اغلب در علوم ریاضی تعدادی مشکل و سؤال وجود دارد و بسیاری از پاسخ ها همیشه واضح نیستند. هیچ استثنایی مانند موضوع اصلی مجموعه ها نبود. در واقع، این چیزی نیست جز بیان عددی تعداد اشیاء. در یک مفهوم کلی، یک مجموعه یک بدیهیات است، هیچ تعریفی ندارد. بر اساس هر شی یا به عبارتی مجموعه آنهاست که می تواند خالی، متناهی یا نامتناهی باشد. علاوه بر این، شامل اعداد صحیح یا طبیعی، ماتریس ها، دنباله ها، بخش ها و خطوط است.
درباره متغیرهای موجود
مجموعه تهی یا خالی بدون مقدار ذاتی یک عنصر اصلی در نظر گرفته می شود زیرا یک زیر مجموعه است. مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه غیر خالی S مجموعه ای از مجموعه ها است. بنابراین، مجموعه توان یک مجموعه معین، زیاد، قابل تصور، اما مجرد در نظر گرفته می شود. این مجموعه را مجموعه توان های S می نامند و با P (S) نشان می دهند. اگر S حاوی N عنصر باشد، P(S) شامل 2^n زیرمجموعه است، زیرا زیرمجموعه ای از P(S) یا ∅ است یا زیرمجموعه ای حاوی r عناصر از S، r=1، 2، 3، … از هر چیزی نامتناهی تشکیل شده است.مجموعه M یک کمیت توان نامیده می شود و به طور نمادین با P (M) نشان داده می شود.
عناصر نظریه مجموعه ها
این زمینه دانش توسط جورج کانتور (1845-1918) توسعه یافت. امروزه تقریباً در تمام شاخه های ریاضیات استفاده می شود و به عنوان بخش اساسی آن عمل می کند. در تئوری مجموعه ها، عناصر به صورت فهرست نمایش داده می شوند و بر اساس انواع (مجموعه خالی، تک تن، مجموعه های متناهی و نامتناهی، مساوی و معادل، جهانی)، اتحاد، تقاطع، تفاوت و جمع اعداد ارائه می شوند. در زندگی روزمره، ما اغلب در مورد مجموعه ای از اشیاء مانند یک دسته کلید، یک دسته پرنده، یک بسته کارت و غیره صحبت می کنیم. در ریاضی پایه پنجم به بعد، اعداد طبیعی، صحیح، اول و ترکیبی وجود دارد.
مجموعه های زیر را می توان در نظر گرفت:
- اعداد طبیعی؛
- حروف الفبا؛
- شانس اولیه;
- مثلث با اضلاع مختلف.
می توان دید که این مثال های مشخص شده مجموعه ای از اشیاء به خوبی تعریف شده هستند. چند مثال دیگر را در نظر بگیرید:
- پنج مشهورترین دانشمند جهان؛
- هفت دختر زیبا در جامعه؛
- سه جراح برتر.
این نمونه‌های اصلی مجموعه‌ای از اشیا نیستند، زیرا معیارهای «مشهورترین»، «زیباترین»، «بهترین» از فردی به فرد دیگر متفاوت است.
ست
این مقدار تعداد مشخصی از اشیاء مختلف است.با فرض اینکه:
- مجموعه کلمات مترادف، جمع، کلاس و حاوی عناصر است؛
- اشیاء، اعضا شرایط برابر هستند؛
- معمولاً با حروف بزرگ A، B، C نشان داده می شوند؛
- عناصر مجموعه با حروف کوچک a، b، c نشان داده می شوند.
مجموعه های
اگر "a" عنصری از مجموعه A باشد، می گویند که "a" متعلق به A است. بیایید عبارت "متعلق" را با کاراکتر یونانی "∈" (epsilon) نشان دهیم. بنابراین، معلوم می شود که a ∈ A. اگر 'b' عنصری است که به A تعلق ندارد، این عنصر به صورت b ∉ A نشان داده می شود. برخی از مجموعه های مهم مورد استفاده در ریاضیات کلاس 5 با استفاده از سه روش زیر نشان داده می شوند:
- برنامه ها;
- رجیستری یا جدولی؛
- قانون برای ایجاد یک تشکیلات.
در بررسی دقیق تر، فرم درخواست بر اساس موارد زیر است. در این مورد، توضیحات واضحی از عناصر مجموعه داده می شود. همه آنها در بریس های مجعد محصور شده اند. به عنوان مثال:
- مجموعه اعداد فرد کمتر از 7 - نوشته شده به صورت {کمتر از 7}؛
- مجموعه ای از اعداد بزرگتر از 30 و کمتر از 55؛
- تعداد دانش‌آموزان در کلاسی که وزن آنها از معلم بیشتر است.
