بعید است که بسیاری از مردم به این فکر کنند که آیا می توان رویدادهایی را که کم و بیش تصادفی هستند محاسبه کرد. به زبان ساده، آیا این واقع بینانه است که بدانیم کدام سمت از قالب در تاس در مرحله بعدی سقوط خواهد کرد. این سوالی بود که دو دانشمند بزرگ مطرح کردند و پایه و اساس علمی مانند نظریه احتمال را گذاشتند که در آن احتمال یک رویداد به طور گسترده مورد مطالعه قرار می گیرد.
منشا
اگر بخواهید مفهومی را به عنوان نظریه احتمال تعریف کنید، به این نتیجه می رسید: این یکی از شاخه های ریاضیات است که ثبات رویدادهای تصادفی را مطالعه می کند. البته این مفهوم واقعاً تمام ماهیت را آشکار نمی کند، بنابراین لازم است آن را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.
می خواهم با سازندگان نظریه شروع کنم. همانطور که در بالا ذکر شد، دو مورد از آنها وجود داشت، اینها پیر فرما و بلز پاسکال هستند. آنها از اولین کسانی بودند که سعی کردند نتیجه یک رویداد را با استفاده از فرمول ها و محاسبات ریاضی محاسبه کنند. در مجموع، مبانی این علم از همان ابتدا پدیدار شدقرون وسطی. در آن زمان، متفکران و دانشمندان مختلف سعی کردند قمار مانند رولت، کرپس و غیره را تجزیه و تحلیل کنند و از این طریق الگو و درصدی از سقوط یک عدد خاص را تعیین کنند. این بنا در قرن هفدهم توسط دانشمندان فوق بنا نهاده شد.
در ابتدا نمی‌توان کار آنها را به دستاوردهای بزرگ در این زمینه نسبت داد، زیرا هر کاری که انجام دادند صرفاً واقعیت‌های تجربی بود و آزمایش‌ها به صورت بصری و بدون استفاده از فرمول تنظیم شدند. با گذشت زمان معلوم شد که نتایج بسیار خوبی حاصل شد که در نتیجه مشاهده پرتاب تاس ظاهر شد. این ابزار بود که به استخراج اولین فرمول های قابل فهم کمک کرد.
همکار
نمی توان در فرآیند مطالعه موضوعی به نام "نظریه احتمال" از شخصی به عنوان کریستین هویگنس نامی برد (احتمال یک رویداد دقیقاً در این علم پوشش داده شده است). این شخص بسیار جالب است. او مانند دانشمندانی که در بالا ارائه شد، سعی کرد نظم وقایع تصادفی را در قالب فرمول های ریاضی استخراج کند. نکته قابل توجه این است که او این کار را با پاسکال و فرما انجام نداده است، یعنی همه کارهایش به هیچ وجه با این ذهن ها تلاقی نداشتند. هویگنز مفاهیم اساسی نظریه احتمال را به دست آورد.
یک واقعیت جالب این است که آثار او بسیار قبل از نتایج کار پیشگامان، یا بهتر است بگوییم، بیست سال قبل از آن منتشر شد. در میان مفاهیم تعیین شده، معروف ترین آنها عبارتند از:
- مفهوم احتمال به عنوان بزرگی شانس؛
- انتظار برای گسستهموارد;
- قضیه ضرب و جمع احتمالات.
همچنین غیرممکن است که ژاکوب برنولی را به یاد نیاوریم، که او نیز سهم قابل توجهی در مطالعه این مشکل داشت. او با انجام آزمایشات خود، مستقل از هر کسی، موفق شد اثباتی از قانون اعداد بزرگ ارائه دهد. به نوبه خود، دانشمندان پواسون و لاپلاس که در آغاز قرن نوزدهم کار کردند، توانستند قضایای اصلی را اثبات کنند. از این لحظه بود که از نظریه احتمال برای تجزیه و تحلیل اشتباهات در جریان مشاهدات استفاده شد. دانشمندان روسی یا بهتر بگوییم مارکوف، چبیشف و دیاپانوف نیز نتوانستند از این علم عبور کنند. بر اساس کار انجام شده توسط نوابغ بزرگ، آنها این موضوع را به عنوان شاخه ای از ریاضیات ثابت کردند. این ارقام قبلاً در پایان قرن نوزدهم کار می کردند و به لطف کمک آنها، پدیده هایی مانند:
- قانون اعداد بزرگ؛
- نظریه زنجیره مارکوف؛
- قضیه حد مرکزی.
