پیشرفت بشر تا حد زیادی مدیون اکتشافات نوابغ است. یکی از آنها بلز پاسکال است. بیوگرافی خلاقانه او بار دیگر صحت بیان لیون فویختوانگر "یک فرد با استعداد، با استعداد در همه چیز" را تأیید می کند. شمارش تمام دستاوردهای علمی این دانشمند بزرگ سخت است. از جمله آنها یکی از زیباترین اختراعات در دنیای ریاضیات است - مثلث پاسکال.
چند کلمه در مورد نبوغ
بلز پاسکال در سن 39 سالگی با استانداردهای مدرن زود درگذشت. با این حال، در زندگی کوتاه خود، خود را به عنوان یک فیزیکدان، ریاضیدان، فیلسوف و نویسنده برجسته برجسته کرد. نوادگان سپاسگزار واحد فشار و زبان برنامه نویسی محبوب را پاسکال به افتخار او نامگذاری کردند. تقریباً 60 سال است که برای آموزش نحوه نوشتن کدهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، با کمک آن، هر دانش آموز می تواند برنامه ای برای محاسبه مساحت یک مثلث در پاسکال بنویسد، و همچنین ویژگی های مدار را بررسی کند.که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.
فعالیت این دانشمند با تفکری خارق‌العاده طیف گسترده‌ای از حوزه‌های علمی را در بر می‌گیرد. به طور خاص، بلز پاسکال یکی از بنیانگذاران هیدرواستاتیک، تجزیه و تحلیل ریاضی، برخی از حوزه های هندسه و نظریه احتمالات است. همچنین، او:
- یک ماشین حساب مکانیکی به نام چرخ پاسکال ایجاد کرد؛
- شواهد تجربی ارائه داد که هوا خاصیت ارتجاعی و وزن دارد؛
- تثبیت کرد که می توان از فشارسنج برای پیش بینی آب و هوا استفاده کرد؛
- چرخ چرخ را اختراع کرد؛
- اختراع omnibus - کالسکه های اسبی با مسیرهای ثابت که بعدها به اولین نوع حمل و نقل عمومی عادی و غیره تبدیل شد.
مثلث حسابی پاسکال
همانطور که قبلاً ذکر شد، این دانشمند بزرگ فرانسوی سهم بزرگی در علم ریاضی داشت. یکی از شاهکارهای علمی مطلق او «رساله مثلث حسابی» است که از ضرایب دو جمله ای تشکیل شده است که به ترتیب معینی مرتب شده اند. ویژگی‌های این طرح از نظر تنوع قابل توجه است و خود ضرب المثل "همه چیز مبتکرانه ساده است!" را تأیید می کند.
کمی از تاریخ
برای انصاف، باید گفت که در واقع مثلث پاسکال در اوایل قرن شانزدهم در اروپا شناخته شده بود. به طور خاص، تصویر او را می توان روی جلد کتاب درسی حساب توسط ستاره شناس معروف پیتر آپیان از دانشگاه اینگولشتات مشاهده کرد. یک مثلث مشابه نیز به عنوان تصویر نشان داده شده است.در کتابی از یانگ هوی ریاضیدان چینی که در سال 1303 منتشر شده است. عمر خیام شاعر و فیلسوف برجسته ایرانی نیز در آغاز قرن دوازدهم از خواص آن آگاه بود. بعلاوه، اعتقاد بر این است که وی از رساله‌های دانشمندان عرب و هندی که قبلاً نوشته شده بود، با وی آشنا شده است.
شرح
قبل از کاوش در مورد جالب ترین خواص مثلث پاسکال، زیبا در کمال و سادگی، ارزش آن را دارد که بدانیم چیست.
از نظر علمی، این طرح عددی یک جدول مثلثی بی پایان است که از ضرایب دو جمله ای که به ترتیب معینی مرتب شده اند تشکیل شده است. در بالای آن و در طرفین اعداد 1 وجود دارد. موقعیت های باقی مانده توسط اعدادی برابر با مجموع دو عدد واقع در بالای آنها در کنار یکدیگر اشغال شده است. علاوه بر این، تمام خطوط مثلث پاسکال در مورد محور عمودی آن متقارن هستند.
ویژگی های اساسی
مثلث پاسکال با کمال خود برخورد می کند. برای هر خط با شماره n (n=0، 1، 2…) درست است:
- اعداد اول و آخر 1 هستند؛
- دوم و ماقبل آخر - n;
- عدد سوم برابر است با عدد مثلثی (تعداد دایره هایی که می توان در یک مثلث متساوی الاضلاع مرتب کرد، یعنی 1، 3، 6، 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- عدد چهارم چهار وجهی است، یعنی هرمی است که در قاعده مثلثی دارد.
علاوه بر این، نسبتاً اخیراً، در سال 1972، ویژگی دیگری از مثلث پاسکال ایجاد شد. به منظور اوبرای فهمیدن این موضوع، باید عناصر این طرح را به صورت جدولی با تغییر ردیف 2 موقعیت بنویسید. سپس به اعداد قابل تقسیم بر شماره خط توجه کنید. به نظر می رسد که تعداد ستونی که در آن همه اعداد برجسته شده اند یک عدد اول است.
