Polyhedra حتی در دوران باستان توجه ریاضیدانان و دانشمندان را به خود جلب می کرد. مصری ها اهرام را ساختند. و یونانیان "چند وجهی منظم" را مطالعه کردند. گاهی اوقات آنها را جامدات افلاطونی می نامند. "چند وجهی سنتی" از صورت های صاف، لبه های مستقیم و رئوس تشکیل شده است. اما سوال اصلی همیشه این بوده است که این بخش‌های مجزا چه قوانینی را باید رعایت کنند، و همچنین چه شرایط جهانی اضافی را باید رعایت کنند تا یک شی به عنوان چند وجهی واجد شرایط شود. پاسخ این سوال در مقاله ارائه خواهد شد.
مشکلات در تعریف
این رقم از چه چیزی تشکیل شده است؟ چند وجهی یک شکل جامد بسته است که دارای صورت های صاف و لبه های مستقیم است. بنابراین، اولین مشکل تعریف آن را می توان دقیقاً اضلاع شکل نامید. همه چهره هایی که در هواپیماها خوابیده اند همیشه نشانه ای از چند وجهی نیستند. بیایید "سیلندر مثلثی" را به عنوان مثال در نظر بگیریم. از چه چیزی تشکیل شده است؟ قسمتی از سطح آن سه جفتصفحات عمودی متقاطع را نمی توان چند ضلعی در نظر گرفت. دلیلش این است که رئوس ندارد. سطح چنین شکلی بر اساس سه پرتو که در یک نقطه به هم می رسند تشکیل شده است.
یک مشکل دیگر - هواپیماها. در مورد "سیلندر مثلثی" در قسمت های نامحدود آنها قرار دارد. یک شکل محدب در نظر گرفته می شود اگر پاره خطی که هر دو نقطه از مجموعه را به هم متصل می کند نیز در آن باشد. اجازه دهید یکی از خواص مهم آنها را معرفی کنیم. برای مجموعه های محدب این است که مجموعه نقاط مشترک مجموعه یکسان است. نوع دیگری از ارقام وجود دارد. اینها چند وجهی دو بعدی غیر محدب هستند که دارای بریدگی یا سوراخ هستند.
شکل هایی که چندوجهی نیستند
مجموعه مسطح از نقاط می تواند متفاوت باشد (مثلاً غیر محدب) و تعریف معمول چند وجهی را برآورده نکند. حتی از طریق آن، توسط بخش هایی از خطوط محدود می شود. خطوط یک چندوجهی محدب از اشکال محدب تشکیل شده است. با این حال، این رویکرد به تعریف، رقمی را که تا بی نهایت می رود، حذف می کند. یک مثال از این سه پرتو است که در یک نقطه به هم نمی رسند. اما در عین حال به رئوس شکل دیگری متصل می شوند. به طور سنتی، برای یک چند وجهی مهم بود که از سطوح صاف تشکیل شده باشد. اما با گذشت زمان، این مفهوم گسترش یافت، که منجر به بهبود قابل توجهی در درک کلاس "باریک تر" اولیه چند وجهی و همچنین ظهور یک تعریف جدید و گسترده تر شد.
درست
بیایید یک تعریف دیگر را معرفی کنیم. چندوجهی منتظم، چندوجهی است که هر وجه آن یک منتظم متجانس استچند ضلعی های محدب، و همه رئوس "یکسان" هستند. این بدان معناست که هر رأس به همان تعداد چند ضلعی منظم دارد. از این تعریف استفاده کنید. بنابراین می توانید پنج چند وجهی منظم پیدا کنید.
اولین گام به قضیه اویلر برای چندوجهی
یونانیان در مورد چندضلعی که امروزه پنتاگرام نامیده می شود، می دانستند. این چند ضلعی را می‌توان منتظم نامید زیرا تمام ضلع‌های آن دارای طول مساوی هستند. نکته مهم دیگری نیز وجود دارد. زاویه بین دو ضلع متوالی همیشه یکسان است. با این حال، هنگامی که در یک صفحه ترسیم می شود، مجموعه ای محدب را تعریف نمی کند و اضلاع چند وجهی یکدیگر را قطع می کنند. با اینحال منظور همیشه این نیست. ریاضیدانان مدتهاست که ایده چند وجهی منظم "غیر محدب" را در نظر گرفته اند. پنتاگرام یکی از آنها بود. "چند ضلعی های ستاره ای" نیز مجاز بودند. چندین نمونه جدید از "چند وجهی منظم" کشف شده است. اکنون آنها را چند وجهی کپلر-پوینسو می نامند. بعدها، G. S. M. Coxeter و Branko Grünbaum قوانین را گسترش دادند و "چند وجهی منظم" دیگری را کشف کردند.