بنابراین، با تاریخ تولد علم و با افراد اصلی تأثیرگذار بر آن، همه چیز کم و بیش روشن است. اکنون زمان آن است که تمام حقایق را مشخص کنیم.
مفاهیم اساسی
قبل از پرداختن به قوانین و قضایا، ارزش مطالعه مفاهیم اساسی نظریه احتمال را دارد. رویداد نقش اصلی را در آن به عهده می گیرد. این مبحث بسیار حجیم است، اما بدون آن نمی توان همه چیز را درک کرد.
رویداد در نظریه احتمال هر مجموعه ای از نتایج یک آزمایش است. مفاهیم زیادی از این پدیده وجود ندارد. بنابراین، دانشمند لوتمن،کار در این زمینه، گفت که در این مورد ما در مورد چیزی صحبت می کنیم که "اتفاق افتاده است، اگرچه ممکن است اتفاق نیفتاده باشد."
رویدادهای تصادفی (نظریه احتمال توجه ویژه ای به آنها دارد) مفهومی است که مطلقاً بر هر پدیده ای دلالت دارد که توانایی رخ دادن را داشته باشد. یا برعکس، این سناریو ممکن است زمانی اتفاق نیفتد که بسیاری از شرایط برآورده شوند. همچنین شایان ذکر است که این رویدادهای تصادفی هستند که کل حجم پدیده هایی را که رخ داده اند به تصویر می کشند. تئوری احتمال نشان می دهد که همه شرایط را می توان به طور مداوم تکرار کرد. این رفتار آنها بود که "تجربه" یا "آزمون" نامیده شد.
یک رویداد خاص، رویدادی است که 100٪ در یک آزمون مشخص اتفاق می افتد. بر این اساس، یک رویداد غیرممکن رویدادی است که اتفاق نیفتد.
ترکیب یک جفت عمل (معمولا مورد الف و حالت ب) پدیده ای است که به طور همزمان رخ می دهد. آنها به عنوان AB تعیین می شوند.
مجموع جفت رویدادهای A و B برابر با C است، به عبارت دیگر، اگر حداقل یکی از آنها اتفاق بیفتد (A یا B) C به دست می آید.فرمول پدیده توصیف شده به صورت زیر نوشته می شود.: C=A + B.
رویدادهای متمایز در تئوری احتمال دلالت بر این دارد که دو مورد متقابلاً ناسازگار هستند. آنها هرگز نمی توانند همزمان اتفاق بیفتند. رویدادهای مشترک در نظریه احتمال، پادپای آنها هستند. این بدان معناست که اگر A اتفاق افتاده باشد، با B تداخلی ندارد.
رویدادهای متضاد (تئوری احتمالات با جزئیات زیادی به آنها می پردازد) به راحتی قابل درک هستند. بهتر است در مقایسه با آنها برخورد کنید. آنها تقریباً مشابه هستندو رویدادهای ناسازگار در نظریه احتمال. اما تفاوت آنها در این است که یکی از بسیاری از پدیده ها باید به هر حال رخ دهد.
رویدادهای معادل آن دسته از اعمالی هستند که امکان آنها برابر است. برای روشن‌تر شدن موضوع، می‌توانیم پرتاب یک سکه را تصور کنیم: سقوط یکی از اضلاع آن به همان اندازه احتمال سقوط طرف دیگر را دارد.
رویداد فرخنده را با یک مثال راحت‌تر می‌توان دید. فرض کنید قسمت B و قسمت A وجود دارد. اولی انداختن تاس با ظاهر یک عدد فرد و دومی ظاهر شدن عدد پنج روی قالب است. سپس معلوم می شود که A از B حمایت می کند.
رویدادهای مستقل در نظریه احتمال فقط در دو یا چند مورد پیش بینی می شود و دلالت بر استقلال هر عملی از دیگری دارد. به عنوان مثال، A از دست دادن دم هنگام پرتاب سکه است و B، بیرون کشیدن یک جک از عرشه است. آنها رویدادهای مستقل در نظریه احتمال هستند. با این لحظه همه چیز واضح تر شد.
رویدادهای وابسته در نظریه احتمال نیز فقط برای مجموعه آنها قابل پذیرش است. آنها دلالت بر وابستگی یکی به دیگری دارند، یعنی پدیده B تنها در صورتی می تواند رخ دهد که A قبلاً اتفاق افتاده باشد یا برعکس، اتفاق نیفتاده باشد، در حالی که این شرط اصلی برای B است.
