Georg Kantor (عکس در ادامه مقاله آورده شده است) یک ریاضیدان آلمانی است که نظریه مجموعه ها را ایجاد کرد و مفهوم اعداد بینهایت را معرفی کرد، بی نهایت بزرگ، اما متفاوت از یکدیگر. او همچنین اعداد ترتیبی و اصلی را تعریف کرد و حساب آنها را ایجاد کرد.
Georg Kantor: بیوگرافی کوتاه
در سن پترزبورگ در 1845-03-03 به دنیا آمد. پدر او یک دانمارکی مذهب پروتستان، گئورگ-والدمار کانتور بود که به تجارت، از جمله در بورس اوراق بهادار، مشغول بود. مادرش ماریا بم یک کاتولیک بود و از خانواده ای موزیسین برجسته بود. هنگامی که پدر گئورگ در سال 1856 بیمار شد، خانواده ابتدا به ویسبادن و سپس به فرانکفورت در جستجوی آب و هوای معتدل‌تر نقل مکان کردند. استعدادهای ریاضی این پسر حتی قبل از تولد 15 سالگی او در حین تحصیل در مدارس خصوصی و سالن های ورزشی در دارمشتات و ویسبادن ظاهر شد. در پایان، گئورگ کانتور پدرش را متقاعد کرد که قصد دارد ریاضیدان شود، نه مهندس.
پس از یک مطالعه کوتاه در دانشگاه زوریخ، در سال ۱۸۶۳ کانتور برای تحصیل در رشته‌های فیزیک، فلسفه و ریاضیات به دانشگاه برلین منتقل شد. او وجود داردتدریس شد:
- کارل تئودور وایرشتراس، که تخصص او در تحلیل احتمالاً بیشترین تأثیر را بر گئورگ داشت؛
- ارنست ادوارد کومر، که محاسبات بالاتر را تدریس می کرد؛
- لئوپولد کرونکر، نظریه پرداز اعداد که بعدها با کانتور مخالفت کرد.
پس از گذراندن یک ترم در دانشگاه گوتینگن در سال 1866، سال بعد، گئورگ پایان نامه دکترای خود را با عنوان "در ریاضیات هنر پرسیدن سؤال از حل مسائل ارزشمندتر است" در مورد مسئله ای که کارل فردریش گاوس داشت نوشت. در کتاب Disquisitiones Arithmeticae (1801) حل نشده باقی مانده است. کانتور پس از تدریس مختصری در مدرسه دخترانه برلین، شروع به کار در دانشگاه هاله کرد و تا پایان عمر در آنجا ماند، ابتدا به عنوان معلم، از 1872 به عنوان استادیار و از 1879 به عنوان استاد.
تحقیق
در آغاز یک سری 10 مقاله از سال 1869 تا 1873، جورج کانتور نظریه اعداد را در نظر گرفت. این کار منعکس کننده اشتیاق او به موضوع، مطالعات او در مورد گاوس و تأثیر کرونکر بود. به پیشنهاد هاینریش ادوارد هاینه، همکار کانتور در هال، که استعداد ریاضی او را تشخیص داد، به نظریه سری های مثلثاتی روی آورد که در آن مفهوم اعداد حقیقی را گسترش داد.
بر اساس کار بر روی تابع یک متغیر مختلط توسط ریاضیدان آلمانی برنهارد ریمان در سال 1854، کانتور در سال 1870 نشان داد که چنین تابعی را می توان تنها به یک طریق - با سری مثلثاتی - نشان داد. در نظر گرفتن مجموعه ای از اعداد (نقاط) کهبا چنین دیدگاهی تناقض نداشت، او را اولاً در سال 1872 به تعریف اعداد غیر منطقی بر حسب دنباله های همگرا اعداد گویا (کسری از اعداد صحیح) و ادامه کار بر روی کار زندگی خود، نظریه مجموعه ها و مفهوم سوق داد. از اعداد نامتناهی.
