مثلث چند ضلعی با سه ضلع (سه گوشه) است. اغلب، اضلاع با حروف کوچک، مربوط به حروف بزرگ که نشان دهنده رئوس مخالف هستند، نشان داده می شوند. در این مقاله با انواع این اشکال هندسی آشنا می شویم، قضیه ای که مجموع زوایای یک مثلث را مشخص می کند.
نمایش بر اساس زاویه
انواع چند ضلعی زیر با سه رأس متمایز می شوند:
- زاویه حاد، که در آن همه گوشه ها تیز هستند؛
- مستطیل، دارای یک زاویه قائمه، در حالی که اضلاع تشکیل دهنده آن را پا، و ضلعی که در مقابل زاویه قائم قرار می گیرد، هیپوتنوس نامیده می شود؛
- کم وقتی یک گوشه کج است؛
- متساوی الساقین که دو ضلع آن مساوی است و آنها را جانبی می نامند و سومی قاعده مثلث است؛
- مساوی الاضلاع، دارای هر سه ضلع مساوی.
خواص
آنها ویژگی های اصلی را که مشخصه هر نوع مثلث است برجسته می کنند:
- در مقابل ضلع بزرگتر همیشه یک زاویه بزرگتر وجود دارد و بالعکس؛
- اضلاع مقابل با اندازه مساوی زوایای مساوی هستند و بالعکس؛
- هر مثلثی دو زاویه تند دارد؛
- یک گوشه بیرونی بزرگتر از هر گوشه داخلی است که مجاور آن نیست؛
- مجموع هر دو زاویه همیشه کمتر از 180 درجه است؛
- گوشه بیرونی برابر است با مجموع دو گوشه دیگر که با آن تلاقی ندارند.
قضیه مجموع مثلث زوایا
قضیه بیان می کند که اگر تمام زوایای یک شکل هندسی معین را که در صفحه اقلیدسی قرار دارد جمع کنید، مجموع آنها 180 درجه خواهد بود. بیایید سعی کنیم این قضیه را اثبات کنیم.
بیایید یک مثلث دلخواه با رئوس KMN داشته باشیم.
از طریق راس M یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم KN رسم کنید (این خط را خط مستقیم اقلیدسی نیز می نامند). نقطه A را به گونه ای روی آن علامت گذاری می کنیم که نقاط K و A در اضلاع مختلف خط مستقیم MN قرار گیرند. زوایای مساوی AMN و KNM را بدست می آوریم که مانند زوایای داخلی به صورت متقاطع قرار می گیرند و توسط متقاطع MN همراه با خطوط مستقیم KN و MA که موازی هستند تشکیل می شوند. از این نتیجه حاصل می شود که مجموع زوایای مثلث واقع در رئوس M و H برابر با اندازه زاویه KMA است. هر سه زاویه مجموع را تشکیل می دهند که برابر است با مجموع زوایای KMA و MKN. از آنجایی که این زوایای داخلی با توجه به یک طرفه هستندخطوط مستقیم موازی KN و MA با KM مقطعی، مجموع آنها 180 درجه است. قضیه ثابت شد.
نتیجه
نتیجه زیر از قضیه اثبات شده بالا به دست می آید: هر مثلثی دو زاویه تند دارد. برای اثبات این موضوع، فرض کنیم یک شکل هندسی معین فقط یک زاویه تند دارد. همچنین می توان فرض کرد که هیچ یک از زوایا تند نیست. در این حالت باید حداقل دو زاویه مساوی یا بزرگتر از 90 درجه وجود داشته باشد. اما در این صورت مجموع زاویه ها بیشتر از 180 درجه خواهد بود. اما این نمی تواند باشد، زیرا طبق قضیه، مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است - نه بیشتر و نه کمتر. این چیزی است که باید ثابت می شد.
ملاک گوشه بیرونی
مجموع زوایای مثلثی که خارجی هستند چقدر است؟ این سوال را می توان به یکی از دو روش پاسخ داد. اول این که باید مجموع زوایایی را که در هر رأس یکی گرفته می شود، یعنی سه زاویه پیدا کرد. دومی به این معنی است که باید مجموع هر شش زاویه را در راس ها پیدا کنید. ابتدا به گزینه اول می پردازیم. بنابراین، مثلث شامل شش گوشه خارجی است - دو گوشه در هر راس.
هر جفت زوایای مساوی دارند زیرا عمودی هستند:
∟1=∟4، ∟2=∟5، ∟3=∟6.
علاوه بر این، معلوم است که زاویه خارجی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی که با آن تلاقی ندارند. بنابراین،
∟1=∟A + ∟C، ∟2=∟A + ∟B، ∟3=∟B + ∟C.
از این معلوم می شود که مجموع خارجیگوشه هایی که در هر راس یکی گرفته می شود برابر خواهد بود با:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
با توجه به اینکه مجموع زاویه ها 180 درجه است، می توان استدلال کرد که ∟A + ∟B + ∟C=180 درجه. و این بدان معنی است که ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180 درجه=360 درجه. اگر از گزینه دوم استفاده شود، مجموع شش زاویه به ترتیب دو برابر بزرگتر خواهد بود. یعنی مجموع زوایای خارجی مثلث خواهد بود:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720 درجه.
مثلث قائم الزاویه
مجموع زوایای تند مثلث قائم الزاویه چقدر است؟ پاسخ به این سوال باز هم از قضیه ای که بیان می کند مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، به دست می آید. و بیانیه (ویژگی) ما به این صورت است: در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع زوایای تند تا 90 درجه می رسد. بیایید صحت آن را ثابت کنیم.