نتیجه یک آزمایش تصادفی متشکل از یک جزء، رویدادهای ابتدایی است. نظریه احتمال توضیح می دهد که این پدیده ای است که فقط یک بار اتفاق افتاده است.
فرمول های اساسی
بنابراین، مفاهیم "رویداد"، "نظریه احتمال"،تعریف اصطلاحات اساسی این علم نیز ارائه شد. اکنون زمان آن است که مستقیماً با فرمول های مهم آشنا شوید. این عبارات از نظر ریاضی تمام مفاهیم اصلی را در موضوعی دشوار مانند نظریه احتمال تایید می کنند. احتمال یک رویداد در اینجا نیز نقش مهمی ایفا می کند.
بهتر است با فرمول های اصلی ترکیبات شروع کنید. و قبل از اقدام به آنها، ارزش آن را دارد که در نظر بگیرید که چیست.
ترکیب در درجه اول شاخه ای از ریاضیات است، با مطالعه تعداد زیادی اعداد صحیح و همچنین جایگشت های مختلف خود اعداد و عناصر آنها، داده های مختلف و غیره می پردازد که منجر به ظهور تعدادی ترکیب علاوه بر نظریه احتمال، این شاخه برای آمار، علوم کامپیوتر و رمزنگاری مهم است.
پس اکنون می توانیم به ارائه خود فرمول ها و تعریف آنها برویم.
نخستین عبارت برای تعداد جایگشت ها خواهد بود، به نظر می رسد:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
معادله فقط در صورتی اعمال می شود که عناصر فقط به ترتیب متفاوت باشند.
حالا فرمول قرارگیری در نظر گرفته می شود، به نظر می رسد این است:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
این عبارت نه تنها در مورد ترتیب عنصر، بلکه در مورد ترکیب آن نیز صدق می کند.
معادله سوم از ترکیبات، و همچنین آخرین مورد، فرمول تعداد ترکیبات نامیده می شود:
C_n^m=n !: ((n -م))!:m !
ترکیب ها به ترتیب انتخاب هایی هستند که مرتب نشده اند و این قانون در مورد آنها صدق می کند.
معلوم شد که فهمیدن فرمول های ترکیبیات آسان است، اکنون می توانیم به تعریف کلاسیک احتمالات برویم. این عبارت به شکل زیر است:
P(A)=m: n.
در این فرمول، m تعداد شرایط مساعد برای رویداد A، و n تعداد مطلقاً همه نتایج ممکن و ابتدایی است.
تعداد زیادی از عبارات وجود دارد که مقاله همه آنها را پوشش نمی دهد، اما مهمترین آنها مورد بررسی قرار خواهد گرفت، مانند، برای مثال، احتمال مجموع رویدادها:
P(A + B)=P(A) + P(B) - این قضیه فقط برای اضافه کردن رویدادهای ناسازگار است؛
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - و این یکی فقط برای افزودن موارد سازگار است.
احتمال ایجاد رویدادها:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) - این قضیه برای رویدادهای مستقل است؛
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A)؛ P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - و این یکی برای معتادان.
فرمول رویداد به لیست پایان می دهد. نظریه احتمال در مورد قضیه بیز به ما می گوید که به شکل زیر است:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k))، m=1, …, n
در این فرمول، H1، H2، …، H است گروه کامل فرضیه ها.
بیایید در اینجا توقف کنیم، سپس نمونه هایی از استفاده از فرمول ها برای حل مسائل خاص از تمرین در نظر گرفته می شود.
نمونه
اگر هر بخش را با دقت مطالعه کنیدریاضیات، بدون تمرین و نمونه راه حل انجام نمی شود. نظریه احتمال نیز چنین است: رویدادها، مثال‌ها در اینجا جزء جدایی‌ناپذیری هستند که محاسبات علمی را تأیید می‌کنند.
فرمول تعداد جایگشتها
بیایید بگوییم سی کارت در یک دسته کارت وجود دارد که با ارزش اسمی یک شروع می شود. سوال بعدی چند راه برای چیدن عرشه وجود دارد تا کارت‌های با ارزش اسمی یک و دو در کنار هم نباشند؟
تکلیف تعیین شده است، حالا بیایید به حل آن برویم. ابتدا باید تعداد جایگشت های سی عنصر را تعیین کنید، برای این کار فرمول فوق را می گیریم، معلوم می شود P_30=30!.