تئوری مجموعه
جورج کانتور، که نظریه مجموعه‌ها از مکاتبه‌ای با ریاضیدان مؤسسه فنی براونشوایگ، ریچارد ددکیند سرچشمه گرفت، از دوران کودکی با او دوست بود. آنها به این نتیجه رسیدند که مجموعه ها، اعم از متناهی یا نامتناهی، مجموعه ای از عناصر هستند (مثلاً اعداد، {0، ± 1، 2±….}) که دارای خاصیت خاصی هستند و در عین حال فردیت خود را حفظ می کنند. اما زمانی که گئورگ کانتور از مکاتبات یک به یک (مثلاً {A, B, C} به {1, 2, 3}) برای مطالعه ویژگی‌های آنها استفاده کرد، به سرعت متوجه شد که آنها در درجه عضویت متفاوت هستند، حتی اگر مجموعه‌های نامتناهی بودند، یعنی مجموعه‌هایی که بخشی یا زیرمجموعه‌ای از آنها به تعداد خود شی شامل می‌شود. روش او به زودی نتایج شگفت انگیزی به همراه داشت.
در سال 1873، جورج کانتور (ریاضیدان) نشان داد که اعداد گویا، اگرچه نامتناهی هستند، قابل شمارش هستند، زیرا می‌توان آنها را با اعداد طبیعی (یعنی 1، 2، 3، و غیره) مطابقت یک به یک قرار داد. د.). او نشان داد که مجموعه اعداد حقیقی، متشکل از اعداد غیر منطقی و گویا، نامتناهی و غیرقابل شمارش است. به طرز متناقضی تر، کانتور ثابت کرد که مجموعه تمام اعداد جبری به تعداد عناصر تشکیل شده استمجموعه همه اعداد صحیح چند است و آن اعداد ماورایی که جبری نیستند و زیرمجموعه اعداد غیرمنطقی هستند غیرقابل شمارش هستند و بنابراین تعداد آنها از اعداد صحیح بیشتر است و باید بی نهایت در نظر گرفته شوند.
مخالفان و حامیان
اما مقاله کانتور، که در آن او برای اولین بار این نتایج را مطرح کرد، در کرل منتشر نشد، زیرا یکی از داوران، کرونکر، شدیداً مخالف بود. اما پس از مداخله ددکیند، در سال 1874 با عنوان "درباره ویژگی های مشخصه همه اعداد جبری واقعی" منتشر شد.
علم و زندگی خصوصی
همان سال، در حالی که در ماه عسل با همسرش والی گاتمن در اینترلاکن، سوئیس، کانتور با ددکیند ملاقات کرد، که از نظریه جدید او به خوبی صحبت کرد. حقوق جورج اندک بود، اما با پول پدرش که در سال 1863 درگذشت، خانه ای برای همسر و پنج فرزندش ساخت. بسیاری از مقالات او در سوئد در مجله جدید Acta Mathematica منتشر شد که توسط Gesta Mittag-Leffler ویرایش و تأسیس شد، کسی که از اولین کسانی بود که استعداد ریاضیدان آلمانی را تشخیص داد.
ارتباط با متافیزیک
نظریه کانتور موضوع کاملاً جدیدی برای مطالعه در مورد ریاضیات بینهایت شد (مثلا سری 1، 2، 3، و غیره، و مجموعه‌های پیچیده‌تر)، که به شدت به تناظر یک به یک بستگی داشت. توسعه روش های صحنه سازی جدید توسط کانتورپرسش‌های مربوط به تداوم و بینهایت، به تحقیق او شخصیتی مبهم داد.
هنگامی که او استدلال کرد که اعداد نامتناهی واقعاً وجود دارند، به فلسفه باستان و قرون وسطی در مورد بی نهایت بالفعل و بالقوه، و همچنین به آموزش دینی اولیه که والدینش به او دادند، روی آورد. در سال 1883، کانتور در کتاب خود مبانی نظریه مجموعه‌های عمومی، مفهوم خود را با متافیزیک افلاطون ترکیب کرد.
کرونکر که ادعا می کرد فقط اعداد صحیح «وجود دارند» («خدا اعداد صحیح را آفرید، بقیه کار انسان است»)، برای سال‌ها استدلال او را به شدت رد کرد و از انتصاب او در دانشگاه برلین جلوگیری کرد.
