انتگرال نامعین. محاسبه انتگرال های نامعین

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 17:23

یکی از بخش های اساسی تحلیل ریاضی، حساب انتگرال است. وسیع‌ترین میدان اشیاء را پوشش می‌دهد که اولین آن انتگرال نامعین است. ارزش آن را دارد که آن را به عنوان یک کلید قرار دهیم، که حتی در دبیرستان تعداد فزاینده‌ای از دیدگاه‌ها و فرصت‌هایی را که ریاضیات عالی توصیف می‌کند، نشان می‌دهد.

ظاهر

در نگاه اول، انتگرال کاملاً مدرن و مرتبط به نظر می رسد، اما در عمل معلوم می شود که در اوایل سال 1800 قبل از میلاد ظاهر شده است. مصر به طور رسمی وطن محسوب می شود، زیرا شواهد قبلی وجود آن به ما نرسیده است. او به دلیل کمبود اطلاعات، در تمام این مدت به سادگی به عنوان یک پدیده قرار گرفت. او بار دیگر میزان پیشرفت علم را در میان مردمان آن روزگار تأیید کرد. سرانجام، آثار ریاضیدانان یونان باستان که قدمت آنها به قرن چهارم قبل از میلاد باز می‌گردد، پیدا شد. آنها روشی را توصیف کردند که در آن از یک انتگرال نامعین استفاده شد که ماهیت آن یافتن حجم یا مساحت یک شکل منحنی (سه بعدی) بود.و به ترتیب صفحات دو بعدی). اصل محاسبه بر اساس تقسیم رقم اصلی به اجزای بی نهایت کوچک بود، مشروط بر اینکه حجم (مساحت) آنها قبلاً مشخص باشد. با گذشت زمان، این روش رشد کرده است، ارشمیدس از آن برای یافتن ناحیه یک سهمی استفاده کرد. محاسبات مشابهی در همان زمان توسط دانشمندان در چین باستان انجام شد و آنها کاملاً مستقل از همتایان یونانی خود در علم بودند.

توسعه

پیشرفت بعدی در قرن یازدهم پس از میلاد، کار دانشمند عرب "عالم" ابوعلی البصری بود که مرزهای آنچه قبلا شناخته شده بود را جابجا کرد و فرمول هایی را بر اساس انتگرال برای محاسبه مبالغ استخراج کرد. ردیف‌ها و مجموع توان‌ها از اول تا چهارم، با استفاده از روش استقرای ریاضی که برای ما شناخته شده است.

ذهن دوران معاصر تحسین می کند که چگونه مصریان باستان بدون هیچ وسیله خاصی، به جز دستان خود، بناهای معماری شگفت انگیزی خلق کردند، اما آیا قدرت ذهن دانشمندان آن زمان کمتر از معجزه نیست؟ در مقایسه با امروز، زندگی آنها تقریباً ابتدایی به نظر می رسد، اما حل انتگرال های نامشخص در همه جا مشتق شده و در عمل برای توسعه بیشتر استفاده می شود.

گام بعدی در قرن شانزدهم اتفاق افتاد، زمانی که ریاضیدان ایتالیایی کاوالیری روش تقسیم ناپذیرها را توسعه داد که توسط پیر فرما انتخاب شد. این دو شخصیت بودند که اساس حساب انتگرال مدرن را که در حال حاضر شناخته شده است، پایه گذاری کردند. آنها مفاهیم تمایز و ادغام را که قبلاً وجود داشت به هم مرتبط کردندبه عنوان واحدهای مستقل در نظر گرفته می شود. به طور کلی ، ریاضیات آن زمان تکه تکه شده بود ، ذرات نتیجه گیری به تنهایی وجود داشتند و دامنه محدودی داشتند. مسیر اتحاد و جستجوی زمینه مشترک تنها راه درست در آن زمان بود که به لطف آن تجزیه و تحلیل ریاضی مدرن فرصت رشد و توسعه یافت.