بر اساس این قانون، خواهیم فهمید که چند گزینه برای تا کردن عرشه به روش‌های مختلف وجود دارد، اما باید آن‌هایی را که کارت‌های اول و دوم قرار دارند از آنها کم کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید با گزینه زمانی که اولی بالاتر از دومی قرار دارد شروع کنیم. معلوم می شود که کارت اول می تواند بیست و نه مکان - از اول تا بیست و نهم، و کارت دوم از دوم تا سی ام، بیست و نه مکان برای یک جفت کارت باشد. به نوبه خود، بقیه می توانند بیست و هشت مکان را بگیرند، و به هر ترتیبی. یعنی برای جایگشت بیست و هشت کارت، بیست و هشت گزینه وجود دارد P_28=28!
در نتیجه، معلوم می شود که اگر راه حل را زمانی که کارت اول بیش از کارت دوم است در نظر بگیریم، 29 ⋅ 28 احتمال اضافی وجود دارد!=29!
با استفاده از همین روش، باید تعداد گزینه های اضافی را برای مواردی که کارت اول زیر کارت دوم است محاسبه کنید.همچنین معلوم می شود 29 ⋅ 28!=29!
نتیجه می شود که 2 ⋅ 29 گزینه اضافی وجود دارد!، در حالی که 30 روش لازم برای ساخت یک عرشه وجود دارد! - 2 ⋅ 29!. فقط برای شمارش باقی مانده است.
30!=29 ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29 ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
حالا باید همه اعداد از یک تا بیست و نه را با هم ضرب کنید و سپس همه چیز را در 28 ضرب کنید. پاسخ 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
است.
حل مثال. فرمول شماره قرارگیری
در این مشکل، باید دریابید که چند راه برای قرار دادن پانزده جلد در یک قفسه وجود دارد، اما به شرطی که در مجموع سی جلد باشد.
این مشکل راه حل کمی آسان تری نسبت به قبلی دارد. با استفاده از فرمول از قبل شناخته شده، لازم است تعداد کل مکان ها از سی جلد پانزده محاسبه شود.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=20216=202 843 6020 204 1
پاسخ، به ترتیب، 202 843 204 931 727 360 000 خواهد بود.
حالا بیایید کار را کمی دشوارتر کنیم. باید دریابید که چند راه برای چیدمان سی کتاب در دو قفسه وجود دارد، مشروط بر اینکه فقط پانزده جلد در یک قفسه باشد.
قبل از شروع راه حل، می خواهم توضیح دهم که برخی از مسائل به چندین روش حل می شوند، بنابراین در این راه دو راه وجود دارد، اما در هر دو از یک فرمول استفاده می شود.
در این مسئله می توانید پاسخ قبلی را بگیرید، زیرا در آنجا محاسبه کردیم که چند بار می توانید یک قفسه را با پانزده کتاب پر کنید.متفاوت معلوم شد A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16.
قفسه دوم را با استفاده از فرمول جایگشت محاسبه می کنیم، زیرا پانزده کتاب در آن قرار داده شده است، در حالی که فقط پانزده کتاب باقی مانده است. از فرمول P_15=15 استفاده کنید.
معلوم می شود که مجموع A_30^15 ⋅ P_15 راه خواهد بود، اما، علاوه بر این، حاصلضرب تمام اعداد از سی تا شانزده باید در حاصل ضرب اعداد از یک تا پانزده ضرب شود، در نتیجه حاصلضرب همه اعداد از یک تا سی، پس جواب 30 است!
اما این مشکل را می توان به روش دیگری حل کرد - ساده تر. برای انجام این کار، می توانید تصور کنید که یک قفسه برای سی کتاب وجود دارد. همه آنها در این هواپیما قرار می گیرند، اما از آنجایی که شرط این است که دو قفسه وجود داشته باشد، یک قفسه بلند را از وسط نصف می کنیم، هر کدام دو پانزده می شود. از اینجا معلوم می شود که گزینه های قرارگیری می توانند P_30=30 باشند!.
حل مثال. فرمول شماره ترکیبی
حالا گونه ای از مسئله سوم از ترکیبات را در نظر خواهیم گرفت. باید دریابید که چند راه برای ترتیب دادن پانزده کتاب وجود دارد، مشروط بر اینکه باید از بین سی کتاب کاملاً یکسان انتخاب کنید.
