چگونه اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ مبانی هندسه

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

پاها و هیپوتنوس اضلاع یک مثلث قائم الزاویه هستند. اولی قطعاتی هستند که در مجاورت زاویه قائم قرار دارند و هیپوتانوس طولانی ترین قسمت شکل است و در مقابل زاویه 90^o است. مثلث فیثاغورثی مثلثی است که اضلاع آن برابر با اعداد طبیعی باشد. طول آنها در این مورد "سه گانه فیثاغورثی" نامیده می شود.

مثلث مصر

برای اینکه نسل کنونی هندسه را به شکلی که اکنون در مدرسه تدریس می شود بیاموزد، چندین قرن است که پیشرفت کرده است. نکته اساسی قضیه فیثاغورث است. اضلاع یک مثلث قائم الزاویه (شکل در تمام دنیا شناخته شده است) 3، 4، 5 است.

تعداد کمی از مردم با عبارت "شلوارهای فیثاغورثی در همه جهات برابر هستند" آشنا نیستند. با این حال، قضیه در واقع اینگونه به نظر می رسد: c² (مربع فرض)=a²+b²(مجموع پاهای مربع).

در بین ریاضیدانان، مثلثی با ضلع های ۳، ۴، ۵ (سانتی متر، متر و غیره) «مصری» نامیده می شود.جالب است که شعاع دایره ای که در شکل درج شده است برابر با یک است. این نام در حدود قرن پنجم قبل از میلاد، زمانی که فیلسوفان یونانی به مصر سفر کردند، سرچشمه گرفت.

هنگام ساختن اهرام، معماران و نقشه برداران از نسبت 3:4:5 استفاده کردند. چنین ساختارهایی متناسب، چشم نواز و جادار بودند و به ندرت فرو ریختند.

سازندگان برای ایجاد زاویه قائمه از طنابی استفاده کردند که ۱۲ گره روی آن بسته شده بود. در این حالت، احتمال ساخت مثلث قائم الزاویه به 95% افزایش یافت.

علائم ارقام مساوی

• زاویه تند در مثلث قائم الزاویه و ضلع بزرگ که برابر با عناصر یکسان در مثلث دوم است، نشانه انکارناپذیر تساوی ارقام است. با در نظر گرفتن مجموع زوایای به راحتی می توان ثابت کرد که زوایای تند دوم نیز برابر هستند. بنابراین، مثلث ها در ویژگی دوم یکسان هستند.
• هنگامی که دو شکل روی هم قرار می گیرند، آنها را طوری بچرخانید که با هم به یک مثلث متساوی الساقین تبدیل شوند. با توجه به ویژگی آن، اضلاع، یا بهتر است بگوییم، هیپوتنوس ها، و زوایای قاعده برابر هستند، به این معنی که این ارقام یکسان هستند.

با علامت اول خیلی راحت می توان ثابت کرد که مثلث ها واقعاً مساوی هستند، نکته اصلی این است که دو ضلع کوچکتر (یعنی پاها) با یکدیگر برابر هستند.

مثلث ها در ویژگی II یکسان خواهند بود که ماهیت آن برابری ساق و زاویه حاد است.

خواص مثلث با زاویه قائمه

ارتفاع پایین‌آمده از زاویه سمت راست شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و وسط آن را به راحتی می توان با این قانون تشخیص داد: میانه ای که به سمت هیپوتانوس پایین می آید، برابر با نصف آن است. مساحت یک شکل را می توان هم با فرمول هرون و هم با این جمله که برابر با نصف حاصلضرب پاها است پیدا کرد.

در یک مثلث قائم الزاویه، خواص زوایای 30^o، 45^o و 60^o.

• با زاویه 30^o، به یاد داشته باشید که پای مقابل برابر با 1/2 از بزرگترین ضلع خواهد بود.
• اگر زاویه 45^o باشد، زاویه حاد دوم نیز 45^o است. این نشان می دهد که مثلث متساوی الساقین است و پاهای آن یکسان است.
• ویژگی زاویه 60^o این است که زاویه سوم دارای اندازه درجه 30^o است.

با یکی از سه فرمول به راحتی می توان منطقه را پیدا کرد:

1. از طریق ارتفاع و سمتی که روی آن می افتد؛
2. طبق فرمول هرون؛
3. در طرفین و زاویه بین آنها.

اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، یا بهتر است بگوییم پاها، با دو ارتفاع همگرا می شوند. برای یافتن سومی باید مثلث حاصل را در نظر گرفت و سپس با استفاده از قضیه فیثاغورث طول مورد نیاز را محاسبه کرد. علاوه بر این فرمول، نسبت دو برابر مساحت و طول هیپوتونوس نیز وجود دارد. رایج ترین عبارت در بین دانش آموزان اولین عبارت است، زیرا به محاسبات کمتری نیاز دارد.

قضایای اعمال شده بر یک مستطیلمثلث

هندسه مثلث قائم الزاویه شامل استفاده از قضایایی مانند:

است.

1. قضیه فیثاغورث. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که مربع هیپوتنوس برابر با مجموع مربع های پاها است. در هندسه اقلیدسی، این رابطه کلیدی است. اگر مثلثی داده شود، مثلاً SNH، می توانید از فرمول استفاده کنید. SN هیپوتانوس است و باید پیدا شود. سپس SN²=NH²+HS².



2. قضیه کسینوس. قضیه فیثاغورث را تعمیم می دهد: g²=f²+s²-2fscos زاویه بین آنها. به عنوان مثال، با توجه به یک مثلث DOB. پا DB و هیپوتانوس DO شناخته شده است، لازم است OB را پیدا کنید. سپس فرمول این شکل را به خود می گیرد: OB²=DB²+DO²-2DBDO cos angle D. سه نتیجه دارد: زاویه مثلث حاد خواهد بود، اگر مجذور طول ثلث از مجموع مربعات دو ضلع کم شود، نتیجه باید کمتر از صفر باشد. اگر این عبارت بزرگتر از صفر باشد، زاویه مات است. زاویه یک زاویه راست است که برابر با صفر باشد.
3. قضیه سینوس. رابطه اضلاع با زوایای مخالف را نشان می دهد. به عبارت دیگر، این نسبت طول اضلاع به سینوس های زوایای مقابل است. در مثلث HFB که هیپوتانوس HF است، درست خواهد بود: HF/sin از زاویه B=FB/sin از زاویه H=HB/سین از زاویه F.