همه چیز در طول زمان تغییر کرده است، از جمله نماد انتگرال. به طور کلی، دانشمندان آن را به هر طریقی نشان دادند، به عنوان مثال، نیوتن از یک نماد مربع استفاده کرد که در آن یک تابع قابل ادغام قرار داد یا به سادگی آن را در کنار آن قرار داد.

این ناهماهنگی تا قرن هفدهم ادامه یافت، زمانی که دانشمند گوتفرید لایبنیتس، نقطه عطفی برای کل نظریه تحلیل ریاضی، این نماد را برای ما آشنا معرفی کرد. "S" دراز در واقع بر اساس این حرف از الفبای لاتین است، زیرا نشان دهنده مجموع ضد مشتقات است. این انتگرال به لطف ژاکوب برنولی 15 سال بعد نام خود را گرفت.

تعریف رسمی

انتگرال نامعین مستقیماً به تعریف ضد مشتق بستگی دارد، بنابراین اجازه دهید ابتدا آن را در نظر بگیریم.

ضد مشتق تابعی است که معکوس مشتق است، در عمل به آن بدوی نیز می گویند. در غیر این صورت: ضد مشتق تابع d تابع D است که مشتق آن برابر با v V'=v است. جستجوی پاد مشتق محاسبه انتگرال نامعین است و خود این فرآیند را یکپارچه سازی می نامند.

مثال:

تابع s(y)=y³، و ضد مشتق S(y)=(y^4/4).

مجموعه همه پاد مشتق‌های تابع مورد بررسی انتگرال نامعین است که به صورت زیر نشان داده می‌شود: ∫v(x)dx.

با توجه به این واقعیت که V(x) فقط پاد مشتق تابع اصلی است، عبارت صورت می گیرد: ∫v(x)dx=V(x) + C، که در آن C یک ثابت است. یک ثابت دلخواه هر ثابتی است، زیرا مشتق آن برابر با صفر است.

خواص

خواصی که انتگرال نامعین دارد بر اساس تعریف اصلی و ویژگی های مشتقات است.

بیایید به نکات کلیدی نگاه کنیم:

• انتگرال از مشتق ضد مشتق، خود پاد مشتق به اضافه یک ثابت دلخواه С ∫V'(x)dx=V(x) + C; است.
• مشتق انتگرال تابع تابع اصلی است (∫v(x)dx)'=v(x);
• ثابت از زیر علامت انتگرال ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx خارج می شود، که در آن k دلخواه است؛
• انتگرال گرفته شده از مجموع به طور یکسان برابر با مجموع انتگرال های ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy است.

از دو ویژگی آخر، می‌توان نتیجه گرفت که انتگرال نامعین خطی است. به لطف این، ما داریم: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.

برای ادغام، نمونه هایی از حل انتگرال های نامعین را در نظر بگیرید.

لازم است انتگرال ∫(3sinx + 4cosx)dx را پیدا کنید:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4

از مثال می توانیم نتیجه بگیریم:نمی دانید چگونه انتگرال های نامحدود را حل کنید؟ فقط همه چیزهای اولیه را پیدا کنید! اما اصول جستجو در زیر در نظر گرفته خواهد شد.

روش ها و مثال ها

برای حل انتگرال، می توانید به روش های زیر متوسل شوید:

• از جدول آماده شده استفاده کنید؛
• ادغام بر اساس قطعات؛
• ادغام با تغییر متغیر؛
• آوردن زیر علامت دیفرانسیل.

