در حال حاضر در مدرسه ابتدایی، دانش آموزان با کسری مواجه می شوند. و سپس در هر موضوعی ظاهر می شوند. فراموش کردن اعمال با این اعداد غیرممکن است. بنابراین، شما باید تمام اطلاعات مربوط به کسرهای معمولی و اعشاری را بدانید. این مفاهیم ساده هستند، نکته اصلی این است که همه چیز را به ترتیب درک کنید.
چرا به کسری نیاز داریم؟
جهان اطراف ما از اشیاء کامل تشکیل شده است. بنابراین نیازی به سهام نیست. اما زندگی روزمره دائماً افراد را وادار می کند تا با بخش هایی از اشیا و اشیا کار کنند.
به عنوان مثال، شکلات از چند برش تشکیل شده است. موقعیتی را در نظر بگیرید که کاشی آن توسط دوازده مستطیل تشکیل شده است. اگر آن را به دو قسمت تقسیم کنید، 6 قسمت به دست می آید. به خوبی به سه تقسیم خواهد شد. اما به پنج عدد نمی توان تعداد کامل شکلات داد.
به هر حال، این برش ها قبلاً کسری هستند. و تقسیم بیشتر آنها منجر به اعداد پیچیده تر می شود.
"کسره" چیست؟
این عددی است که از قسمت های یک تشکیل شده است. از نظر ظاهری، به نظر می رسد که دو عدد از هم جدا شده اندافقی یا بریده بریده به این ویژگی کسری می گویند. عددی که در بالا (سمت چپ) نوشته شده است، شمارنده نامیده می شود. زیر (سمت راست) مخرج است.
در واقع، نوار کسری معلوم می شود که یک علامت تقسیم است. یعنی می توان به صورت تقسیم کننده و مخرج را تقسیم کننده نامید.
چه کسری وجود دارد؟
فقط دو نوع از آنها در ریاضیات وجود دارد: کسرهای معمولی و اعشاری. دانش آموزان در کلاس های ابتدایی با اولین ها آشنا می شوند و آنها را به سادگی "کسری" می نامند. دوم در کلاس پنجم یاد می گیرند. این زمانی است که این نام ها ظاهر می شوند.
کسرهای معمولی - همه آنهایی که به صورت دو عدد که با یک میله از هم جدا شده اند نوشته می شوند. مثلا 4/7. اعشاری عددی است که قسمت کسری آن دارای نماد موقعیتی است و با کاما از عدد صحیح جدا می شود. به عنوان مثال، 4، 7. دانش آموزان باید روشن باشند که دو مثال ارائه شده اعداد کاملا متفاوت هستند.
هر کسر ساده را می توان به صورت اعشاری نوشت. این جمله تقریباً همیشه برعکس نیز صادق است. قوانینی وجود دارد که به شما امکان می دهد کسر اعشاری را به عنوان یک کسر معمولی بنویسید.
این نوع کسرها دارای کدام زیرگروه هستند؟
بهتر است به ترتیب زمانی که در حال مطالعه هستند شروع کنید. کسرهای معمولی اول هستند. در میان آنها، 5 زیرگونه قابل تشخیص است.
- درست. صورت آن همیشه کوچکتر از مخرج است.
- اشتباه. صورتش بزرگتر یا مساوی مخرج است.
- کاهش پذیر/غیرقابل تقلیل. او ممکن است ماننددرست و غلط. یک چیز دیگر مهم است که آیا صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی دارند یا خیر. اگر وجود دارد، پس قرار است هر دو قسمت کسر را تقسیم کنند، یعنی آن را کاهش دهند.
- مخلوط. یک عدد صحیح به قسمت کسری صحیح (نادرست) معمول آن اختصاص داده می شود. و همیشه در سمت چپ می ایستد.
- کامپوزیت. از دو بخش تقسیم شده به یکدیگر تشکیل شده است. یعنی شامل سه ویژگی کسری به طور همزمان است.
کسرهای اعشاری فقط دو نوع فرعی دارند:
- پایانی، یعنی آن که جزء کسری آن محدود است (پایان دارد)؛
- بی نهایت - عددی که ارقام آن پس از نقطه اعشار به پایان نمی رسد (می توان آنها را بی پایان نوشت).