همین ترفند را می توان به روش دیگری نیز انجام داد. برای انجام این کار، در مثلث پاسکال، اعداد با باقیمانده تقسیم آنها بر شماره ردیف در جدول جایگزین می شوند. سپس خطوط در مثلث به دست آمده مرتب می شوند به طوری که مورد بعدی 2 ستون به سمت راست از اولین عنصر قبلی شروع می شود. سپس ستون‌های دارای اعدادی که اعداد اول هستند فقط از صفر تشکیل می‌شوند و آنهایی که اعداد مرکب دارند حداقل یک صفر دارند.
ارتباط با دوجمله ای نیوتن
همانطور که می‌دانید، این نام فرمول برای بسط یک عدد صحیح غیرمنفی از مجموع دو متغیر است که به نظر می‌رسد:
ضرایب موجود در آنها برابر است با C m =n! / (m! (n - m)!)، که در آن m عدد ترتیبی در ردیف n مثلث پاسکال است. به عبارت دیگر، با در دست داشتن این جدول، می توانید به راحتی هر عددی را که قبلاً به دو جمله تقسیم کرده اید، به توان برسانید.
بنابراین، مثلث پاسکال و دوجمله ای نیوتن ارتباط نزدیکی با هم دارند.
عجایب ریاضی
بررسی دقیق مثلث پاسکال نشان می دهد که:
- مجموع همه اعداد در خط باشماره سریال n (شمارش از 0) 2;
- اگر خطوط تراز چپ باشند، مجموع اعدادی که در امتداد مورب های مثلث پاسکال قرار دارند، از پایین به بالا و از چپ به راست، برابر با اعداد فیبوناچی است؛
- اولین "مورب" از اعداد طبیعی به ترتیب تشکیل شده است؛
- هر عنصر از مثلث پاسکال، با یک کاهش، برابر است با مجموع تمام اعداد واقع در متوازی الاضلاع، که توسط قطرهای چپ و راست متقاطع بر روی این عدد محدود می شود؛
- در هر خط از نمودار، مجموع اعداد در مکان های زوج برابر است با مجموع عناصر در مکان های فرد.
است
مثلث سیرپینسکی
چنین طرح ریاضی جالبی که از نظر حل مسائل پیچیده کاملاً امیدوارکننده است، با رنگ آمیزی اعداد زوج تصویر پاسکال در یک رنگ و اعداد فرد در رنگ دیگر به دست می آید.
مثلث Sierpinski را می توان به روش دیگری ساخت:
- در طرح پاسکال سایه دار، مثلث وسط به رنگ دیگری رنگ آمیزی شده است که از اتصال نقاط میانی اضلاع مثلث اصلی تشکیل می شود؛
- دقیقاً همین کار را با سه مورد بدون رنگ واقع در گوشه ها انجام دهید؛
- اگر این روش به طور نامحدود ادامه یابد، نتیجه باید یک شکل دو رنگ باشد.
جالب ترین ویژگی مثلث سیرپینسکی شباهت خود به خود است، زیرا از 3 نسخه تشکیل شده است که 2 برابر کاهش می یابد. این به ما اجازه می دهد تا این طرح را به منحنی های فراکتال نسبت دهیم، و آنها را، همانطور که توسط آخرین نشان داده شده استتحقیقات برای مدل‌سازی ریاضی ابرها، گیاهان، دلتای رودخانه‌ها و خود کیهان مناسب‌تر است.
چند کار جالب
مثلث پاسکال کجا استفاده می شود؟ نمونه کارهایی که می توان با کمک آن حل کرد کاملاً متنوع است و به زمینه های مختلف علم تعلق دارد. بیایید نگاهی به برخی از موارد جالب‌تر بیندازیم.
مشکل 1. برخی از شهرهای بزرگ که با دیوار قلعه احاطه شده اند، تنها یک دروازه ورودی دارند. در اولین تقاطع، جاده اصلی به دو قسمت تقسیم می شود. در مورد دیگری نیز همین اتفاق می افتد. 210 نفر وارد شهر می شوند. در هر یک از تقاطع هایی که ملاقات می کنند، آنها به نصف تقسیم می شوند. چند نفر در هر تقاطع پیدا می شوند که دیگر امکان اشتراک گذاری وجود ندارد. پاسخ او خط 10 مثلث پاسکال است (فرمول ضریب در بالا ارائه شده است)، جایی که اعداد 210 در دو طرف محور عمودی قرار دارند.
وظیفه ۲. ۷ نام رنگ وجود دارد. شما باید یک دسته گل از 3 گل درست کنید. باید دریابید که به چند روش مختلف می توان این کار را انجام داد. این مشکل از رشته ترکیبیات است. برای حل آن، دوباره از مثلث پاسکال استفاده می کنیم و روی خط هفتم در موقعیت سوم (شماره گذاری در هر دو حالت از 0) عدد 35 قرار می گیریم.
حالا می دانید بلز پاسکال فیلسوف و دانشمند بزرگ فرانسوی چه چیزی را اختراع کرده است. مثلث معروف آن، زمانی که به درستی استفاده شود، می تواند به یک نجات دهنده واقعی برای حل بسیاری از مشکلات، به ویژه در میدان تبدیل شود.ترکیبیات علاوه بر این، می توان از آن برای حل معماهای متعدد مربوط به فراکتال ها استفاده کرد.