در فرم رجیستری (جدول)، عناصر یک مجموعه در یک جفت کروشه {} فهرست شده و با کاما از هم جدا می شوند. به عنوان مثال:
- اجازه دهید N مجموعه پنج عدد طبیعی اول را نشان دهد. بنابراین، N=→ فرم ثبت نام
- مجموعه تمام حروف صدادار الفبای انگلیسی. بنابراین V={a, e, i, o, u, y} → فرم ثبت نام
- مجموعه همه اعداد فرد کمتر از 9 است. بنابراین، X={1، 3، 5، 7} → شکلرجیستری
- مجموعه تمام حروف در کلمه "ریاضی". بنابراین، Z={M، A، T، H، E، I، C، S} → فرم ثبت نام
- W مجموعه چهار ماه آخر سال است. بنابراین، W={سپتامبر، اکتبر، نوامبر، دسامبر} → ثبت نام.
توجه داشته باشید که ترتیب فهرست بندی عناصر مهم نیست، اما نباید تکرار شوند. یک شکل مشخص از ساخت، در یک مورد معین، یک قانون، فرمول یا عملگر در یک جفت براکت نوشته می شود تا مجموعه به درستی تعریف شود. در فرم سازنده مجموعه، همه عناصر باید دارای ویژگی یکسانی باشند تا عضوی از مقدار مورد نظر شوند.
در این شکل از نمایش مجموعه، یک عنصر از مجموعه با کاراکتر "x" یا هر متغیر دیگری به دنبال دو نقطه توصیف می شود (":" یا "|" برای نشان دادن استفاده می شود). برای مثال P مجموعه اعداد قابل شمارش بزرگتر از 12 باشد. P در فرم set-builder به صورت - {عدد قابل شمارش و بزرگتر از 12} نوشته می شود. به روش خاصی خوانده خواهد شد. یعنی "P مجموعه ای از عناصر x است به طوری که x قابل شمارش و بزرگتر از 12 است."
مثال حل شده با استفاده از سه روش نمایش مجموعه: تعداد اعداد صحیح بین 2- و 3. در زیر نمونه هایی از انواع مختلف مجموعه ها آورده شده است:
- مجموعه خالی یا تهی که حاوی هیچ عنصری نیست و با علامت ∅ نشان داده می شود و به صورت ph خوانده می شود. در شکل لیست، ∅ نوشته می شود {}. مجموعه محدود خالی است، زیرا تعداد عناصر 0 است. برای مثال، مجموعه مقادیر صحیح کمتر از 0 است.
- بدیهی است که نباید <0 وجود داشته باشد. بنابراین، اینمجموعه خالی.
- مجموعه ای که فقط شامل یک متغیر باشد مجموعه تک تنی نامیده می شود. نه ساده است و نه مرکب.
مجموعه محدود
مجموعه ای که تعداد معینی عنصر را شامل شود، مجموعه متناهی یا نامتناهی نامیده می شود. خالی اشاره به اولی دارد. به عنوان مثال، مجموعه ای از تمام رنگ های رنگین کمان.
بی نهایت یک مجموعه است. عناصر موجود در آن را نمی توان برشمرد. یعنی حاوی متغیرهای مشابه را مجموعه بی نهایت می نامند. مثال:
- قدرت مجموعه همه نقاط در هواپیما؛
- مجموعه همه اعداد اول.
اما باید درک کنید که تمام ویژگی های اتحاد یک مجموعه را نمی توان در قالب یک لیست بیان کرد. به عنوان مثال، اعداد واقعی، زیرا عناصر آنها با هیچ الگوی خاصی مطابقت ندارند.
عدد اصلی یک مجموعه تعداد عناصر مختلف در یک مقدار معین A است. با n (A) نشان داده می شود.
برای مثال:
- A {x: x ∈ N، x <5}. A={1، 2، 3، 4}. بنابراین، n (A)=4.
- B=مجموعه ای از حروف در کلمه ALGEBRA.
مجموعه های معادل برای مقایسه مجموعه
دو کاردینالیته از یک مجموعه A و B چنین هستند اگر عدد اصلی آنها یکسان باشد. نماد مجموعه معادل "↔" است. به عنوان مثال: A ↔ B.
مجموعه های مساوی: دو کاردینالیتی از مجموعه های A و B اگر حاوی عناصر یکسان باشند. هر ضریب از A یک متغیر از B است و هر یک از B مقدار مشخص شده A است.بنابراین، A=B. انواع مختلف اتحادیه های کاردینالیتی و تعاریف آنها با استفاده از مثال های ارائه شده توضیح داده شده است.