چگونه یک اعشار را به کسری مشترک تبدیل کنیم؟
اگر این یک عدد متناهی است، آنگاه ارتباط بر اساس قانون اعمال می شود - همانطور که می شنوم، بنابراین می نویسم. یعنی باید آن را درست بخوانید و یادداشت کنید، اما بدون کاما، اما با یک خط کسری.
به عنوان یک اشاره در مورد مخرج مورد نیاز، به یاد داشته باشید که همیشه یک و چند صفر است. دومی باید به تعداد ارقام در قسمت کسری عدد مورد نظر نوشته شود.
چگونه کسرهای اعشاری را به اعداد معمولی تبدیل کنیم، در صورتی که تمام قسمت آنها وجود نداشته باشد، یعنی برابر با صفر؟ مثلاً 0.9 یا 0.05. پس از اعمال قانون مشخص شده، معلوم می شود که باید اعداد صحیح صفر بنویسید. اما نشان داده نشده است. باقی مانده است که فقط قسمت های کسری را بنویسیم. در شماره اولمخرج برابر با 10 خواهد بود، دومی 100 خواهد داشت. یعنی نمونه های ذکر شده دارای اعداد به عنوان پاسخ خواهند بود: 9/10، 5/100. علاوه بر این، دومی را می توان با 5 کاهش داد. بنابراین، نتیجه برای آن باید 1/20 نوشته شود.
چگونه یک کسری معمولی از اعشار بسازیم اگر قسمت صحیح آن با صفر متفاوت باشد؟ به عنوان مثال، 5، 23 یا 13، 00108. هر دو مثال قسمت عدد صحیح را می خوانند و مقدار آن را می نویسند. در مورد اول، این 5 است، در مورد دوم - 13. سپس باید به قسمت کسری بروید. با آنها لازم است همان عملیات انجام شود. شماره اول 23/100 ظاهر می شود، دومی - 108/100000. مقدار دوم باید دوباره کاهش یابد. پاسخ کسرهای مختلط است: 5 23/100 و 13 27/25000.
چگونه یک اعشار نامتناهی را به کسری مشترک تبدیل کنیم؟
اگر غیر دوره ای باشد، نمی توان چنین عملیاتی را انجام داد. این واقعیت به این دلیل است که هر کسری اعشاری همیشه به صورت نهایی یا تناوبی تبدیل می شود.
تنها کاری که می توانید با چنین کسری انجام دهید این است که آن را گرد کنید. اما پس از آن اعشار تقریباً برابر با آن بی نهایت خواهد بود. در حال حاضر می توان آن را به یک معمولی تبدیل کرد. اما روند معکوس: تبدیل به اعشاری - هرگز مقدار اولیه را نمی دهد. یعنی کسرهای نامتناهی غیر تناوبی به کسر معمولی تبدیل نمی شوند. این چیزی است که باید به خاطر بسپارید.
چگونه یک کسر تناوبی نامتناهی را به عنوان کسری مشترک بنویسیم؟
در این اعداد بعد از نقطه اعشار همیشه یک یا چند رقم ظاهر می شود که تکرار می شوند. به آنها دوره می گویند. به عنوان مثال، 03 (3). اینجا "3" در دوره. آنها به عنوان منطقی طبقه بندی می شوند زیرا می توانند به کسرهای معمولی تبدیل شوند.
کسانی که با کسرهای تناوبی مواجه شده اند می دانند که می توانند خالص یا مخلوط باشند. در حالت اول، نقطه بلافاصله از کاما شروع می شود. در قسمت دوم، قسمت کسری با هر عددی شروع می شود و سپس تکرار شروع می شود.
قانونی که طبق آن باید یک اعشار نامتناهی را به عنوان کسری معمولی بنویسید برای این دو نوع اعداد متفاوت خواهد بود. نوشتن کسرهای تناوبی خالص به عنوان کسرهای معمولی بسیار آسان است. مانند آخرین ها، آنها باید تبدیل شوند: نقطه را به صورت حساب بنویسید، و عدد 9 مخرج خواهد بود و به تعداد رقم های نقطه تکرار می شود.