اعداد گذرا
در 1895-97. گئورگ کانتور مفهوم تداوم و بی نهایت، از جمله اعداد ترتیبی و اصلی نامتناهی را در مشهورترین اثر خود که به عنوان مشارکت در ایجاد نظریه اعداد متقابل (1915) منتشر شد، به طور کامل شکل داد. این مقاله حاوی مفهوم او است، که او با نشان دادن اینکه یک مجموعه نامتناهی را می توان در یک مطابقت یک به یک با یکی از زیرمجموعه های آن قرار داد، به آن سوق داده شد.
در کمترین عدد کاردینال گذرا، منظور او کاردینالیته هر مجموعه‌ای بود که می‌توان آن را در مطابقت یک به یک با اعداد طبیعی قرار داد. کانتور آن را aleph-null نامید. مجموعه‌های گذرای بزرگ را آلف-یک، الف-دو و غیره نشان می‌دهند. بنابراین اومفهوم بی نهایت را غنی کرد.
مخالفت هایی که او با آن روبه رو شد و مدت زمانی که طول کشید تا ایده های او به طور کامل پذیرفته شود، به دلیل دشواری ارزیابی مجدد این سؤال قدیمی است که عدد چیست. کانتور نشان داد که مجموعه نقاط روی یک خط دارای کاردینالیتی بالاتر از آلف-صفر است. این به مشکل شناخته شده فرضیه پیوستگی منجر شد - هیچ اعداد اصلی بین آلف-صفر و توان نقاط روی خط وجود ندارد. این مسئله در نیمه اول و دوم قرن بیستم علاقه زیادی را برانگیخت و توسط بسیاری از ریاضیدانان از جمله کرت گودل و پل کوهن مورد مطالعه قرار گرفت.
افسردگی
بیوگرافی گئورگ کانتور از سال 1884 تحت الشعاع بیماری روانی او قرار گرفت، اما او همچنان فعالانه به کار خود ادامه داد. در سال 1897 او به برگزاری اولین کنگره بین المللی ریاضی در زوریخ کمک کرد. تا حدی به این دلیل که کرونکر با او مخالفت می کرد، اغلب با ریاضیدانان جوان مشتاق همدردی می کرد و به دنبال یافتن راهی برای نجات آنها از آزار و اذیت معلمانی بود که از ایده های جدید احساس خطر می کردند.
تشخیص
در آغاز قرن، کار او به طور کامل به عنوان مبنایی برای نظریه توابع، تجزیه و تحلیل و توپولوژی شناخته شد. علاوه بر این، کتاب های کانتور گئورگ به عنوان انگیزه ای برای توسعه بیشتر مکاتب شهودی و فرمالیستی مبانی منطقی ریاضیات عمل کرد. این به طور قابل توجهی سیستم آموزشی را تغییر داد و اغلب با "ریاضیات جدید" همراه است.
در سال 1911، کانتور از جمله دعوت شدگان بودجشن پانصدمین سالگرد تاسیس دانشگاه سنت اندروز در اسکاتلند. او به امید دیدار برتراند راسل به آنجا رفت، که در اثری که اخیراً منتشر شده است، به نام Principia Mathematica بارها به ریاضیدان آلمانی اشاره کرده است، اما این اتفاق نیفتاد. دانشگاه به کانتور مدرک افتخاری اعطا کرد، اما به دلیل بیماری او نتوانست شخصاً این جایزه را بپذیرد.
کانتور در سال 1913 بازنشسته شد، در طول جنگ جهانی اول در فقر و گرسنگی زندگی کرد. جشن های بزرگداشت 70 سالگی او در سال 1915 به دلیل جنگ لغو شد، اما مراسم کوچکی در خانه او برگزار شد. او در تاریخ 1918-06-01 در هاله در بیمارستان روانی درگذشت و آخرین سالهای زندگی خود را در آنجا گذراند.
جورج کانتور: بیوگرافی. خانواده
۹ اوت ۱۸۷۴، یک ریاضیدان آلمانی با والی گاتمن ازدواج کرد. این زوج 4 پسر و 2 دختر داشتند. آخرین فرزند در سال 1886 در خانه جدیدی که کانتور خریداری کرده بود متولد شد. ارث پدر به او کمک کرد تا خانواده اش را تامین کند. سلامتی کانتور تحت تأثیر مرگ کوچکترین پسرش در سال 1899 قرار گرفت و از آن زمان افسردگی او را رها نکرده است.