جوهر تناهی و بی نهایت
تفاوت بین اصلی بودن یک مجموعه محدود و یک مجموعه نامتناهی چیست؟
اگر مقدار اول خالی باشد یا تعداد عناصر محدودی داشته باشد، نام زیر را دارد. در یک مجموعه محدود، متغیری را می توان در صورتی که تعداد محدودی داشته باشد، مشخص کرد. برای مثال، با استفاده از عدد طبیعی 1، 2، 3. و فرآیند فهرست‌بندی در مقداری N به پایان می‌رسد. تعداد عناصر مختلف شمارش شده در مجموعه محدود S با n (S) نشان داده می‌شود. به آن نظم یا کاردینال نیز می گویند. به طور نمادین با توجه به اصل استاندارد نشان داده شده است. بنابراین، اگر مجموعه S الفبای روسی باشد، شامل 33 عنصر است. همچنین مهم است که به یاد داشته باشید که یک عنصر بیش از یک بار در یک مجموعه رخ نمی دهد.
بی نهایت در مجموعه
مجموعه ای نامحدود نامیده می شود اگر عناصر را نتوان شمارش کرد. اگر یک عدد طبیعی نامحدود (یعنی غیرقابل شمارش) 1، 2، 3، 4 برای هر n داشته باشد. مجموعه ای که متناهی نباشد نامتناهی نامیده می شود. اکنون می توانیم نمونه هایی از مقادیر عددی مورد بررسی را مورد بحث قرار دهیم. گزینه های مقدار نهایی:
- بگذارید Q={اعداد طبیعی کمتر از 25} باشد. سپس Q یک مجموعه متناهی است و n (P)=24.
- بگذارید R={اعداد صحیح بین 5 و 45} باشد. سپس R یک مجموعه متناهی است و n (R)=38.
- بگذارید S={عدد مدول 9}. سپس S={-9، 9} یک مجموعه متناهی است و n (S)=2.
- مجموعه همه افراد.
- تعداد همه پرندگان.
مثالهای بی نهایت:
- تعداد نقاط موجود در هواپیما؛
- تعداد همه نقاط در پاره خط؛
- مجموعه اعداد صحیح مثبت بخش پذیر بر 3 بی نهایت است؛
- همه اعداد کامل و طبیعی.
بنابراین، از استدلال بالا، نحوه تشخیص بین مجموعه های متناهی و نامتناهی روشن می شود.
قدرت مجموعه پیوسته
اگر مجموعه و سایر مقادیر موجود را با هم مقایسه کنیم، یک جمع به مجموعه اضافه می شود. اگر ξ جهانی باشد و A زیر مجموعه ای از ξ باشد، متمم A تعداد تمام عناصر ξ است که عناصر A نیستند. به طور نمادین، متمم A نسبت به ξ A' است. به عنوان مثال، 2، 4، 5، 6 تنها عناصر ξ هستند که به A تعلق ندارند. بنابراین، A'={2، 4، 5، 6}
مجموعه ای با پیوستگی کاردینالیتی دارای ویژگی های زیر است:
- مکمل کمیت جهانی مقدار خالی مورد نظر است؛
- این متغیر مجموعه تهی جهانی است؛
- مقدار و مکمل آن از هم جدا هستند.
برای مثال:
- بگذارید تعداد اعداد طبیعی یک مجموعه جهانی و A زوج باشد. سپس A '{x: x یک مجموعه فرد با ارقام یکسان است}.
- Let ξ=مجموعه ای از حروف الفبا. الف=مجموعه ای از صامت ها. سپس A '=تعداد حروف صدادار.
- مکمل مجموعه جهانی، کمیت خالی است. را می توان با ξ نشان داد. سپس ξ '=مجموعه ای از عناصری که در ξ گنجانده نشده اند. مجموعه خالی φ نوشته و نشان داده می شود. بنابراین ξ=φ. بنابراین، مکمل مجموعه جهانی خالی است.
در ریاضیات، "پیوسته" گاهی اوقات برای نشان دادن یک خط واقعی استفاده می شود. و به طور کلی، برای توصیف اشیاء مشابه:
- پیوسته (در نظریه مجموعه ها) - خط واقعی یا عدد اصلی مربوطه؛
- خطی - هر مجموعه مرتب شده ای که ویژگی های خاصی از یک خط واقعی را به اشتراک می گذارد؛
- پیوسته (در توپولوژی) - فضای متریک متصل فشرده غیرخالی (گاهی اوقات هاسدورف)؛
- فرضیه ای که هیچ مجموعه نامتناهی بزرگتر از اعداد صحیح اما کوچکتر از اعداد واقعی نیست؛
- قدرت پیوستار یک عدد اصلی است که اندازه مجموعه اعداد واقعی را نشان می دهد.