برای مثال، 0، (5). عدد یک قسمت صحیح ندارد، بنابراین باید بلافاصله به قسمت کسری بروید. در صورت عدد 5 و در مخرج 9 بنویسید یعنی جواب کسری 5/9 خواهد بود.
قانون نحوه نوشتن یک کسر تناوبی اعشاری معمولی که مخلوط شده است.
- ارقام کسری را تا نقطه شمارش کنید. آنها تعداد صفرها را در مخرج نشان خواهند داد.
- مدت دوره را مشاهده کنید. بسیار 9 مخرج خواهد داشت.
- مخرج را بنویسید: ابتدا 9 و سپس صفر.
- برای تعیین کسر، باید تفاوت دو عدد را یادداشت کنید. تمام ارقام بعد از نقطه اعشار به همراه نقطه کاهش می یابد. قابل تفریق - بدون نقطه است.
به عنوان مثال، 0، 5(8) - کسر اعشاری تناوبی را به عنوان کسری مشترک بنویسید. جزء کسری قبل از دوره استیک رقمی پس صفر یک می شود. همچنین فقط یک رقم در دوره وجود دارد - 8. یعنی فقط یک نه وجود دارد. یعنی در مخرج باید 90 بنویسید.
برای تعیین کسر از 58، باید 5 را کم کنید. نتیجه می شود 53. برای مثال، پاسخ باید 53/90 نوشته شود.
چگونه کسرهای معمولی را به اعشار تبدیل می کنید؟
ساده ترین گزینه عددی است که مخرج آن عدد 10، 100 و غیره باشد. سپس مخرج به سادگی کنار گذاشته می شود و یک کاما بین قسمت های کسری و صحیح قرار می گیرد.
مواقعی وجود دارد که مخرج به راحتی به 10، 100 و غیره تبدیل می شود. مثلاً اعداد 5، 20، 25. کافی است آنها را به ترتیب در 2، 5 و 4 ضرب کنیم. فقط ضرب نه تنها برای مخرج، بلکه برای صورتگر در همان عدد نیز لازم است.
برای همه موارد دیگر، یک قانون ساده مفید است: صورت را بر مخرج تقسیم کنید. در این مورد، ممکن است دو پاسخ دریافت کنید: یک کسر اعشاری نهایی یا تناوبی.
عملکرد با کسرهای مشترک
جمع و تفریق
دانش آموزان قبل از دیگران با آنها آشنا می شوند. و در ابتدا کسرها دارای مخرج یکسان و سپس متفاوت هستند. قوانین کلی را می توان به این طرح کاهش داد.
- کمترین مضرب مشترک مخرج ها را بیابید.
- عوامل اضافی را برای همه کسرهای رایج ثبت کنید.
- صورت و مخرج را در فاکتورهایی که برای آنها تعریف شده ضرب کنید.
- عدد کسرها را جمع کنید (کسر کنید) و مخرج مشترک را بدون رها کنید.تغییرات.
- اگر شماره‌گذار minuend کوچکتر از subtrahend باشد، باید دریابید که آیا یک عدد مختلط داریم یا یک کسری مناسب.
- در حالت اول، قسمت صحیح باید یک باشد. به صورت کسری مخرج اضافه کنید. و سپس تفریق را انجام دهید.
- در دوم - لازم است قانون تفریق از عدد کوچکتر به عدد بزرگتر اعمال شود. یعنی مدول minuend را از مدول subtrahend کم کنید و علامت "-" را در پاسخ قرار دهید.
- به نتیجه جمع (تفریق) با دقت نگاه کنید. اگر کسری نامناسب دریافت کردید، قرار است کل قسمت را انتخاب کنید. یعنی صورت را بر مخرج تقسیم کنید.
ضرب و تقسیم
برای اجرای آنها، کسرها نیازی به کاهش به مخرج مشترک ندارند. این کار باعث می شود که اقدامی آسان تر شود. اما آنها همچنان باید قوانین را رعایت کنند.
