هر دانش‌آموز دبیرستانی در مورد اشکال فضایی مانند توپ، استوانه، مخروط، هرم و منشور می‌داند. از این مقاله می آموزید که منشور مثلثی چیست و با چه ویژگی هایی مشخص می شود.
کدام شکل را در مقاله در نظر خواهیم گرفت؟
منشور مثلثی ساده ترین نماینده کلاس منشورها است که اضلاع، رئوس و لبه های کمتری نسبت به هر شکل فضایی مشابه دیگری دارد. این منشور از دو مثلث تشکیل شده است که می توانند شکل دلخواه داشته باشند، اما لزوماً باید با یکدیگر برابر باشند و در فضا در صفحات موازی باشند و سه متوازی الاضلاع که در حالت کلی با یکدیگر برابر نیستند. برای وضوح، شکل توصیف شده در زیر نشان داده شده است.
چگونه می توانم یک منشور مثلثی به دست بیاورم؟ بسیار ساده است: شما باید یک مثلث را بردارید و آن را به یک بردار در فضا منتقل کنید. سپس رئوس یکسان دو مثلث را با قطعات وصل کنید. بنابراین قاب شکل را بدست می آوریم. اگر اکنون تصور کنیم که این قاب اضلاع جامد را محدود می کند، آنگاه می گیریمشکل سه بعدی به تصویر کشیده شده است.
منشور مورد مطالعه از چه عناصری تشکیل شده است؟
منشور مثلثی یک چندوجهی است، یعنی از چندین وجه یا ضلع متقاطع تشکیل شده است. در بالا مشخص شد که دارای پنج ضلع از این قبیل است (دو ضلع مثلثی و سه ضلعی). ضلع های مثلثی قاعده نامیده می شوند، در حالی که متوازی الاضلاع وجه های جانبی هستند.
مانند هر چند وجهی، منشور مورد مطالعه دارای رئوس است. بر خلاف هرم، رئوس هر منشوری برابر است. شکل مثلثی دارای شش عدد است. همه آنها متعلق به هر دو پایگاه هستند. دو یال پایه و یک لبه کناری در هر رأس قطع می شوند.
اگر تعداد رئوس را به تعداد اضلاع شکل اضافه کنیم و سپس عدد 2 را از مقدار حاصل کم کنیم، به این سوال پاسخ خواهیم داد که منشور مورد بررسی چند یال دارد.. نه عدد از آنها وجود دارد: شش پایه را محدود می کنند و سه مورد باقیمانده متوازی الاضلاع را از یکدیگر جدا می کنند.
انواع شکل
توضیح با جزئیات کافی از یک منشور مثلثی که در پاراگراف های قبل ارائه شد، با چندین نوع شکل مطابقت دارد. طبقه بندی آنها را در نظر بگیرید.
منشور مورد مطالعه می تواند مایل و مستقیم باشد. تفاوت آنها در نوع چهره های جانبی است. در منشور مستقیم آنها مستطیل هستند و در منشور مایل متوازی الاضلاع عمومی هستند. در زیر دو منشور با پایه های مثلثی، یکی مستقیم و دیگری مورب نشان داده شده است.
برخلاف منشور مایل، منشور مستقیم همه زوایای دو وجهی بین پایه ها واضلاع 90 درجه هستند. آخرین واقعیت به چه معناست؟ که ارتفاع یک منشور مثلثی، یعنی فاصله بین پایه های آن، در شکل مستقیم برابر با طول هر لبه جانبی است. برای یک شکل مورب، ارتفاع همیشه کمتر از طول هر یک از لبه‌های کناری آن است.
منشور با پایه مثلثی می تواند نامنظم و درست باشد. اگر پایه های آن مثلث هایی با اضلاع مساوی باشد و خود شکل مستقیم باشد، به آن منتظم می گویند. یک منشور منظم دارای تقارن نسبتاً بالایی است، از جمله صفحات بازتابی و محورهای چرخش. برای یک منشور معمولی، فرمول هایی برای محاسبه حجم و مساحت سطح وجه ها در زیر آورده شده است. بنابراین، به ترتیب.
مساحت یک منشور مثلثی
قبل از دستیابی به فرمول مربوطه، اجازه دهید منشور صحیح را باز کنیم.
واضح است که مساحت یک شکل را می توان با اضافه کردن سه مساحت مستطیل یکسان و دو مساحت مثلث مساوی با اضلاع یکسان محاسبه کرد. ارتفاع منشور را با حرف h و ضلع قاعده مثلثی آن را با حرف a نشان می دهیم. سپس برای مساحت مثلث S3 داریم:
S3=√3/4a2
این عبارت با ضرب ارتفاع یک مثلث در قاعده آن و سپس تقسیم نتیجه بر 2 به دست می آید.
برای مساحت مستطیل S4می‌گیریم:
S4=ah
با اضافه کردن نواحی همه ضلع ها، مساحت کل شکل را به دست می آوریم:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3یکساعت
در اینجا اولین عبارت مساحت پایه ها را نشان می دهد و دومی مساحت سطح جانبی منشور مثلثی است.
به یاد بیاورید که این فرمول فقط برای یک رقم معمولی معتبر است. در مورد منشور مایل نادرست، محاسبه مساحت باید در مراحل انجام شود: ابتدا مساحت پایه ها و سپس - سطح جانبی را تعیین کنید. دومی برابر با حاصلضرب لبه کناری و محیط برش عمود بر وجوه جانبی خواهد بود.
حجم شکل
حجم یک منشور مثلثی را می توان با استفاده از فرمول مشترک همه شکل های این کلاس محاسبه کرد. به نظر می رسد:
V=So h
در مورد یک منشور مثلثی منظم، این فرمول به شکل خاص زیر خواهد بود:
V=√3/4a2 h
اگر منشور نامنظم، اما مستقیم است، به جای مساحت پایه، باید ناحیه مربوطه را جایگزین مثلث کنید. اگر منشور مایل باشد، علاوه بر تعیین مساحت پایه، ارتفاع آن نیز باید محاسبه شود. به عنوان یک قاعده، اگر زوایای دو وجهی بین اضلاع و پایه ها مشخص باشد، برای این کار از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود.
