حل مسائل هندسی به دانش زیادی نیاز دارد. یکی از تعاریف اساسی این علم، مثلث قائم الزاویه است.
این مفهوم به معنای شکل هندسی متشکل از سه زاویه و است.
ضلعو مقدار یکی از زوایا ۹۰ درجه است. ضلع هایی که یک زاویه قائمه را تشکیل می دهند، ساق و ضلع سوم که در مقابل آن قرار دارد، هیپوتنوس نامیده می شود.
اگر پاهای چنین شکلی با هم برابر باشند به آن مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین می گویند. در این حالت تعلق به دو نوع مثلث وجود دارد که به این معنی است که خواص هر دو گروه رعایت می شود. به یاد بیاورید که زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین کاملاً همیشه برابر هستند، بنابراین، زوایای تند چنین شکلی هر کدام شامل 45 درجه خواهد بود.
وجود یکی از ویژگی های زیر به ما امکان می دهد ادعا کنیم که یک مثلث قائم الزاویه برابر است:
- پایه های دو مثلث مساوی است؛
- فیگورهای هپوتنوز و یکی از پاها یکسان دارند؛
- هیپوتانوز و هر کداماز گوشه های تیز؛
- شرط برابری ساق و زاویه حاد رعایت می شود.
مساحت یک مثلث قائم الزاویه را می توان به راحتی هم با استفاده از فرمول های استاندارد و هم به عنوان مقداری معادل نصف حاصلضرب پاهای آن محاسبه کرد.
نسبت های زیر در یک مثلث قائم الزاویه مشاهده می شود:
- پا چیزی نیست جز میانگین متناسب با هیپوتنوز و برآمدگی آن بر روی آن؛
- اگر دایره ای را حول مثلث قائم الزاویه توصیف کنید، مرکز آن در وسط هیپوتانوس خواهد بود؛
- ارتفاع رسم شده از زاویه قائم، میانگین متناسب با برآمدگی های پایه های مثلث بر روی هیپوتانوس آن است.
جالب است که مهم نیست مثلث قائم الزاویه چیست، این ویژگی ها همیشه رعایت می شود.
قضیه فیثاغورث
علاوه بر ویژگی های فوق، مثلث های قائم الزاویه با شرایط زیر مشخص می شوند: مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.
این قضیه به نام بنیانگذار آن - قضیه فیثاغورث - نامگذاری شده است. او این رابطه را زمانی کشف کرد که در حال مطالعه خواص مربع های ساخته شده در اضلاع مثلث قائم الزاویه بود.
برای اثبات قضیه، یک مثلث ABC می سازیم که پاهای آن a و b و فرض c را نشان می دهیم. بعد، دو مربع می سازیم. یک طرف هیپوتانوس و طرف دیگر مجموع دو پا خواهد بود.
سپس مساحت مربع اول را به دو صورت می توان یافت: به عنوان مجموع مساحت های چهارمثلث ABC و مربع دوم یا به عنوان مربع ضلع طبیعی است که این نسبت ها با هم برابر باشند. یعنی:
с2 + 4 (ab/2)=(a + b)2، عبارت حاصل را تبدیل کنید:
c2+2 ab=a2 + b2 + 2 ab
در نتیجه، دریافت می کنیم: c2=a2 + b2
بنابراین، شکل هندسی یک مثلث قائم الزاویه نه تنها با تمام خصوصیات مشخصه مثلث ها مطابقت دارد. وجود یک زاویه راست منجر به این واقعیت می شود که شکل دارای روابط منحصر به فرد دیگری است. مطالعه آنها نه تنها در علم، بلکه در زندگی روزمره نیز مفید است، زیرا شکلی مانند مثلث قائم الزاویه در همه جا یافت می شود.
