هندسه فضایی که درس آن در پایه های 10-11 مدرسه مطالعه می شود، ویژگی های اشکال سه بعدی را در نظر می گیرد. این مقاله یک تعریف هندسی از یک استوانه ارائه می‌دهد، فرمولی برای محاسبه حجم آن ارائه می‌کند، و همچنین یک مشکل فیزیکی را که در آن دانستن این حجم مهم است، حل می‌کند.
سیلندر چیست؟
از نقطه نظر استریومتری، تعریف استوانه را می توان به صورت زیر ارائه کرد: شکلی است که در نتیجه جابجایی موازی یک بخش مستقیم در امتداد یک منحنی مسطح بسته شکل گرفته است. قطعه نامگذاری شده نباید به همان صفحه منحنی تعلق داشته باشد. اگر منحنی دایره ای باشد و قطعه بر آن عمود باشد، استوانه ای که به شکل توصیف شده تشکیل شده است مستقیم و گرد نامیده می شود. در تصویر زیر نشان داده شده است.
سخت نیست حدس بزنید که این شکل را می توان با چرخاندن یک مستطیل به دور هر یک از اضلاع آن به دست آورد.
استوانه دارای دو پایه یکسان است که به صورت دایره و یک طرف است.سطح استوانه ای دایره قاعده را مستقیم می نامند و پاره عمودی که دایره های پایه های مختلف را به هم متصل می کند، مولد شکل است.
چگونه حجم یک استوانه راست گرد را پیدا کنیم؟
پس از آشنایی با تعریف سیلندر، بیایید در نظر بگیریم که چه پارامترهایی را برای توصیف ریاضی ویژگی های آن باید بدانید.
فاصله بین دو پایه ارتفاع شکل است. واضح است که برابر است با طول ژنراتورتریکس. ارتفاع را با حرف لاتین h نشان می دهیم. شعاع دایره در قاعده با حرف r نشان داده می شود. به آن شعاع سیلندر نیز می گویند. دو پارامتر معرفی شده برای توصیف بدون ابهام تمام خصوصیات شکل مورد نظر کافی است.
با توجه به تعریف هندسی یک استوانه، حجم آن را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:
V=Sh
در اینجا S مساحت پایه است. توجه داشته باشید که برای هر سیلندر و برای هر منشوری، فرمول نوشته شده معتبر است. با این وجود، برای یک استوانه مستقیم گرد، استفاده از آن بسیار راحت است، زیرا ارتفاع یک ژنراتیکس است و مساحت S پایه را می توان با به خاطر سپردن فرمول مساحت یک دایره تعیین کرد:
S=pir2
بنابراین، فرمول کار برای حجم V شکل مورد نظر به صورت:
نوشته می شود:
V=pir2h
نیروی شناوری
هر دانش آموزی می داند که اگر جسمی در آب غوطه ور شود وزن آن کمتر می شود. دلیل این واقعیت استظهور یک نیروی شناور یا نیروی ارشمیدسی است. روی هر جسمی، صرف نظر از شکل و ماده ای که از آن ساخته شده اند، عمل می کند. قدرت ارشمیدس را می توان با فرمول تعیین کرد:
FA=ρlgVl
در اینجا ρl و Vl چگالی مایع و حجم آن توسط بدن جابجا شده است. مهم است که این حجم را با حجم بدن اشتباه نگیرید. آنها فقط در صورتی با هم مطابقت دارند که بدن کاملاً در مایع غوطه ور شود. برای هر غوطه وری جزئی، Vl همیشه کمتر از V بدن است.
نیروی شناور FA به این دلیل نامیده می شود که به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود، یعنی مخالف جهت گرانش است. جهت های مختلف بردارهای نیرو به این واقعیت منجر می شود که وزن بدن در هر مایع کمتر از هوا است. انصافاً متذکر می شویم که در هوا، همه اجسام نیز تحت تأثیر نیروی شناوری قرار می گیرند، اما در مقایسه با نیروی ارشمیدوس در آب ناچیز است (800 برابر کمتر).
تفاوت وزن اجسام در مایع و هوا برای تعیین چگالی مواد جامد و مایع استفاده می شود. به این روش توزین هیدرواستاتیک می گویند. طبق افسانه، اولین بار توسط ارشمیدس برای تعیین چگالی فلزی که تاج از آن ساخته شده است استفاده شد.
از فرمول بالا برای تعیین نیروی شناوری وارد بر استوانه برنجی استفاده کنید.
مسئله محاسبه نیروی ارشمیدس بر روی استوانه برنجی
معلوم است که یک استوانه برنجی دارای ارتفاع ۲۰ سانتی متر و قطر ۱۰ سانتی متر است نیروی ارشمیدسی چقدر خواهد بود؟اگر سیلندر در آب مقطر انداخته شود، روی او اثر می گذارد.
برای تعیین نیروی شناوری روی استوانه برنجی، ابتدا به چگالی برنج در جدول نگاه کنید. برابر است با 8600 کیلوگرم بر متر3 (این مقدار میانگین چگالی آن است). از آنجایی که این مقدار بیشتر از چگالی آب است (1000 کیلوگرم بر متر3)، جسم غرق می شود.
برای تعیین نیروی ارشمیدس کافی است حجم استوانه را پیدا کنید و سپس از فرمول بالا برای FA استفاده کنید. ما داریم:
V=pir2h=3, 145220=1570 سانتی متر 3
مقدار شعاع 5 سانتی متر را در فرمول جایگزین کرده ایم، زیرا در شرایط مسئله قطر دو برابر کوچکتر از شعاع داده شده است.
برای نیروی شناوری دریافت می کنیم:
FA=ρlgV=10009، 81157010-6 =15, 4 H
در اینجا ما حجم V را به m3 تبدیل کردیم.
بنابراین، نیروی رو به بالا 15.4 نیوتن بر روی یک استوانه برنجی با ابعاد مشخص که در آب غوطه ور است، وارد می شود.
