یکی از اشکالی که هنگام حل مسائل هندسی در فضا رخ می دهد، مخروط است. برخلاف چند وجهی، به کلاس شکل های چرخشی تعلق دارد. بیایید در مقاله در نظر بگیریم که منظور از آن در هندسه چیست و ویژگی‌های بخشهای مختلف مخروط را بررسی کنیم.
مخروط در هندسه
فرض کنید که در هواپیما مقداری منحنی وجود دارد. این می تواند سهمی، دایره، بیضی و غیره باشد. نقطه ای را که به صفحه مشخص شده تعلق ندارد بردارید و تمام نقاط منحنی را به آن وصل کنید. سطح حاصل را مخروط یا به سادگی مخروط می نامند.
اگر منحنی اصلی بسته باشد، سطح مخروطی را می توان با ماده پر کرد. شکل به دست آمده از این طریق یک جسم سه بعدی است. به آن مخروط نیز می گویند. چندین مخروط کاغذی در زیر نشان داده شده است.
سطح مخروطی شکل در زندگی روزمره یافت می شود. به عنوان مثال، یک مخروط بستنی یا یک مخروط راه راه دارای این شکل است که برای جلب توجه رانندگان طراحی شده است.عابران پیاده.
انواع مخروط
همانطور که ممکن است حدس بزنید، ارقام مورد بررسی با نوع منحنی که بر روی آن تشکیل شده اند با یکدیگر متفاوت هستند. به عنوان مثال، یک مخروط گرد یا یک بیضوی وجود دارد. این منحنی را پایه شکل می نامند. با این حال، شکل پایه تنها ویژگی نیست که امکان طبقه بندی مخروط ها را فراهم می کند.
دومین مشخصه مهم موقعیت ارتفاع نسبت به پایه است. ارتفاع مخروط یک پاره خط مستقیم است که از بالای شکل تا صفحه قاعده پایین آمده و عمود بر این صفحه است. اگر ارتفاع پایه را در مرکز هندسی قطع کند (مثلاً در مرکز دایره)، مخروط مستقیم خواهد بود، اگر بخش عمود بر هر نقطه دیگر از پایه یا فراتر از آن بیفتد، آنگاه شکل خواهد بود. مایل.
در ادامه مقاله ما فقط یک مخروط مستقیم گرد را به عنوان نماینده روشن کلاس شکل‌ها در نظر می‌گیریم.
نام هندسی عناصر مخروطی
در بالا گفته شد که مخروط پایه دارد. به دایره ای محدود می شود که به آن راهنمای مخروط می گویند. قطعاتی که راهنما را به نقطه ای متصل می کند که در صفحه پایه قرار ندارد ژنراتور نامیده می شود. مجموعه تمام نقاط ژنراتور را سطح مخروطی یا جانبی شکل می گویند. برای یک مخروط راست گرد، همه ژنراتورها طول یکسانی دارند.
نقطه ای که ژنراتورها را قطع می کنند، بالای شکل نامیده می شود. برخلاف چند وجهی، یک مخروط دارای یک رأس منفرد و نه استلبه.
خط مستقیمی که از بالای شکل و مرکز دایره عبور می کند، محور نامیده می شود. این محور دارای ارتفاع یک مخروط مستقیم است، بنابراین با صفحه قاعده زاویه قائمه تشکیل می دهد. این اطلاعات هنگام محاسبه مساحت بخش محوری مخروط مهم است.
مخروط راست گرد - شکل چرخشی
مخروط در نظر گرفته شده یک شکل نسبتاً متقارن است که در نتیجه چرخش مثلث به دست می آید. فرض کنید یک مثلث با زاویه قائمه داریم. برای به دست آوردن یک مخروط کافی است مانند شکل زیر این مثلث را به دور یکی از پایه ها بچرخانید.
می توان دید که محور چرخش، محور مخروط است. یکی از پایه ها برابر با ارتفاع شکل خواهد بود و پایه دوم به شعاع پایه تبدیل می شود. هیپوتنوز مثلث در نتیجه چرخش یک سطح مخروطی را توصیف می کند. این ژنراتیکس مخروط خواهد بود.
این روش برای بدست آوردن یک مخروط مستقیم گرد برای مطالعه رابطه ریاضی بین پارامترهای خطی شکل راحت است: ارتفاع h، شعاع پایه گرد r و راهنمای g. فرمول مربوطه از خواص یک مثلث قائم الزاویه به دست می آید. در زیر فهرست شده است:
g2=h2+ r2.
از آنجایی که ما یک معادله و سه متغیر داریم، به این معنی است که برای تنظیم منحصر به فرد پارامترهای یک مخروط گرد، باید هر دو کمیت را بدانید.
قطعات یک مخروط توسط صفحه ای که راس شکل را ندارد
مسئله ساختن بخشهای یک شکل نیستبدیهی. واقعیت این است که شکل مقطع مخروط توسط سطح به موقعیت نسبی شکل و سکنت بستگی دارد.
فرض کنید که مخروط را با یک صفحه قطع می کنیم. نتیجه این عملیات هندسی چه خواهد بود؟ گزینه های شکل بخش در شکل زیر نشان داده شده است.
بخش صورتی یک دایره است. در نتیجه تقاطع شکل با صفحه ای که با پایه مخروط موازی است تشکیل می شود. این مقاطع عمود بر محور شکل هستند. شکل تشکیل شده در بالای صفحه برش مخروطی شبیه به شکل اصلی است، اما دارای دایره کوچکتری در پایه است.
