سری فوریه
نمایشی از یک تابع دلخواه گرفته شده با یک دوره خاص به عنوان یک سری است. به طور کلی این محلول را تجزیه یک عنصر به صورت متعامد می نامند. بسط توابع در یک سری فوریه به دلیل ویژگی های این تبدیل در هنگام ادغام، تمایز و همچنین جابجایی یک عبارت در یک آرگومان و کانولوشن، ابزار نسبتاً قدرتمندی برای حل مسائل مختلف است.
کسی که با ریاضیات عالی و همچنین با کارهای دانشمند فرانسوی فوریه آشنایی نداشته باشد، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که این "ردیف ها" چیست و برای چیست. در همین حال، این تحول در زندگی ما کاملاً متراکم شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. بیایید نگاهی دقیق تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که زودتر از زمان خود به کشفی دست یافت.
انسان و تبدیل فوریه
سری های فوریه
یکی از روش های (همراه با تحلیل و سایر روش های) تبدیل فوریه است. این فرآیند با هر بار شنیدن صدایی اتفاق می افتد. گوش ما به طور خودکار صدا را تبدیل می کندامواج. حرکات نوسانی ذرات بنیادی در یک محیط الاستیک به ردیف هایی (در امتداد طیف) مقادیر متوالی سطح حجم برای تن هایی با ارتفاع های مختلف تجزیه می شود. سپس مغز این داده ها را به صداهایی آشنا تبدیل می کند. همه اینها علاوه بر میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی مطالعه شود.
بیشتر درباره تبدیل فوریه
تبدیل فوریه
را می توان با روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به روش عددی تجزیه هر فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس و امواج نور گرفته تا چرخه‌های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیک های ریاضی، می توان توابع را تجزیه و تحلیل کرد، که هر فرآیند نوسانی را به عنوان یک سری اجزای سینوسی که از حداقل به حداکثر و بالعکس می روند، نشان می دهد. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی مربوط به یک فرکانس خاص را توصیف می کند. از این فرآیند می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده ای استفاده کرد که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر انرژی حرارتی، نور یا الکتریکی رخ می دهند، توصیف می کند. همچنین سری های فوریه امکان جداسازی اجزای ثابت در سیگنال های نوسانی پیچیده را فراهم می کند که امکان تفسیر صحیح مشاهدات تجربی به دست آمده در پزشکی، شیمی و نجوم را فراهم می کند.
پیشینه تاریخی
بنیانگذار این نظریهژان باپتیست ژوزف فوریه یک ریاضیدان فرانسوی است. این تحول متعاقباً به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند روش خود را برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت گرما - انتشار گرما در جامدات، به کار برد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه یک موج گرما را می توان به ساده ترین سینوسی ها تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود را دارند و همچنین فاز خاص خود را دارند. در این صورت، هر یک از این مولفه ها از حداقل به حداکثر و بالعکس اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده این نظریه تابع توزیع کلی را که توصیف ریاضی آن دشوار است، به مجموعه ای از توابع کسینوس و سینوس تناوبی بسیار آسان که به توزیع اولیه جمع می شوند، کاهش داد.
اصل تحول و دیدگاه معاصران
هم عصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. اعتراض اصلی، ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می‌کند، می‌تواند به صورت مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، "گام" Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن در سمت چپ شکاف صفر و یک در سمت راست است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به متغیر زمان را در زمانی که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با چنین نظریه ای مواجه نشده بودندوضعیتی که در آن عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی، مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف می‌شود.
چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در نظریه فوریه گیج کرد؟
به هر حال، اگر ریاضیدان در اظهاراتش درست گفته باشد، پس از جمع‌بندی سری فوریه مثلثاتی نامتناهی، می‌توانید نمایش دقیقی از عبارت مرحله دریافت کنید، حتی اگر مراحل مشابه زیادی داشته باشد. در آغاز قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش داده و آن را از محدوده مطالعات هدایت حرارتی خارج کرده اند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان در مورد این سوال به عذاب کشیدند: "آیا مجموع یک سری سینوسی می تواند به مقدار دقیق یک تابع ناپیوسته همگرا شود؟"
همگرایی سری فوریه: مثال
مسئله همگرایی زمانی مطرح می شود که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد جمع شوند. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر گام متوالی نصف پله قبلی باشد، آیا می توانید به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف فاصله دارید، قدم اول شما را به نیمه راه نزدیکتر می کند، مرحله بعدی به نقطه سه چهارم نزدیک می شود و بعد از مرحله پنجم تقریباً 97 درصد مسیر را طی خواهید کرد. با این حال، هر چند قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی می توان ثابت کرد که در نهایت می توان به هر اندازه که دوست داشت به آن نزدیک شد.فاصله مشخص کوچک این اثبات معادل نشان دادن این است که مقدار مجموع یک دوم، یک چهارم، و غیره به یک تمایل دارد.
