لگاریتم: مثال ها و راه حل ها

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

همانطور که می‌دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نماهای آنها همیشه با هم جمع می‌شوند (a^ba^c=a^{b+ c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از شاخص های عدد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا که لازم است ضرب دست و پا گیر به جمع ساده ساده کرد، یافت. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، برای شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. زبان ساده و در دسترس.}

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log_ab=c c" که باید پایه "a" را در آن بالا ببرید تا در نهایت مقدار "" را بدست آورید. ب". بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log_{28 وجود دارد. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید چنین مدرکی پیدا کنید که از 2 تا مدرک مورد نیاز، 8 بگیرید. با انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیراعدد 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.}

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع، لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e=2, 7).
2. لگاریتم اعشاری lg a، که در آن پایه عدد 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b به پایه a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد حل می شود، از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش بعدی به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، باید ویژگی های آنها و ترتیب اقدامات را در حل آنها به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات قوانین-محدودیت های متعددی وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل مذاکره نیستند و درست هستند. برای مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان از اعداد منفی یک ریشه زوج گرفت. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی یاد بگیرید که چگونه با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ کار کنید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و در عین حال برابر با 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه هستند. برابر با مقادیر آنها؛
• اگر > 0 باشد، سپس b>0،معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم را حل کنیم؟

به عنوان مثال، با توجه به وظیفه یافتن پاسخ معادله 10^x=100. بسیار آسان است، شما باید چنین توانی را انتخاب کنید، با بالا بردن عدد ده، ما دریافت 100. این، البته خوب، قدرت درجه دوم! 10^2=100.

حالا اجازه دهید این عبارت را به صورت لگاریتمی نشان دهیم. ما log_{10100=2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً برای یافتن توانی که پایه لگاریتم باید به آن وارد شود تا یک عدد معین به دست آید، همگرا می شوند.}

برای تعیین دقیق مقدار یک مدرک مجهول، باید نحوه کار با جدول درجه را یاد بگیرید. به نظر می رسد:

همانطور که می بینید، اگر ذهنیت فنی و دانشی در مورد جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از شارح ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارند. حتی برای کسانی که در مباحث پیچیده ریاضی اصلاً چیزی نمی فهمند می توانند از آن استفاده کنند. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها مقادیر اعدادی که پاسخ هستند را تعیین می کنند (ac=b). برای مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرایان هم می فهمند!

معادلات و نابرابری

معلوم است که وقتیتحت شرایط خاص، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک معادله لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3⁴=81 را می توان به عنوان لگاریتم 81 تا پایه 3، که چهار است، نوشت (log₃81=4). برای درجات منفی، قوانین یکسان است: 2^-5=1/32 که به صورت لگاریتم نوشته می شود، log_{2 (1/32) دریافت می کنیم)=-5. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، مبحث "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و راه حل های معادلات را کمی پایین تر در نظر خواهیم گرفت. در حال حاضر، بیایید نگاه کنیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.}

عبارت زیر داده می شود: log_{2(x-1) > 3 - این یک نابرابری لگاریتمی است، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم این عبارت همچنین دو مقدار را با هم مقایسه می کند: لگاریتم پایه دو عدد مورد نظر بزرگتر از عدد سه است.}

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثال - لگاریتم₂x=√9) _{دلالت دارد در پاسخ یک یا چند مقدار عددی خاص، در حالی که هنگام حل یک نابرابری، هم محدوده مقادیر قابل قبول و هم نقاط شکست این تابع تعیین می شود. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد مانند پاسخ معادله نیست، بلکه یک سری یا مجموعه اعداد پیوسته است.}

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی برای یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن را ندانید. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام خصوصیات اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه با مثال های معادلات آشنا می شویم، اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری تحلیل کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB=B. فقط در صورتی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد، مساوی یک نباشد، و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان با فرمول زیر نشان داد: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s۲. _{در این صورت شرط واجب عبارت است از: d، s}1 _{و s}2 _{> 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتم ها با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log}a_s1 _=f1 _{و ورود}a_s 2_=f2_{، سپس a}f1^=s1_{، a} f2^=s2. _{می‌گیریم که s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(ویژگی‌های درجه)، و بیشتر طبق تعریف: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=ورود a_{s1 + log}a_s2، _{که قرار بود ثابت شود.}
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log_a(s_1/s₂)=ورود _as₁- ورود_as_2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه به خواص درجات معمولی است، و تعجب آور نیست، زیرا تمام ریاضیات بر فرضیه های منظم استوار است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

Let log_ab=t، ما a^t=b دریافت می کنیم. اگر هر دو طرف را به توان m برسانید: a^tn=b^;

اما چون a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{، بنابراین ورود}aq _bn=(nt)/t، سپس وارد سیستم شوید^a_q b_n=n/q log^ab. قضیه ثابت شد.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

متداول ترین انواع مسائل لگاریتمی مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتابهای مسئله یافت می شوند و همچنین در بخش اجباری امتحانات ریاضی گنجانده شده اند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در آزمون های ورودی ریاضی، باید راه حل صحیح چنین مسائلی را بدانید.

متاسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید به زودی آنها را بشناسیم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی،باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی در پیش داریم: یک مثال از یک عبارت ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از لگاریتم های اعشاری آورده شده است: ln100، ln1026. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که شما باید درجه ای را تعیین کنید که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کرد. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی از انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اصلی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. ویژگی لگاریتم حاصلضرب را می توان در کارهایی که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کرد، استفاده کرد. برای مثال، log₂4 + log₂128=log₂(4128)=گزارش_{2512. پاسخ 9 است.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - همانطور که می بینید، با اعمال چهارمین خاصیت درجه لگاریتم، در نگاه اول موفق به حل شدیم. یک عبارت پیچیده و غیر قابل حل تنها کاری که باید انجام دهید این است که پایه را فاکتور بگیرید و سپس توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.}

تکالیف از آزمون

لگاریتم اغلب در امتحانات ورودی یافت می شود، به خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). معمولاً این وظایف نه تنها در بخش A (بیشترینبخش تست آسان امتحان)، بلکه در قسمت C (سخت ترین و پرحجم ترین کارها). آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث "لگاریتم های طبیعی" دارد.

نمونه ها و راه حل های مشکل از نسخه های رسمی آزمون گرفته شده است. بیایید ببینیم چگونه چنین وظایفی حل می شوند.

با توجه به log₂(2x-1)=4. راه حل:

عبارت را بازنویسی کنید، آن را کمی ساده کنید log_2(2x-1)=22^{، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1=2}4^{، بنابراین 2x=17; x=8، 5.}

پیروی از چند دستورالعمل، که به دنبال آنها می توانید به راحتی تمام معادلات حاوی عبارات زیر علامت لگاریتم را حل کنید.

• بهتر است همه لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهیم تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• همه عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین هنگام ضرب توان عبارتی که زیر علامت لگاریتم و به عنوان پایه آن است، عبارت باقی مانده زیر لگاریتم باید مثبت باشد.