آمار ریاضی روشی است که به شما امکان می دهد در مواجهه با شرایط نامشخص تصمیمات آگاهانه بگیرید. مطالعه روش‌های جمع‌آوری و نظام‌بندی داده‌ها، پردازش نتایج نهایی آزمایش‌ها و آزمایش‌ها با تصادفی انبوه و کشف هر گونه الگو، کاری است که این شاخه از ریاضیات انجام می‌دهد. مفاهیم اساسی آمار ریاضی را در نظر بگیرید.
تفاوت با نظریه احتمال
روش‌های آمار ریاضی با نظریه احتمال تلاقی نزدیکی دارند. هر دو شاخه از ریاضیات به مطالعه پدیده های تصادفی متعدد می پردازند. این دو رشته با قضایای حدی به هم مرتبط هستند. با این حال، تفاوت زیادی بین این علوم وجود دارد. اگر تئوری احتمال ویژگی های یک فرآیند را در دنیای واقعی بر اساس یک مدل ریاضی تعیین کند، آمار ریاضی برعکس عمل می کند - ویژگی های مدل را بر رویبر اساس اطلاعات مشاهده شده.
مرحله
کاربرد آمار ریاضی فقط در رابطه با رویدادها یا فرآیندهای تصادفی یا بهتر بگوییم با داده های به دست آمده از مشاهده آنها قابل انجام است. و این در چند مرحله اتفاق می افتد. اول، داده های آزمایش ها و آزمایش ها تحت پردازش خاصی قرار می گیرند. آنها برای وضوح و سهولت تجزیه و تحلیل سفارش داده شده اند. سپس یک برآورد دقیق یا تقریبی از پارامترهای مورد نیاز فرآیند تصادفی مشاهده شده انجام می شود. آنها می توانند: باشند
- ارزیابی احتمال یک رویداد (احتمال آن در ابتدا ناشناخته است)؛
- مطالعه رفتار یک تابع توزیع نامعین؛
- برآورد انتظارات؛
- تخمین واریانس
- و غیره
مرحله سوم تأیید هر فرضیه ای است که قبل از تجزیه و تحلیل تنظیم شده است، یعنی به دست آوردن پاسخ به این سؤال که چگونه نتایج آزمایش ها با محاسبات نظری مطابقت دارند. در واقع این مرحله اصلی آمار ریاضی است. یک مثال می تواند در نظر گرفتن اینکه آیا رفتار یک فرآیند تصادفی مشاهده شده در توزیع نرمال است یا خیر.
جمعیت
مفاهیم اساسی آمار ریاضی شامل جمعیت عمومی و نمونه است. این رشته به مطالعه مجموعه ای از اشیاء خاص با توجه به برخی از اموال می پردازد. یک نمونه کار یک راننده تاکسی است.این متغیرهای تصادفی را در نظر بگیرید:
- بار یا تعداد مشتریان: در روز، قبل از ناهار، بعد از ناهار، …;
- میانگین زمان سفر؛
- تعداد برنامه‌های ورودی یا پیوست آنها به مناطق شهری و موارد دیگر.
همچنین شایان ذکر است که می توان مجموعه ای از فرآیندهای تصادفی مشابه را مطالعه کرد که آنها نیز یک متغیر تصادفی قابل مشاهده خواهند بود.
بنابراین، در روش های آمار ریاضی، به کل مجموعه اشیاء مورد مطالعه یا نتایج مشاهدات مختلف که در شرایط یکسان بر روی یک شی معین انجام می شود، جمعیت عمومی می گویند. به عبارت دیگر، از نظر ریاضی دقیق‌تر، یک متغیر تصادفی است که در فضای رویدادهای ابتدایی تعریف می‌شود و یک کلاس از زیرمجموعه‌ها در آن تعیین شده‌اند که عناصر آن احتمال مشخصی دارند.
جمعیت نمونه
مواردی وجود دارد که به دلایلی (هزینه، زمان) انجام مطالعه مستمر برای مطالعه هر شی غیرممکن یا غیرعملی است. به عنوان مثال، باز کردن هر شیشه مربای مهر و موم شده برای بررسی کیفیت آن یک تصمیم مشکوک است و تلاش برای تخمین مسیر حرکت هر مولکول هوا در یک متر مکعب غیرممکن است. در چنین مواردی، از روش مشاهده انتخابی استفاده می شود: تعداد معینی از اشیاء (معمولاً به طور تصادفی) از جمعیت عمومی انتخاب می شوند و مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند.
این مفاهیم ممکن است در ابتدا پیچیده به نظر برسند. بنابراین، برای درک کامل موضوع، باید کتاب درسی V. E. Gmurman "نظریه احتمالات و آمار ریاضی" را مطالعه کنید. بنابراین، یک مجموعه یا نمونه نمونه، مجموعه ای از اشیاء است که به طور تصادفی از مجموعه عمومی انتخاب می شوند. در اصطلاح ریاضی دقیق، این دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل و توزیع شده یکنواخت است، که توزیع برای هر کدام با آنچه برای متغیر تصادفی عمومی نشان داده شده منطبق است.