اساساً یک پیوستار (اندازه گیری)، نظریه ها یا مدل هایی که انتقال تدریجی از یک حالت به حالت دیگر را بدون هیچ تغییر ناگهانی توضیح می دهند.
مشکلات اتحاد و تقاطع
مشخص است که محل تلاقی دو یا چند مجموعه، عددی است که شامل تمام عناصر مشترک در این مقادیر است. وظایف کلمه در مجموعه ها حل می شود تا ایده های اساسی در مورد نحوه استفاده از خصوصیات اتحاد و تقاطع مجموعه ها به دست آید. حل مشکلات اصلی کلمات درمجموعه ها به این شکل هستند:
بگذارید A و B دو مجموعه متناهی باشند. آنها به گونه ای هستند که n (A)=20، n (B)=28 و n (A ∪ B)=36، n (A ∩ B) را پیدا کنید
رابطه در مجموعه ها با استفاده از نمودار ون:
- اتحاد دو مجموعه را می توان با یک ناحیه سایه دار نشان داد که نشان دهنده A ∪ B است. A ∪ B زمانی که A و B مجموعه های ناهمگون هستند.
- تقاطع دو مجموعه را می توان با نمودار ون نشان داد. با ناحیه سایه‌دار که نشان‌دهنده A ∩ B.
- تفاوت بین دو مجموعه را می توان با نمودارهای ون نشان داد. با یک منطقه سایه دار که نشان دهنده A - B است.
- رابطه بین سه مجموعه با استفاده از نمودار ون. اگر ξ نشان دهنده یک کمیت جهانی باشد، A، B، C سه زیر مجموعه هستند. در اینجا هر سه مجموعه با هم همپوشانی دارند.
است
خلاصه اطلاعات مجموعه
کاردینالیته یک مجموعه به عنوان تعداد کل عناصر مجزا در مجموعه تعریف می شود. و آخرین مقدار مشخص شده به عنوان تعداد همه زیر مجموعه ها توصیف می شود. هنگام مطالعه چنین موضوعاتی، روش ها، روش ها و راه حل ها مورد نیاز است. بنابراین، برای کاردینالیته یک مجموعه، مثالهای زیر می‌توانند به‌عنوان مثال عمل کنند:
بگذارید A={0، 1، 2، 3}| |=4، جایی که | A | نشان دهنده اصلی بودن مجموعه A است.
اکنون می توانید پاور پک خود را پیدا کنید. خیلی هم ساده است. همانطور که قبلاً گفته شد، مجموعه توان از تمام زیر مجموعه های یک عدد معین تنظیم می شود. بنابراین اساساً باید تمام متغیرها، عناصر و سایر مقادیر A را تعریف کرد.که عبارتند از {}، {0}، {1}، {2}، {3}، {0، 1}، {0، 2}، {0، 3}، {1، 2}، {1، 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
اکنون P={{}، {0}، {1}، {2}، {3}، {0، 1}، {0، 2}، {0، 3}، {0} را محاسبه کنید. 1، 2}، {1، 3}، {2، 3}، {0، 1، 2}، {0، 1، 3}، {1، 2، 3}، {0، 2، 3}، { 0، 1، 2، 3}} که دارای 16 عنصر است. بنابراین، کاردینالیته مجموعه A=16. بدیهی است که این یک روش خسته کننده و دست و پا گیر برای حل این مشکل است. با این حال، یک فرمول ساده وجود دارد که به‌طور مستقیم می‌توانید تعداد عناصر موجود در مجموعه توان یک عدد معین را بدانید. | P |=2 ^ N، که در آن N تعداد عناصر در برخی A است. این فرمول را می توان با استفاده از ترکیبات ساده به دست آورد. بنابراین سوال 2^11 است زیرا تعداد عناصر در مجموعه A 11 است.
بنابراین، یک مجموعه هر کمیتی است که به صورت عددی بیان می شود، که می تواند هر شی ممکن باشد. به عنوان مثال، اتومبیل، افراد، اعداد. در مفهوم ریاضی، این مفهوم گسترده تر و کلی تر است. اگر در مراحل اولیه اعداد و گزینه های حل آنها مرتب شود، در مراحل میانی و بالاتر شرایط و وظایف پیچیده می شود. در واقع، اصلی بودن اتحاد یک مجموعه با تعلق آن شی به هر گروهی تعیین می شود. یعنی یک عنصر متعلق به یک کلاس است، اما یک یا چند متغیر دارد.