سوال همگرایی: آمدن ثانوی یا ابزار لرد کلوین
این سوال مکرراً در پایان قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که سعی شد از سری فوریه برای پیش‌بینی شدت جزر و مد استفاده شود. در این زمان، لرد کلوین دستگاهی را اختراع کرد که یک دستگاه محاسباتی آنالوگ است که به ملوانان ناوگان نظامی و تجاری اجازه می داد این پدیده طبیعی را ردیابی کنند. این مکانیسم مجموعه فازها و دامنه‌ها را از جدول ارتفاع جزر و مد و لحظه‌های زمانی متناظر آنها را تعیین می‌کند که در یک بندر معین در طول سال به دقت اندازه‌گیری می‌شود. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. نتایج اندازه‌گیری‌ها در ماشین‌حساب لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال آینده پیش‌بینی می‌کرد. خیلی زود منحنی های مشابهی برای همه بندرهای جهان ترسیم شد.
و اگر فرآیند توسط یک تابع ناپیوسته شکسته شود؟
در آن زمان، واضح به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مدی با تعداد زیادی عناصر شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و بنابراین پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این وجود، معلوم شد که این نظم در مواردی که بیان جزر و مد، که به دنبال آن است، مشاهده نمی شودسنتز، حاوی یک پرش شدید بود، یعنی ناپیوسته بود. در صورتی که داده ها از جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (با توجه به ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازیابی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر، مشاهده می شود که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی محلی هستند و در هر نقطه دیگر به صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبز از دانشگاه ییل تأیید شد.
همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی
تحلیل فوریه برای عباراتی که دارای تعداد بی نهایت انفجار در یک بازه معین هستند، قابل استفاده نیست. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اصلی نتیجه یک اندازه گیری فیزیکی واقعی باشد، همیشه همگرا هستند. سوالات مربوط به همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور بخش های جدیدی در ریاضیات شده است، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinsky و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، یک مبنای نظری واضح و دقیق برای عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (که ناحیه ای از یک ناحیه متمرکز در یک همسایگی بی نهایت کوچک یک نقطه را توصیف می کند) و Heaviside ایجاد شد. گام . به لطف این کار، سری فوریه قابل اجرا شدحل معادلات و مسائلی که شامل مفاهیم شهودی است: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی، و همچنین بار متمرکز روی یک پرتو.
روش فوریه
سری های فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در جریان گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار یک جرم آسمانی - تأثیر سیارات به عنوان یک قاعده، معادلات مشابهی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، به طور ابتدایی برای هر موج جداگانه حل می شوند. فوریه نشان داد که راه حل های ساده را نیز می توان برای حل مسائل پیچیده تر جمع کرد. در زبان ریاضیات، سری فوریه تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوسی است. بنابراین، این تحلیل به عنوان "تحلیل هارمونیک" نیز شناخته می شود.
سری فوریه - تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"
قبل از ایجاد فناوری رایانه، تکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه به شکل پیچیده نه تنها مسائل ساده ای را که می توان مستقیماً در قوانین مکانیک نیوتن اعمال کرد، بلکه معادلات اساسی را نیز حل کرد. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با تکنیک فوریه امکان پذیر شد.
سریال فوریه امروز
با توسعه کامپیوترهای تبدیل فوریهبه یک سطح کاملا جدید ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینه های علم و فناوری جا افتاده است. یک مثال سیگنال دیجیتال صوتی و تصویری است. تحقق آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد ممکن شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار، زلزله شناسی را تحت تاثیر قرار داد.
سری فوریه مثلثاتی
در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش توابع مختلط دلخواه به صورت مجموع توابع ساده تر است. در موارد کلی، تعداد این عبارات می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی دقیق تر است. اغلب، توابع مثلثاتی کسینوس یا سینوس به عنوان ساده ترین آنها استفاده می شود. در این حالت سری های فوریه را مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی وسیله ای برای تصویر و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند، این دستگاه اصلی تئوری است. علاوه بر این، امکان حل تعدادی از مسائل فیزیک ریاضی را فراهم می کند. در نهایت، این نظریه به توسعه تجزیه و تحلیل ریاضی کمک کرد، و تعدادی از بخش های بسیار مهم علوم ریاضی (نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی) را به وجود آورد. علاوه بر این، به عنوان نقطه شروعی برای توسعه نظریه های زیر عمل کرد: مجموعه ها، توابعمتغیر واقعی، آنالیز تابعی، و همچنین پایه و اساس تحلیل هارمونیک را گذاشت.