- هنگام ضرب کسرهای معمولی، باید اعداد را در صورت و مخرج در نظر گرفت. اگر هر یک از صورت‌ها و مخرج‌ها یک عامل مشترک داشته باشند، می‌توان آنها را کاهش داد.
- ضرب اعداد.
- مخرج را ضرب کنید.
- اگر نتیجه یک کسر کاهش یافته است، پس قرار است دوباره ساده شود.
- هنگام تقسیم، ابتدا باید تقسیم را با ضرب، و مقسوم علیه (کسر دوم) را با یک متقابل جایگزین کنید (کسر و مخرج را عوض کنید).
- سپس مانند ضرب ادامه دهید (از مرحله 1 شروع کنید).
- در کارهایی که باید در یک عدد صحیح ضرب (تقسیم) کنید، آخرینباید به صورت کسر نامناسب نوشته شود. یعنی با مخرج 1. سپس همانطور که در بالا توضیح داده شد ادامه دهید.
عملیات اعشاری
جمع و تفریق
البته، همیشه می توانید اعشار را به کسری مشترک تبدیل کنید. و طبق طرحی که قبلا توضیح داده شده عمل کنید. اما گاهی اوقات راحت تر است که بدون این ترجمه عمل کنید. سپس قوانین جمع و تفریق آنها دقیقاً یکسان خواهد بود.
- تعداد ارقام در قسمت کسری عدد یعنی بعد از نقطه اعشار را برابر کنید. عدد صفرهای از دست رفته را در آن اختصاص دهید.
- کسرها را طوری بنویسید که کاما زیر کاما باشد.
- مانند اعداد طبیعی جمع (تفریق) کنید.
- ویرگول را بردارید.
ضرب و تقسیم
مهم است که صفر را در اینجا اضافه نکنید. قرار است کسرها همانطور که در مثال آورده شده است باقی بمانند. و سپس طبق برنامه پیش بروید.
- برای ضرب، کسرها را یکی زیر دیگری بنویسید، بدون توجه به کاما.
- ضرب مانند اعداد طبیعی.
- در پاسخ یک کاما قرار دهید و از انتهای سمت راست پاسخ به تعداد رقم‌هایی که در قسمت‌های کسری هر دو عامل هستند، بشمارید.
- برای تقسیم، ابتدا باید مقسوم علیه را تبدیل کنید: آن را به یک عدد طبیعی تبدیل کنید. یعنی با توجه به اینکه در قسمت کسری مقسوم علیه چند رقم است، آن را در 10، 100 و غیره ضرب کنید.
- سود تقسیمی را در همان عدد ضرب کنید.
- یک اعشار را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.
- در لحظه ای که تقسیم قسمت صحیح تمام شد، در پاسخ یک کاما قرار دهید.
اگر هر دو نوع کسر در یک مثال وجود داشته باشد چه می شود؟
بله، در ریاضیات اغلب نمونه هایی وجود دارد که در آنها باید عملیاتی را روی کسرهای معمولی و اعشاری انجام دهید. دو راه حل ممکن برای این مشکلات وجود دارد. شما باید به طور عینی اعداد را بسنجید و بهترین را انتخاب کنید.
راه اول: نمایش اعشار معمولی
اگر تقسیم یا تبدیل منجر به کسرهای محدود شود مناسب است. اگر حداقل یک عدد قسمت تناوبی بدهد، این تکنیک ممنوع است. بنابراین، حتی اگر کار با کسرهای معمولی را دوست ندارید، باید آنها را بشمارید.
روش دوم: کسرهای اعشاری را به عنوان کسرهای رایج بنویسید
اگر 1-2 رقم بعد از نقطه اعشار وجود داشته باشد، این تکنیک راحت است. اگر تعداد آنها بیشتر باشد، یک کسر معمولی بسیار بزرگ می تواند ظاهر شود و ورودی های اعشاری به شما امکان می دهد کار را سریع تر و آسان تر محاسبه کنید. بنابراین، همیشه باید با هوشیاری کار را ارزیابی کنید و ساده ترین روش حل را انتخاب کنید.