فرمول چندوجهی
مطالعه سیستماتیک این ارقام نسبتاً در اوایل تاریخ ریاضیات آغاز شد. لئونارد اویلر اولین کسی بود که متوجه شد فرمولی مربوط به تعداد رئوس، وجه‌ها و لبه‌های آنها برای چند وجهی محدب سه بعدی وجود دارد.
او شبیه این است:
V + F - E=2،
که در آن V تعداد رئوس چند وجهی، F تعداد یال های چند وجهی، و E تعداد وجوه است.
لئونارد اویلر سوئیسی استریاضیدانی که یکی از بزرگترین و سازنده ترین دانشمندان تمام دوران به حساب می آید. او بیشتر عمر خود را نابینا بوده است، اما از دست دادن بینایی او دلیلی برای بهره‌وری بیشتر به او داد. چندین فرمول به نام او وجود دارد، و فرمول مورد نظر ما گاهی اوقات فرمول چند وجهی اویلر نامیده می شود.
یک توضیح وجود دارد. فرمول اویلر، با این حال، فقط برای چند وجهی که از قوانین خاصی پیروی می کنند، کار می کند. آنها در این واقعیت نهفته اند که فرم نباید هیچ سوراخی داشته باشد. و عبور از خود غیر قابل قبول است. یک چند وجهی همچنین نمی تواند از دو قسمت به هم پیوسته تشکیل شود، مانند دو مکعب با راس یکسان. اویلر نتیجه تحقیقات خود را در نامه ای به کریستین گلدباخ در سال 1750 ذکر کرد. بعداً، او دو مقاله منتشر کرد که در آنها توضیح داد که چگونه تلاش می کند تا اثباتی برای کشف جدید خود بیابد. در واقع فرم هایی وجود دارند که به V + F - E پاسخ متفاوتی می دهند. جواب حاصل جمع F + V - E=X را مشخصه اویلر می گویند. او جنبه دیگری دارد. برخی از اشکال حتی ممکن است یک مشخصه اویلر منفی داشته باشند
تئوری گراف
گاهی اوقات ادعا می شود که دکارت قضیه اویلر را زودتر به دست آورده است. اگرچه این دانشمند حقایقی در مورد چند وجهی سه بعدی کشف کرد که به او اجازه می داد فرمول مورد نظر را بدست آورد، اما این گام اضافی را انجام نداد. امروزه اویلر را پدر نظریه گراف می دانند. او با استفاده از ایده های خود مشکل پل کونیگزبرگ را حل کرد. اما دانشمند به چندوجهی در زمینه نگاه نکردنظریه گراف اویلر سعی کرد بر اساس تجزیه یک چند وجهی به قطعات ساده تر، فرمولی را اثبات کند. این تلاش از استانداردهای مدرن برای اثبات فاصله دارد. اگرچه اویلر اولین توجیه صحیح را برای فرمول خود ارائه نکرد، اما نمی توان حدسیاتی را که انجام نشده است اثبات کرد. با این حال، نتایجی که بعداً اثبات شد، امکان استفاده از قضیه اویلر را در زمان حاضر نیز فراهم می‌کند. اولین مدرک توسط ریاضیدان آدریان ماری لژاندر به دست آمد.
