منشور مستقیم چیست؟ خواص و فرمول ها نمونه کار

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

استریومتری مطالعه ویژگی های اشکال هندسی سه بعدی است. یکی از اشکال حجمی شناخته شده ای که در مسائل هندسی ظاهر می شود منشور مستقیم است. بیایید در این مقاله بررسی کنیم که چیست، و همچنین منشوری با پایه مثلثی را به تفصیل شرح دهیم.

منشور و انواع آن

منشور شکلی است که در نتیجه ترجمه موازی یک چندضلعی در فضا به وجود می آید. در نتیجه این عملیات هندسی، شکلی تشکیل می شود که از چندین متوازی الاضلاع و دو چند ضلعی یکسان به موازات یکدیگر تشکیل شده است. متوازی الاضلاع اضلاع منشور و چندضلعی ها پایه های آن هستند.

هر منشوری دارای n+2 ضلع، 3n لبه و 2n راس است که n تعداد گوشه ها یا اضلاع پایه چند ضلعی است. تصویر یک منشور پنج ضلعی را نشان می دهد که دارای 7 ضلع، 10 راس و 15 یال است.

کلاس اشکال در نظر گرفته شده با چندین نوع منشور نشان داده می شود.ما آنها را به طور خلاصه فهرست می کنیم:

• مقعر و محدب؛
• میل و مستقیم؛
• اشتباه و درست.

هر شکل متعلق به یکی از سه نوع طبقه بندی ذکر شده است. هنگام حل مسائل هندسی، انجام محاسبات برای منشورهای منظم و مستقیم ساده تر است. مورد دوم با جزئیات بیشتر در پاراگراف های بعدی مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.

منشور مستقیم چیست؟

منشور مستقیم یک منشور مقعر یا محدب، منظم یا نامنظم است که در آن همه اضلاع با چهار ضلعی با زاویه ۹۰ درجه نشان داده می شوند. اگر حداقل یکی از چهار ضلع های اضلاع مستطیل یا مربع نباشد، منشور را مایل می گویند. تعریف دیگری نیز می توان ارائه داد: منشور مستقیم، شکلی از یک کلاس مشخص است که در آن هر لبه جانبی برابر با ارتفاع است. در زیر ارتفاع h منشور، فاصله بین پایه های آن در نظر گرفته می شود.

هر دو تعریف ارائه شده مبنی بر اینکه منشور مستقیم است برابر و خودکفا هستند. از آنها نتیجه می شود که تمام زوایای دو وجهی بین هر یک از پایه ها و هر ضلع 90 درجه است.

در بالا گفته شد که هنگام حل مسائل کار با ارقام مستقیم راحت است. این به این دلیل است که ارتفاع با طول دنده کناری مطابقت دارد. واقعیت اخیر فرآیند محاسبه حجم یک شکل و مساحت سطح جانبی آن را تسهیل می کند.

حجم منشور مستقیم

Volume - یک مقدار ذاتی در هر شکل فضایی، که به صورت عددی بخشی از فضای محصور شده بین سطوح در نظر گرفته شده را منعکس می کند.هدف - شی. حجم یک منشور را می توان با استفاده از فرمول کلی زیر محاسبه کرد:

V=S_oh.

یعنی حاصل ضرب ارتفاع و مساحت قاعده مقدار مورد نظر V را به دست می دهد. از آنجایی که پایه های یک منشور مستقیم برابر است، پس مساحت S_{o را تعیین کنید.} می توانید هر کدام از آنها را بگیرید.

مزیت استفاده از فرمول فوق به طور خاص برای یک منشور مستقیم در مقایسه با انواع دیگر آن این است که پیدا کردن ارتفاع شکل بسیار آسان است، زیرا با طول لبه کناری منطبق است.

منطقه جانبی

محاسبه نه تنها حجم برای شکل مستقیم کلاس مورد نظر، بلکه سطح جانبی آن نیز راحت است. در واقع، هر ضلع آن مستطیل یا مربع است. هر دانش آموزی می داند که چگونه مساحت این ارقام مسطح را محاسبه کند، برای این کار باید اضلاع مجاور را در یکدیگر ضرب کرد.

فرض کنید که پایه منشور یک n-گون دلخواه است که اضلاع آن برابر با a_i است. شاخص i از 1 تا n اجرا می شود. مساحت یک مستطیل به صورت زیر محاسبه می شود:

S_i=a_ih.

مساحت سطح جانبی S_b به راحتی قابل محاسبه است اگر تمام مساحت های S_i مستطیل ها را جمع کنید. در این حالت، فرمول نهایی S_bمنشور مستقیم را دریافت می کنیم:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

بنابراین، برای تعیین سطح جانبی یک منشور مستقیم، باید ارتفاع آن را در محیط یک قاعده ضرب کنید.

مسئله با منشور مثلثی

فرض کنید که یک منشور مستقیم داده شده است. پایه یک مثلث قائم الزاویه است. پایه های این مثلث 12 سانتی متر و 8 سانتی متر است که اگر ارتفاع منشور 15 سانتی متر باشد باید حجم شکل و مساحت کل آن را محاسبه کرد.

ابتدا، بیایید حجم یک منشور مستقیم را محاسبه کنیم. مثلث (مستطیل شکل) که در پایه های آن قرار دارد دارای مساحت:

است.

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

همانطور که ممکن است حدس بزنید، a₁ و a₂ پاهای این معادله هستند. با دانستن مساحت و ارتفاع پایه (شرایط مسئله را ببینید)، می توانید از فرمول V استفاده کنید:

V=S_oh=4815=720cm³.

مساحت کل شکل از دو قسمت تشکیل می شود: نواحی پایه ها و سطح جانبی. مساحت دو پایه عبارتند از:

S_2o=2S_o=482=96cm².

برای محاسبه مساحت سطح جانبی، باید محیط یک مثلث قائم الزاویه را بدانید. با قضیه فیثاغورث فرض آن را a₃ محاسبه کنید، داریم:

a₃ =√(a₁²+ a_۲ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14.42 سانتی متر.}

پس محیط مثلث قاعده منشور راست برابر خواهد شد:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14، 42=34، 42 سانتی متر.

استفاده از فرمول S_b که در پاراگراف قبل نوشته شده بود،دریافت:

S_b=hP=۱۵۳۴، ۴۲=۵۱۶، ۳ سانتی‌متر.

با افزودن مساحت های S_2o و S_b، مساحت کل شکل هندسی مورد مطالعه را بدست می آوریم:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

یک منشور مثلثی، که از انواع خاصی از شیشه ساخته شده است، در اپتیک برای مطالعه طیف اجسام ساطع کننده نور استفاده می شود. چنین منشورهایی به دلیل پدیده پراکندگی قادرند نور را به فرکانس های جزء تجزیه کنند.