مفاهیم اساسی
بیایید به طور خلاصه تعدادی دیگر از مفاهیم اساسی آمار ریاضی را در نظر بگیریم. به تعداد اشیاء در جمعیت عمومی یا نمونه حجم می گویند. مقادیر نمونه ای که در طول آزمایش به دست می آیند، تحقق نمونه نامیده می شوند. برای اینکه برآوردی از جمعیت عمومی بر اساس نمونه قابل اعتماد باشد، داشتن یک نمونه به اصطلاح نماینده یا نماینده مهم است. این بدان معنی است که نمونه باید به طور کامل جامعه را نشان دهد. این تنها در صورتی محقق می شود که همه عناصر جامعه احتمال یکسانی برای حضور در نمونه داشته باشند.
نمونه ها بین برگشتی و غیر بازگشتی تمایز قائل می شوند. در حالت اول، در محتوای نمونه، عنصر تکرار شده به مجموعه کلی برمی گردد، در حالت دوم، اینطور نیست. معمولا در عمل از نمونه برداری بدون جایگزین استفاده می شود. همچنین باید توجه داشت که اندازه جامعه عمومی همیشه به طور قابل توجهی از حجم نمونه بیشتر است. وجود داشته باشدگزینه های زیادی برای فرآیند نمونه گیری:
- ساده - موارد به طور تصادفی یکی یکی انتخاب می شوند؛
- تایپ شده - جمعیت عمومی به انواع تقسیم می شود و از هر کدام یک انتخاب انجام می شود. به عنوان مثال، نظرسنجی از ساکنان: مردان و زنان به طور جداگانه؛
- مکانیکی - برای مثال، هر 10 عنصر را انتخاب کنید؛
- سریال - انتخاب در یک سری از عناصر انجام می شود.
توزیع آماری
طبق نظر Gmurman، نظریه احتمالات و آمار ریاضی از رشته های بسیار مهم در دنیای علمی، به ویژه در بخش عملی آن هستند. توزیع آماری نمونه را در نظر بگیرید.
فرض کنید گروهی از دانش‌آموزان داریم که در ریاضیات تست شده‌اند. در نتیجه، مجموعه‌ای از تخمین‌ها داریم: 5، 3، 1، 4، 3، 4، 2، 5، 4، 4، 5 - این مواد آماری اولیه ما است.
اول از همه، باید آن را مرتب کنیم، یا عملیات رتبه بندی را انجام دهیم: 1، 2، 3، 3، 4، 4، 4، 4، 5، 5، 5 - و بنابراین یک سری متغیر بدست آوریم. تعداد تکرارهای هر یک از ارزیابی ها را بسامد ارزیابی و نسبت آنها به حجم نمونه را بسامد نسبی می نامند. بیایید یک جدول از توزیع آماری نمونه یا فقط یک سری آماری ایجاد کنیم:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
یا
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
بیایید یک متغیر تصادفی داشته باشیم که روی آن یک سری آزمایش انجام دهیم و ببینیم این متغیر چه مقداری می گیرد. فرض کنید او مقدار a1 - m1 را گرفته است. a2 - m2 بار و غیره. اندازه این نمونه m1 + … + mk=m خواهد بود. مجموعه ai، که i از 1 تا k متغیر است، یک سری آماری است.
توزیع فاصله
در کتاب VE Gmurman "نظریه احتمالات و آمار ریاضی" یک سری آماری فاصله ای نیز ارائه شده است. تدوین آن زمانی امکان پذیر است که مقدار ویژگی مورد مطالعه در یک بازه زمانی مشخص پیوسته باشد و تعداد مقادیر زیاد باشد. گروهی از دانش‌آموزان، یا بهتر است بگوییم قد آنها را در نظر بگیرید: 163، 180، 185، 172، 161، 171، 189، 157، 165، 174، 180، 181، 175، 182، 167، 159،14،17. 179، 160، 180، 166، 178، 156، 180، 189، 173، 174، 175 - 30 دانش آموز در کل. بدیهی است که قد یک فرد یک مقدار پیوسته است. باید مرحله فاصله را تعریف کنیم. برای این کار از فرمول استرجز استفاده می شود.
| h= | حداکثر - حداقل | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5، 9 |
بنابراین می توان مقدار 6 را به عنوان اندازه بازه در نظر گرفت.همچنین باید گفت که مقدار 1+log2m فرمولتعیین تعداد فواصل (البته با گرد کردن). بنابراین، طبق فرمول ها، 6 بازه به دست می آید که هر یک دارای اندازه 6 است. و اولین مقدار فاصله اولیه، عدد تعیین شده توسط فرمول خواهد بود: min - h / 2=156 - 6/2=153. بیایید جدولی بسازیم که شامل فواصل و تعداد دانش آموزانی باشد که رشد آنها در یک بازه زمانی مشخص است.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0، 1 | 0، 3 | 0, 27 | 0، 1 |
البته این همه ماجرا نیست، زیرا فرمول های بسیار بیشتری در آمار ریاضی وجود دارد. ما فقط برخی از مفاهیم اساسی را در نظر گرفته ایم.
برنامه توزیع
مفاهیم اساسی آمار ریاضی همچنین شامل یک نمایش گرافیکی از توزیع است که با وضوح متمایز می شود. دو نوع نمودار وجود دارد: چند ضلعی و هیستوگرام. اولین مورد برای یک سری آماری گسسته استفاده می شود. و برای توزیع پیوسته، به ترتیب، دومی.