بخش سبز رنگ بیضی است. اگر صفحه برش موازی با پایه نباشد، اما فقط سطح جانبی مخروط را قطع می کند، به دست می آید. شکل بریده شده بالای صفحه را مخروط مورب بیضی می نامند.
بخش آبی و نارنجی به ترتیب سهمی و هذلولی هستند. همانطور که از شکل می بینید، اگر صفحه برش به طور همزمان سطح جانبی و پایه شکل را قطع کند، به دست می آیند.
برای تعیین مساحت مقاطع مخروط در نظر گرفته شده، لازم است از فرمول های شکل مربوطه در صفحه استفاده کنید. به عنوان مثال، برای یک دایره، این عدد پی ضرب در مربع شعاع است، و برای یک بیضی، این حاصل ضرب عدد Pi و طول نیم محورهای کوچک و بزرگ است:
دایره: S=pir2;
بیضی: S=piab.
بخش های حاوی بالای مخروط
اکنون گزینه هایی را برای بخش هایی که در صورت وجود صفحه برش ایجاد می شوند، در نظر بگیریداز بالای مخروط عبور کنید. سه مورد ممکن است:
- بخش یک نقطه است. برای مثال، صفحه ای که از راس و موازی قاعده می گذرد، دقیقاً چنین مقطعی را به دست می دهد.
- بخش یک خط مستقیم است. این وضعیت زمانی رخ می دهد که صفحه مماس بر یک سطح مخروطی باشد. خط مستقیم بخش در این حالت ژنراتیکس مخروط خواهد بود.
- بخش محوری. زمانی شکل می گیرد که هواپیما نه تنها بالای شکل، بلکه کل محور آن را نیز در بر گیرد. در این صورت صفحه عمود بر پایه گرد خواهد بود و مخروط را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
بدیهی است که مساحت دو نوع مقطع اول برابر با صفر است. در مورد سطح مقطع مخروط برای نوع 3، این موضوع در پاراگراف بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار گرفته است.
بخش محوری
در بالا ذکر شد که بخش محوری یک مخروط شکلی است که وقتی مخروط با صفحه ای که از محور خود می گذرد قطع می شود. به راحتی می توان حدس زد که این بخش نمایانگر شکل نشان داده شده در شکل زیر است.
این مثلث متساوی الساقین است. راس بخش محوری مخروط، راس این مثلث است که از تلاقی اضلاع یکسان تشکیل شده است. دومی برابر است با طول ژنراتیکس مخروط. قاعده مثلث قطر قاعده مخروط است.
محاسبه مساحت بخش محوری یک مخروط به یافتن مساحت مثلث حاصل کاهش می یابد. اگر شعاع پایه r و ارتفاع h مخروط در ابتدا مشخص باشد، مساحت S مقطع مورد نظر برابر خواهد بود:
S=ساعتr.
ایناین عبارت نتیجه اعمال فرمول استاندارد برای مساحت یک مثلث (نصف حاصلضرب ارتفاع ضربدر قاعده) است.
توجه داشته باشید که اگر ژنراتیکس یک مخروط برابر با قطر قاعده گرد آن باشد، بخش محوری مخروط یک مثلث متساوی الاضلاع است.
وقتی صفحه برش عمود بر پایه مخروط باشد و از محور آن عبور کند، یک بخش مثلثی شکل می گیرد. هر صفحه دیگر موازی با صفحه نامبرده یک هذلولی در مقطع ایجاد می کند. با این حال، اگر صفحه حاوی راس مخروط باشد و قاعده خود را نه از طریق قطر قطع کند، بخش حاصل نیز یک مثلث متساوی الساقین خواهد بود.
مسئله تعیین پارامترهای خطی مخروط
بیایید نشان دهیم که چگونه از فرمول نوشته شده برای مساحت مقطع محوری برای حل یک مسئله هندسی استفاده کنیم.
مشخص است که مساحت بخش محوری مخروط 100 سانتی متر است2. مثلث حاصل متساوی الاضلاع است. ارتفاع مخروط و شعاع قاعده آن چقدر است؟
از آنجایی که مثلث متساوی الاضلاع است، ارتفاع h آن با طول ضلع a به صورت زیر مرتبط است:
h=√3/2a.
با توجه به اینکه ضلع مثلث دو برابر شعاع قاعده مخروط است، و با جایگزینی این عبارت در فرمول سطح مقطع، دریافت می کنیم:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
پس ارتفاع مخروط برابر است با:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
باقی مانده است که مقدار مساحت را از شرایط مشکل جایگزین کنیمو پاسخ را دریافت کنید:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 سانتی متر؛
h=√(√3100) ≈ 13، 16 سانتی متر.
در چه زمینه هایی دانستن پارامترهای بخش های در نظر گرفته شده مهم است؟
مطالعه انواع مقاطع مخروطی نه تنها مورد توجه نظری است، بلکه کاربردهای عملی نیز دارد.
در ابتدا باید به حوزه آیرودینامیک اشاره کرد که در آن به کمک مقاطع مخروطی می توان اشکال صاف ایده آل اجسام جامد را ایجاد کرد.
ثانیاً، مقاطع مخروطی مسیرهایی هستند که اجرام فضایی در امتداد آنها در میدان های گرانشی حرکت می کنند. اینکه چه نوع مقطعی نشان دهنده مسیر حرکت اجسام کیهانی منظومه است، با نسبت جرم، سرعت مطلق و فواصل بین آنها تعیین می شود.