جدول

ساده ترین و لذت بخش ترین راه. در حال حاضر، تجزیه و تحلیل ریاضی جداول بسیار گسترده ای دارد که در آنها فرمول های اساسی انتگرال های نامعین نوشته شده است. به عبارت دیگر، قالب هایی وجود دارند که قبل از شما ساخته شده اند و برای شما، تنها استفاده از آنها باقی مانده است. در اینجا لیستی از موقعیت های جدول اصلی است که می توانید تقریباً هر مثالی را که راه حلی دارد برای آنها استخراج کنید:

• ∫0dy=C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫dy=y + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C، که در آن C یک ثابت است و n - غیر یک عدد;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫e^ydy=e^{y + C، که در آن C یک ثابت است؛}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C، که در آن C یک ثابت است؛}
• ∫cosydy=سینوسی + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫sinydy=-cosy + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫dy/cos2y=tgy + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C، که در آن C یک ثابت است؛
• ∫chydy=خجالتی + C، جایی که C -ثابت؛
• ∫shydy=chy + C، که در آن C یک ثابت است.

در صورت لزوم، چند قدم بردارید، انتگرال را به شکل جدولی بیاورید و از پیروزی لذت ببرید. مثال: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

طبق حل، واضح است که برای مثال جدولی، انتگرال فاقد ضریب 5 است. آن را جمع می کنیم و موازی آن را در 1/5 ضرب می کنیم تا عبارت کلی تغییر نکند.

ادغام بر اساس قطعات

دو تابع را در نظر بگیرید - z(y) و x(y). آنها باید به طور مداوم در کل دامنه تعریف قابل تمایز باشند. با توجه به یکی از ویژگی های تمایز، داریم: d(xz)=xdz + zdx. با ادغام هر دو بخش معادله، دریافت می کنیم: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.

با بازنویسی برابری حاصل، فرمولی به دست می‌آوریم که روش ادغام را با قطعات توصیف می‌کند: ∫zdx=zx - ∫xdz.

چرا لازم است؟ نکته این است که برخی از مثال‌ها را می‌توان ساده کرد، به‌طور مشروط، اگر مورد دوم به شکل جدولی نزدیک باشد، ∫zdx را به ∫xdz کاهش داد. همچنین، این فرمول را می توان بیش از یک بار اعمال کرد و به نتایج مطلوب دست یافت.

چگونه انتگرال های نامعین را به این روش حل کنیم:

نیاز به محاسبه ∫(s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1، dz=ds، y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

نیاز به محاسبه ∫lnsds

∫lnsds={z=lns، dz=ds/s، y=s، dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.

جایگزینی متغیر

این اصل حل انتگرال نامعین کمتر از دو اصل قبلی است، اگرچه پیچیده تر است. روش به شرح زیر است: فرض کنید V(x) انتگرال یک تابع v(x) باشد. در صورتی که خود انتگرال در مثال پیچیده به نظر برسد، احتمال گیج شدن و انتخاب مسیر اشتباه راه حل وجود دارد. برای جلوگیری از این امر، انتقال از متغیر x به z تمرین می شود، که در آن عبارت کلی از نظر بصری ساده می شود و در عین حال وابستگی z به x حفظ می شود.

از نظر ریاضی به این صورت است: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x))، که در آن x=y(z) یک جایگزین است. و البته، تابع معکوس z=y}-1^{(x) به طور کامل وابستگی و رابطه متغیرها را توصیف می کند. نکته مهم - دیفرانسیل dx لزوماً با یک دیفرانسیل جدید dz جایگزین می شود، زیرا جایگزینی یک متغیر در انتگرال نامعین به معنای جایگزینی آن در همه جا و نه فقط در انتگرال است.}

مثال:

نیاز به یافتن ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

جایگزین z=(s+1)/(s2+2s-5) را اعمال کنید. سپس dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. در نتیجه، عبارت زیر را دریافت می کنیم که محاسبه آن بسیار آسان است:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

نیاز به یافتن انتگرال است∫2^se^sdx

برای حل، عبارت را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

∫2^se^sds=∫(2e)^sds.