اثبات فرمول اویلر
اولر اولین بار فرمول چند وجهی را به عنوان قضیه ای در مورد چند وجهی فرموله کرد. امروزه اغلب در زمینه کلی تر نمودارهای متصل مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان مثال، به عنوان سازه های متشکل از نقاط و پاره خطی که آنها را به هم متصل می کنند، که در یک قسمت قرار دارند. آگوستین لوئی کوشی اولین کسی بود که این ارتباط مهم را پیدا کرد. این به عنوان اثبات قضیه اویلر بود. او در اصل متوجه شد که نمودار یک چندوجهی محدب (یا آنچه امروزه به آن گفته می‌شود) از نظر توپولوژیکی همومورفیک به یک کره است، دارای یک نمودار متصل مسطح است. چیست؟ گراف مسطح گرافی است که در صفحه به گونه ای رسم شده باشد که یال های آن فقط در یک راس به هم برسند یا قطع شوند. اینجاست که ارتباط بین قضیه اویلر و نمودارها پیدا شد.
یکی از نشانه های اهمیت نتیجه این است که دیوید اپستین توانست هفده مدرک مختلف را جمع آوری کند. راه های زیادی برای توجیه فرمول چند وجهی اویلر وجود دارد. به یک معنا، واضح ترین برهان ها روش هایی هستند که از استقرای ریاضی استفاده می کنند. نتیجه را می توان ثابت کردکشیدن آن در امتداد تعداد یال‌ها، وجه‌ها یا رئوس نمودار.
اثبات رادمیچر و تاپلیتز
به ویژه جذابیت اثبات زیر رادماچر و توپلیتز، بر اساس رویکرد فون استادت است. برای توجیه قضیه اویلر، فرض کنید که G یک گراف متصل است که در یک صفحه جاسازی شده است. اگر طرحواره داشته باشد، می توان از هر یک از آنها یک یال را حذف کرد، به گونه ای که خاصیتی که متصل باقی می ماند حفظ شود. بین قسمت های حذف شده برای رفتن به گراف متصل بدون بسته شدن و آنهایی که یک لبه بی نهایت نیستند، مطابقت یک به یک وجود دارد. این تحقیق منجر به طبقه بندی "سطوح جهت پذیر" از نظر به اصطلاح مشخصه اویلر شد.
منحنی اردن. قضیه
تز اصلی که به طور مستقیم یا غیرمستقیم در اثبات فرمول چندوجهی قضیه اویلر برای نمودارها استفاده می شود، به منحنی جردن بستگی دارد. این ایده مربوط به تعمیم است. می گوید که هر منحنی بسته ساده هواپیما را به سه مجموعه تقسیم می کند: نقاط روی آن، داخل و خارج آن. همانطور که علاقه به فرمول چند وجهی اویلر در قرن نوزدهم توسعه یافت، تلاش های زیادی برای تعمیم آن صورت گرفت. این تحقیق پایه و اساس توسعه توپولوژی جبری را گذاشت و آن را با جبر و نظریه اعداد مرتبط کرد.
گروه Moebius
به زودی کشف شد که برخی از سطوح را فقط می توان به روشی ثابت به صورت محلی، نه در سطح جهانی "جهت دهی" کرد. گروه معروف موبیوس به عنوان نمونه ای از این گروه عمل می کندسطوح کمی پیشتر توسط Johann Listing کشف شد. این مفهوم شامل مفهوم جنس یک گراف است: کمترین تعداد توصیفگر g. باید به سطح کره اضافه شود و می توان آن را روی سطح کشیده به گونه ای تعبیه کرد که لبه ها فقط در رئوس به هم برسند. به نظر می رسد که هر سطح قابل جهت گیری در فضای اقلیدسی را می توان به عنوان یک کره با تعداد معینی دسته در نظر گرفت.
نمودار اویلر
دانشمند به کشف دیگری دست یافت که امروزه نیز مورد استفاده قرار می گیرد. این نمودار به اصطلاح اویلر یک نمایش گرافیکی از دایره ها است که معمولاً برای نشان دادن روابط بین مجموعه ها یا گروه ها استفاده می شود. نمودارها معمولاً شامل رنگ‌هایی می‌شوند که در مناطقی که دایره‌ها با هم همپوشانی دارند، ترکیب می‌شوند. مجموعه ها دقیقاً با دایره یا بیضی نشان داده می شوند، اگرچه می توان از چهره های دیگری نیز برای آنها استفاده کرد. یک شمول با یک همپوشانی بیضی به نام دایره های اویلر نشان داده می شود.