برای حل، البته از فرمول تعداد ترکیب ها استفاده می شود. از این شرط معلوم می شود که ترتیب پانزده کتاب یکسان مهم نیست. بنابراین، ابتدا باید تعداد کل ترکیبات سی کتاب پانزده را پیدا کنید.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: پانزده !=155 117 520
همین. با استفاده از این فرمول در کمترین زمان ممکن شدحل چنین مشکلی، پاسخ، به ترتیب، 155 117 520 است.
حل مثال. تعریف کلاسیک احتمال
با فرمول بالا می توانید پاسخ یک مسئله ساده را بیابید. اما به مشاهده بصری و دنبال کردن روند اقدامات کمک می کند.
در مسئله آمده است که ده توپ کاملاً یکسان در کوزه وجود دارد. از این تعداد، چهار رنگ زرد و شش رنگ آبی هستند. یک توپ از کوزه گرفته می شود. شما باید احتمال آبی شدن را دریابید.
برای حل مشکل، لازم است که گرفتن توپ آبی را به عنوان رویداد A تعیین کنید. این تجربه می تواند ده نتیجه داشته باشد که به نوبه خود ابتدایی و به همان اندازه محتمل هستند. در همان زمان، از ده، شش مورد برای رویداد A مطلوب هستند. ما طبق فرمول حل می کنیم:
P(A)=6: 10=0, 6
با استفاده از این فرمول، متوجه شدیم که احتمال گرفتن توپ آبی 0.6 است.
حل مثال. احتمال مجموع رویدادها
اکنون یک نوع ارائه می شود که با استفاده از فرمول احتمال مجموع رویدادها حل می شود. بنابراین، در شرایطی که دو جعبه وجود دارد، اولی حاوی یک توپ خاکستری و پنج توپ سفید، و دومی حاوی هشت توپ خاکستری و چهار توپ سفید است. در نتیجه یکی از آنها از جعبه اول و دوم گرفته شد. شما باید دریابید که شانس این که توپ هایی که به دست می آورید خاکستری و سفید شوند چقدر است.
برای حل این مشکل، باید رویدادها را برچسب گذاری کنید.
- بنابراین، A - یک توپ خاکستری از جعبه اول بردارید: P(A)=1/6.
- A’ - یک توپ سفید نیز از جعبه اول بردارید: P(A')=5/6.
- B - توپ خاکستری قبلاً از جعبه دوم خارج شده است: P(B)=2/3.
- B’ - یک توپ خاکستری از جعبه دوم بردارید: P(B')=1/3.
بر حسب شرط مسئله، یکی از پدیده ها باید اتفاق بیفتد: AB' یا A'B. با استفاده از فرمول، دریافت می کنیم: P(AB')=1/18، P(A'B)=10/18.
اکنون از فرمول ضرب احتمال استفاده شده است. در مرحله بعد، برای یافتن پاسخ، باید معادله جمع آنها را اعمال کنید:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
به این ترتیب، با استفاده از فرمول، می توانید مشکلات مشابه را حل کنید.
نتیجه
مقاله اطلاعاتی در مورد موضوع "نظریه احتمال" ارائه کرد که در آن احتمال یک رویداد نقش مهمی ایفا می کند. البته همه چیز در نظر گرفته نشد، اما بر اساس متن ارائه شده، می توان به صورت نظری با این بخش از ریاضیات آشنا شد. علم مورد بحث نه تنها در کار حرفه ای، بلکه در زندگی روزمره نیز می تواند مفید باشد. با کمک آن می توانید هر احتمالی را برای هر رویدادی محاسبه کنید.
متن همچنین به تاریخ های مهمی در تاریخ شکل گیری نظریه احتمال به عنوان یک علم و نام افرادی که آثارشان روی آن سرمایه گذاری شده است اشاره می کند. این گونه بود که کنجکاوی انسانی به این واقعیت منجر شد که مردم یاد گرفتند حتی رویدادهای تصادفی را محاسبه کنند. زمانی آنها فقط به آن علاقه داشتند، اما امروز همه از قبل در مورد آن می دانند. و هیچ کس نخواهد گفت که در آینده چه چیزی در انتظار ما است، چه اکتشافات درخشان دیگری مرتبط با نظریه مورد بررسی انجام خواهد شد. اما یک چیز مطمئن است - تحقیقات هنوز ثابت نیست!
