامل سرعت و زمان اولیه است. مقدار شتاب شناخته شده و تقریباً برابر با 10 متر بر ثانیه در نظر گرفته می شود2.
مشتق جزئی
حالا بیایید معنای فیزیکی مشتق یک تابع را از زاویه کمی متفاوت در نظر بگیریم، زیرا خود معادله می تواند نه یک، بلکه چندین متغیر داشته باشد. به عنوان مثال، در مسئله قبلی، وابستگی ارتفاع سنگ های خارج شده از دریچه آتشفشان نه تنها با تغییر ویژگی های زمانی، بلکه با مقدار سرعت اولیه نیز تعیین شد. دومی یک مقدار ثابت و ثابت در نظر گرفته شد. اما در کارهای دیگر با شرایط کاملاً متفاوت، همه چیز می تواند متفاوت باشد. اگر مقادیری که بر روی آن مجتمعتابع، چندین، محاسبات طبق فرمول های زیر انجام می شود.
معنای فیزیکی مشتق مکرر باید مانند حالت معمول تعیین شود. این نرخی است که با افزایش پارامتر متغیر، تابع در نقطه خاصی تغییر می کند. به گونه ای محاسبه می شود که تمام مولفه های دیگر به عنوان ثابت در نظر گرفته می شوند، تنها یکی به عنوان متغیر در نظر گرفته می شود. سپس همه چیز طبق قوانین معمول اتفاق می افتد.
مشاور ضروری در بسیاری از مسائل
با درک معنای فیزیکی مشتق، آوردن مثال هایی از حل مسائل پیچیده و پیچیده که با چنین دانشی می توان پاسخ آن را یافت، دشوار نیست. اگر تابعی داشته باشیم که مصرف سوخت را بسته به سرعت خودرو توصیف کند، می‌توانیم محاسبه کنیم که مصرف بنزین در کدام پارامتر از دومی کمتر خواهد بود.
در پزشکی، می توانید پیش بینی کنید که بدن انسان به دارویی که توسط پزشک تجویز می شود، چه واکنشی نشان می دهد. مصرف دارو بر انواع پارامترهای فیزیولوژیکی تأثیر می گذارد. این تغییرات شامل تغییرات فشار خون، ضربان قلب، دمای بدن و غیره است. همه آنها به دوز داروی مصرف شده بستگی دارد. این محاسبات به پیش بینی دوره درمان کمک می کند، چه در تظاهرات مطلوب و چه در حوادث نامطلوب که می تواند به طور مرگبار بر تغییرات بدن بیمار تأثیر بگذارد.
بدون شک درک معنای فیزیکی مشتق در تکنیکال مهم است.مسائل، به ویژه در مهندسی برق، الکترونیک، طراحی و ساخت و ساز.
فاصله ترمز
بیایید مشکل بعدی را در نظر بگیریم. با حرکت با سرعت ثابت، خودرو در حال نزدیک شدن به پل، مجبور شد 10 ثانیه قبل از ورود سرعت خود را کاهش دهد، زیرا راننده متوجه تابلوی جاده ای شد که حرکت با سرعت بیش از 36 کیلومتر در ساعت را ممنوع می کند. اگر بتوان فاصله ترمز را با فرمول S=26t - t2 توصیف کرد، آیا راننده قوانین را نقض کرده است؟
با محاسبه مشتق اول، فرمول سرعت را پیدا می کنیم، v=28 – 2t بدست می آوریم. سپس، مقدار t=10 را در عبارت مشخص شده جایگزین کنید.
از آنجایی که این مقدار بر حسب ثانیه بیان شده است، سرعت 8 متر بر ثانیه است که به معنای 28.8 کیلومتر در ساعت است. این باعث می شود بفهمیم که راننده به موقع شروع به کاهش سرعت کرده و قوانین راهنمایی و رانندگی را نقض نکرده است و از این رو محدودیتی که در علامت سرعت نشان داده شده است.
این اهمیت معنای فیزیکی مشتق را ثابت می کند. نمونه ای از حل این مشکل گستردگی استفاده از این مفهوم را در حوزه های مختلف زندگی نشان می دهد. از جمله در موقعیت‌های روزمره.
مشتق در اقتصاد
تا قرن نوزدهم، اقتصاددانان عمدتاً بر اساس میانگین عمل می کردند، چه بهره وری نیروی کار یا قیمت تولید. اما از نقطه‌ای به بعد، مقادیر محدودکننده برای پیش‌بینی مؤثر در این زمینه ضروری‌تر شد. اینها شامل سودمندی نهایی، درآمد یا هزینه است. درک این موضوع انگیزه ای برای ایجاد یک ابزار کاملاً جدید در تحقیقات اقتصادی ایجاد کرد.که بیش از صد سال وجود داشته و توسعه یافته است.
برای انجام چنین محاسباتی، در جایی که مفاهیمی مانند حداقل و حداکثر غالب است، به سادگی لازم است که معنای هندسی و فیزیکی مشتق را درک کنیم. از جمله پدیدآورندگان مبانی نظری این رشته ها می توان از اقتصاددانان برجسته انگلیسی و اتریشی مانند یونس جیونز، کی. منگر و دیگران نام برد. البته استفاده از مقادیر محدود کننده در محاسبات اقتصادی همیشه راحت نیست. و به عنوان مثال، گزارش های فصلی لزوماً در طرح موجود نمی گنجد، اما همچنان کاربرد چنین نظریه ای در بسیاری از موارد مفید و مؤثر است.