آنها مجموعه ها و زیر مجموعه ها را نشان می دهند. استثنا دایره های غیر همپوشانی هستند. نمودارهای اویلر ارتباط نزدیکی با دیگر نمایش های گرافیکی دارند. آنها اغلب گیج می شوند. این نمایش گرافیکی، نمودارهای ون نامیده می شود. بسته به مجموعه های مورد نظر، هر دو نسخه ممکن است یکسان به نظر برسند. با این حال، در نمودارهای ون، دایره های همپوشانی لزوماً اشتراک بین مجموعه ها را نشان نمی دهند، بلکه فقط یک رابطه منطقی ممکن را نشان می دهند اگر برچسب های آنها در داخل نباشد.دایره متقاطع هر دو گزینه برای آموزش تئوری مجموعه ها به عنوان بخشی از جنبش ریاضی جدید دهه 1960 پذیرفته شد.
قضیه فرمت و اویلر
اویلر در علم ریاضی اثر قابل توجهی از خود بر جای گذاشت. نظریه اعداد جبری با قضیه ای به نام او غنی شد. همچنین نتیجه یک کشف مهم دیگر است. این به اصطلاح قضیه جبری عمومی لاگرانژ است. نام اویلر نیز با قضیه کوچک فرما مرتبط است. می گوید که اگر p یک عدد اول باشد و a یک عدد صحیح باشد که بر p بخش پذیر نیست، آنگاه:
ap-1 - 1 بر p بخش پذیر است.
گاهی اوقات همان کشف نام متفاوتی دارد که اغلب در ادبیات خارجی یافت می شود. شبیه قضیه کریسمس فرما است. موضوع این است که این کشف به لطف نامه ای از دانشمندی که در آستانه 25 دسامبر 1640 ارسال شد شناخته شد. اما خود این بیانیه قبلاً با آن مواجه شده است. دانشمند دیگری به نام آلبرت ژیرارد از آن استفاده کرد. فرما فقط سعی کرد نظریه خود را اثبات کند. نویسنده در نامه ای دیگر به الهام گرفتن از روش فرود بی نهایت اشاره می کند. اما او هیچ مدرکی ارائه نکرد. بعدها ایدر نیز به همین روش روی آورد. و پس از او - بسیاری از دانشمندان مشهور دیگر، از جمله لاگرانژ، گاوس و مینکوسکی.
ویژگی های هویت
قضیه کوچک فرمت به دلیل اویلر، یک مورد خاص از یک قضیه از نظریه اعداد نیز نامیده می شود. در این نظریه، تابع هویت اویلر اعداد صحیح مثبت را تا یک عدد صحیح n می شمارد. آنها با توجه به coprime هستندn قضیه اویلر در نظریه اعداد با استفاده از حرف یونانی φ نوشته شده و شبیه φ(n) است. می توان آن را به صورت رسمی تر به عنوان تعداد اعداد صحیح k در محدوده 1 ≦ k ≦ n تعریف کرد که بزرگترین مقسوم علیه مشترک gcd(n, k) 1 است. نماد φ(n) را می توان تابع فی اویلر نیز نامید. اعداد صحیح k این شکل را گاهی مجموع می نامند. در قلب تئوری اعداد، تابع هویت اویلر ضربی است، به این معنی که اگر دو عدد m و n همزمان اول باشند، φ(mn)=φ(m)φ(n). همچنین نقش کلیدی در تعریف سیستم رمزگذاری RSA ایفا می کند.
تابع اویلر در سال 1763 معرفی شد. با این حال، در آن زمان ریاضیدان هیچ نماد خاصی را برای آن انتخاب نکرد. اویلر در سال 1784 این تابع را با جزئیات بیشتری مطالعه کرد و حرف یونانی π را برای نشان دادن آن انتخاب کرد. جیمز سیلوستر اصطلاح "کل" را برای این ویژگی ابداع کرد. بنابراین از آن به عنوان کل اویلر نیز یاد می شود. کل φ(n) یک عدد صحیح مثبت n بزرگتر از 1 تعداد اعداد صحیح مثبت کمتر از n است که تا n نسبتا اول هستند.φ(1) به صورت 1 تعریف می شود. تابع اویلر یا تابع ph (φ) یک تئوری اعداد بسیار مهم تابعی که عمیقاً با اعداد اول و به اصطلاح ترتیب اعداد صحیح مرتبط است.