با a=2e نشان می دهیم (این مرحله جایگزینی برای آرگومان نیست، همچنان s است)، انتگرال به ظاهر پیچیده خود را به شکل جدولی ابتدایی می آوریم:

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + C=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

آوردن زیر علامت دیفرانسیل

به طور کلی، این روش انتگرال های نامعین برادر دوقلوی اصل تغییر متغیر است، اما تفاوت هایی در فرآیند طراحی وجود دارد. بیایید نگاه دقیق‌تری بیندازیم.

اگر ∫v(x)dx=V(x) + C و y=z(x)، پس ∫v(y)dy=V(y) + C.

در این مورد، نباید دگرگونی های انتگرال بی اهمیت را فراموش کرد که از جمله آنها می توان به:

• dx=d(x + a)، که در آن a هر ثابت است؛
• dx=(1 / a)d(ax + b)، که در آن a دوباره یک ثابت است، اما برابر با صفر نیست؛
• xdx=1/2d(x2 + b);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx).

اگر حالت کلی را هنگام محاسبه انتگرال نامعین در نظر بگیریم، مثال‌ها را می‌توان تحت فرمول کلی w'(x)dx=dw(x) خلاصه کرد.

مثال:

نیاز به یافتن ∫(2s + 3)²ds، ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.

راهنمای آنلاین

در برخی موارد که ممکن است تقصیر آن تنبلی یا نیاز فوری باشد، می توانید از نکات آنلاین استفاده کنید یا بهتر است بگوییم از ماشین حساب انتگرال نامشخص استفاده کنید. علیرغم همه پیچیدگی های ظاهری و قابل بحث بودن انتگرال ها، حل آنها تابع الگوریتم خاصی است که مبتنی بر اصل "اگر نه …، پس …" است.

البته، چنین ماشین حسابی به مثال های پیچیده ای تسلط ندارد، زیرا مواردی وجود دارد که در آنها باید راه حل را به طور مصنوعی پیدا کرد، "به زور" عناصر خاصی را در این فرآیند وارد کرد، زیرا نتیجه به طور واضح بدست نمی آید. راه ها. علیرغم همه اختلاف نظرهای این گفته، درست است، زیرا اصولاً ریاضیات علمی انتزاعی است و نیاز به گسترش مرزهای احتمالات را وظیفه اصلی خود می داند. در واقع، حرکت به سمت بالا و توسعه بر اساس تئوری های روان و در حال اجرا بسیار دشوار است، بنابراین نباید فرض کنید که مثال هایی از حل انتگرال های نامعین که ارائه کردیم، اوج احتمالات هستند. اما برگردیم به جنبه فنی همه چیز. حداقل برای بررسی محاسبات، می توانید از خدماتی استفاده کنید که در آن همه چیز قبل از ما نوشته شده است. اگر نیاز به محاسبه خودکار یک عبارت پیچیده باشد، نمی توان آنها را کنار گذاشت، باید به نرم افزار جدی تری متوسل شوید. بهتر است قبل از هر چیز به محیط MatLab توجه کنید.

برنامه

راه حل انتگرال های نامعین در نگاه اول به نظر کاملاً خارج از واقعیت است، زیرا دیدن حوزه های کاربردی آشکار دشوار است. در واقع، آنها را نمی توان به طور مستقیم در هر جایی استفاده کرد، اما آنها یک عنصر واسطه ضروری در فرآیند استخراج راه حل های مورد استفاده در عمل در نظر گرفته می شوند. بنابراین، ادغام معکوس به تمایز است، به همین دلیل به طور فعال در فرآیند حل معادلات شرکت می کند.

به نوبه خود، این معادلات تأثیر مستقیمی بر حل مسائل مکانیکی، محاسبه مسیرها و هدایت حرارتی دارند - به طور خلاصه، همه چیزهایی که حال را می سازند و آینده را شکل می دهند. انتگرال نامعین، که نمونه‌هایی از آن را در بالا بررسی کردیم، تنها در نگاه اول بی‌اهمیت است، زیرا مبنایی برای دستیابی به اکتشافات جدید و بیشتر است.