هرم مثلثی و فرمول های تعیین مساحت آن

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

هرم یک شکل هندسی فضایی است که ویژگی های آن در دبیرستان در درس هندسه جامد مورد مطالعه قرار می گیرد. در این مقاله به بررسی هرم مثلثی، انواع آن و همچنین فرمول هایی برای محاسبه سطح آن می پردازیم.

در مورد کدام هرم صحبت می کنیم؟

هرم مثلثی شکلی است که می توان آن را با اتصال تمام رئوس یک مثلث دلخواه به یک نقطه که در صفحه این مثلث قرار ندارد به دست آورد. بر اساس این تعریف، هرم مورد بررسی باید از یک مثلث ابتدایی که قاعده شکل نامیده می شود و سه مثلث ضلعی که یک ضلع مشترک با قاعده دارند و در نقطه ای به یکدیگر متصل می شوند، باشد. دومی راس هرم نامیده می شود.

تصویر بالا یک هرم مثلثی دلخواه را نشان می دهد.

شکل مورد نظر می تواند مایل یا مستقیم باشد. در حالت دوم، عمودی که از بالای هرم به قاعده آن افتاده است باید آن را در مرکز هندسی قطع کند. مرکز هندسی هرمثلث نقطه تلاقی وسط آن است. مرکز هندسی با مرکز جرم شکل در فیزیک منطبق است.

اگر یک مثلث منتظم (متساوی الاضلاع) در قاعده یک هرم مستقیم قرار گیرد، آن را مثلث منتظم می گویند. در یک هرم منتظم، همه اضلاع با هم برابر هستند و مثلث متساوی الاضلاع هستند.

اگر ارتفاع هرم منظم به اندازه ای باشد که مثلث های اضلاع آن متساوی الاضلاع شوند، آن را چهار وجهی می نامند. در یک چهار وجهی، هر چهار وجه با یکدیگر برابرند، بنابراین هر یک از آنها را می توان یک پایه در نظر گرفت.

عناصر هرم

این عناصر شامل چهره یا اضلاع یک شکل، لبه‌ها، رئوس، ارتفاع و آپوتم‌های آن است.

همانطور که نشان داده شده است، همه اضلاع هرم مثلثی مثلث هستند. تعداد آنها 4 است (3 طرف و یک در پایه).

راس ها نقاط تقاطع سه ضلع مثلثی هستند. حدس زدن اینکه برای هرم مورد بررسی 4 مورد از آنها وجود دارد دشوار نیست (3 مورد به قاعده و 1 مورد به بالای هرم تعلق دارد).

یال ها را می توان به عنوان خطوطی تعریف کرد که دو ضلع مثلثی را قطع می کنند یا به عنوان خطوطی که هر دو راس را به هم متصل می کنند. تعداد یال ها برابر با دو برابر تعداد رئوس پایه است، یعنی برای هرم مثلثی 6 است (3 یال متعلق به قاعده و 3 یال توسط وجوه جانبی تشکیل شده است).

ارتفاع، همانطور که در بالا ذکر شد، طول عمود کشیده شده از بالای هرم به قاعده آن است. اگر از این راس به هر طرف قاعده مثلثی ارتفاع رسم کنیم،سپس آنها را آپوتم (یا آپوتم) می نامند. بنابراین، هرم مثلثی یک ارتفاع و سه آپوتم دارد. دومی برای یک هرم منظم با یکدیگر برابر هستند.

پایه هرم و مساحت آن

از آنجایی که پایه شکل مورد نظر عموماً یک مثلث است، برای محاسبه مساحت آن کافی است ارتفاع آن h_o و طول ضلع پایه را بیابید. الف که روی آن پایین آمده است. فرمول ناحیه S_o پایه این است:

S_o=1/2h_oa

اگر مثلث قاعده متساوی الاضلاع باشد، مساحت قاعده هرم مثلثی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

S_o=√3/4a²

یعنی مساحت S_oبه طور منحصر به فردی با طول ضلع a قاعده مثلثی تعیین می شود.

ضلع و مساحت کل شکل

قبل از در نظر گرفتن مساحت یک هرم مثلثی، نشان دادن توسعه آن مفید است. او در تصویر زیر است.

مساحت این جارو که توسط چهار مثلث تشکیل شده است، مساحت کل هرم است. یکی از مثلث ها مربوط به پایه است که فرمول مقدار در نظر گرفته شده آن در بالا نوشته شده است. سه وجه مثلثی جانبی با هم ناحیه جانبی شکل را تشکیل می دهند. بنابراین برای تعیین این مقدار کافی است فرمول فوق را برای یک مثلث دلخواه به هر یک از آنها اعمال کنید و سپس سه نتیجه را اضافه کنید.

اگر هرم درست است، پس محاسبهمساحت سطح جانبی تسهیل می شود، زیرا همه وجوه جانبی مثلث های متساوی الاضلاع هستند. h_b طول آپوتم را مشخص کنید، سپس مساحت سطح جانبی S_b را می توان به صورت زیر تعیین کرد:

S_b=3/2ah_b

این فرمول از عبارت کلی مساحت یک مثلث به دست می آید. عدد 3 به دلیل اینکه هرم سه وجهی دارد در اعداد ظاهر شد.

Apotema h_b در یک هرم منظم را می توان در صورتی محاسبه کرد که ارتفاع شکل h مشخص باشد. با اعمال قضیه فیثاغورث، دریافت می کنیم:

h_b=√(h²+ a²/12)

بدیهی است که مساحت کل S سطح شکل برابر است با مجموع مساحت ضلع و پایه آن:

S=S_o+ S_b

برای یک هرم معمولی که همه مقادیر شناخته شده را جایگزین می کند، فرمول را دریافت می کنیم:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

مساحت هرم مثلثی فقط به طول ضلع قاعده و ارتفاع آن بستگی دارد.

مشکل مثال

مشخص است که لبه کناری هرم مثلثی ۷ سانتی‌متر و ضلع قاعده ۵ سانتی‌متر است، اگر می‌دانید که هرم باید سطح آن را پیدا کنید. منظم است.

از یک برابری کلی استفاده کنید:

S=S_o+ S_b

منطقه S_o برابر است با:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10، 825 سانتی‌متر}2.

برای تعیین سطح جانبی، باید آپوتم را پیدا کنید. نشان دادن اینکه از طریق طول لبه جانبی a_b با فرمول تعیین می شود دشوار نیست:

h_b=√(a_b²- a^{۲ /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 سانتی متر.}

پس مساحت S_b برابر است با:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 cm2.

مساحت کل هرم برابر است با:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

توجه داشته باشید که هنگام حل مسئله، از مقدار ارتفاع هرم در محاسبات استفاده نکردیم.