بگذارید یک مثلث KMN به ما داده شود که در آن ∟Н=90 درجه است. اثبات اینکه ∟K + ∟M=90 درجه ضروری است.
بنابراین، با توجه به قضیه مجموع زاویه ∟К + ∟М + ∟Н=180 درجه. شرایط ما می گوید که ∟Н=90 درجه. بنابراین معلوم می شود، ∟K + ∟M + 90 درجه=180 درجه. یعنی ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. این چیزی است که ما باید ثابت می‌کردیم.
علاوه بر ویژگی های بالا مثلث قائم الزاویه، می توانید موارد زیر را اضافه کنید:
- زاویه هایی که روی پاها قرار می گیرند تیز هستند؛
- هیپوتنوز بیش از هر پایه مثلثی است؛
- مجموع پاها از هیپوتانوس بیشتر است؛
- پامثلثی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد، نصف هیپوتنوز است، یعنی برابر با نیمی از آن.
به عنوان یکی دیگر از ویژگی های این شکل هندسی، قضیه فیثاغورث را می توان متمایز کرد. او بیان می کند که در مثلثی با زاویه 90 درجه (مستطیل شکل)، مجموع مربع های پاها برابر است با مربع هیپوتانوس.
مجموع زوایای مثلث متساوی الساقین
پیشتر گفتیم که متساوی الساقین یک چند ضلعی با سه رأس است که شامل دو ضلع مساوی است. این ویژگی یک شکل هندسی مشخص است: زوایای قاعده آن برابر است. بیایید آن را ثابت کنیم.
مثلث KMN را بگیرید که متساوی الساقین است، KN قاعده آن است.
مجبوریم ثابت کنیم که ∟К=∟Н. بنابراین، فرض کنید MA نیمساز مثلث ما KMN است. مثلث MCA با در نظر گرفتن اولین علامت برابری با مثلث MCA برابر است. یعنی، با شرط داده می شود که KM=NM، MA یک ضلع مشترک است، ∟1=∟2، زیرا MA یک نیمساز است. با استفاده از مساوی بودن این دو مثلث می توانیم بگوییم ∟K=∟Н. بنابراین قضیه ثابت می شود.
اما ما به این علاقه داریم که مجموع زوایای یک مثلث (متساوی الساقین) چقدر است. از آنجایی که از این نظر ویژگی های خاص خود را ندارد، از قضیه ای که قبلاً در نظر گرفته شد شروع می کنیم. یعنی می‌توان گفت که ∟K + ∟M + ∟H=180 درجه، یا 2 x ∟K + ∟M=180 درجه (از ∟K=∟H). ما این ویژگی را ثابت نخواهیم کرد، زیرا خود قضیه مجموع مثلث قبلاً ثابت شده بود.
به جز موارد مورد بحثخواص در مورد زوایای یک مثلث، چنین جملات مهمی نیز وجود دارد:
- در یک مثلث متساوی الساقین، ارتفاعی که تا قاعده پایین آمده است، هم میانه، هم نیمساز زاویه بین اضلاع مساوی و هم محور تقارن قاعده آن است؛
- میانه‌ها (نصف‌سازها، ارتفاع‌ها) که به اضلاع چنین شکل هندسی کشیده می‌شوند برابر هستند.
مثلث متساوی الاضلاع
راست هم می گویند، مثلثی است که همه اضلاع آن برابر است. بنابراین زوایای آن نیز برابر است. هر کدام 60 درجه است. بیایید این ویژگی را ثابت کنیم.
فرض کنید که یک مثلث KMN داریم. می دانیم که KM=NM=KN. و این بدان معناست که با توجه به ویژگی زوایای واقع در قاعده در یک مثلث متساوی الساقین، ∟К=∟М=∟Н. از آنجایی که طبق قضیه، مجموع زوایای یک مثلث ∟К + ∟М + ∟Н=180 درجه است، سپس 3 x ∟К=180 درجه یا ∟К=60 درجه، ∟М=60 درجه، ∟ Н=60 درجه. بنابراین، این بیانیه ثابت می شود.
همانطور که از اثبات بالا بر اساس قضیه می بینید، مجموع زوایای یک مثلث متساوی الاضلاع، مانند مجموع زوایای هر مثلث دیگری، 180 درجه است. نیازی به اثبات مجدد این قضیه نیست.
همچنین چنین ویژگی هایی برای مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد:
- میانه، نیمساز، ارتفاع در چنین شکل هندسی یکسان است و طول آنها به صورت (a x √3) محاسبه می شود: 2;
- اگر دایره ای را در اطراف یک چندضلعی معین توصیف کنید، شعاع آن خواهد بودبرابر است (a x √3): 3;
- اگر دایره ای را در یک مثلث متساوی الاضلاع بنویسید، شعاع آن (a x √3) خواهد بود: 6;
- مساحت این شکل هندسی با فرمول محاسبه می شود: (a2 x √3): 4.
مثلث زاویه دار
طبق تعریف مثلث منفرد، یکی از زوایای آن بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه است. اما با توجه به تند بودن دو زاویه دیگر این شکل هندسی، می توان نتیجه گرفت که از 90 درجه فراتر نمی روند. بنابراین، قضیه مجموع مثلث زاویه ها هنگام محاسبه مجموع زوایای یک مثلث منفرد کار می کند. معلوم می شود که بر اساس قضیه فوق الذکر می توان با اطمینان گفت که مجموع زوایای یک مثلث منفرد 180 درجه است. باز هم، این قضیه نیازی به اثبات مجدد ندارد.
