پارامترهای خطی معمولی هر هرم طول اضلاع قاعده، ارتفاع، لبه های جانبی و آپوتم های آن است. با این وجود، ویژگی دیگری وجود دارد که با پارامترهای ذکر شده مرتبط است - این زاویه دو وجهی است. در مقاله در نظر بگیرید که چیست و چگونه آن را پیدا کنید.
هرم شکل فضایی
هر دانش آموز با شنیدن کلمه "هرم" تصور خوبی از آنچه در خطر است، دارد. می توان آن را به صورت هندسی به صورت زیر ساخت: یک چند ضلعی خاص را انتخاب کنید، سپس یک نقطه در فضا را ثابت کنید و آن را به هر گوشه چند ضلعی متصل کنید. شکل سه بعدی حاصل، یک هرم از نوع دلخواه خواهد بود. چند ضلعی که آن را تشکیل می دهد قاعده نامیده می شود و نقطه ای که تمام گوشه های آن به آن متصل می شود راس شکل است. شکل زیر به صورت شماتیک یک هرم پنج ضلعی را نشان می دهد.
می توان دید که سطح آن نه تنها توسط یک پنج ضلعی، بلکه توسط پنج مثلث نیز تشکیل شده است. به طور کلی تعداد این مثلث ها برابر با عدد خواهد بوداضلاع یک پایه چند ضلعی.
زوایای دو وجهی شکل
وقتی مسائل هندسی در یک صفحه در نظر گرفته می شوند، هر زاویه ای توسط دو خط مستقیم یا پاره متقاطع تشکیل می شود. در فضا، زوایای دو وجهی به این زوایای خطی اضافه می‌شوند که از تلاقی دو صفحه تشکیل می‌شوند.
اگر تعریف مشخص شده از زاویه در فضا برای شکل مورد نظر اعمال شود، می توان گفت که دو نوع زاویه دو وجهی وجود دارد:
- در قاعده هرم. توسط صفحه پایه و هر یک از وجوه جانبی (مثلث) تشکیل می شود. این بدان معناست که زوایای پایه هرم n است که n تعداد اضلاع چند ضلعی است.
- بین اضلاع (مثلث). تعداد این زوایای دو وجهی نیز n قطعه است.
توجه داشته باشید که نوع اول زوایای در نظر گرفته شده بر روی لبه های پایه و نوع دوم - بر روی لبه های جانبی ساخته شده است.
چگونه زوایای یک هرم را محاسبه کنیم؟
زاویه خطی یک زاویه دو وجهی، معیار دومی است. محاسبه آن آسان نیست، زیرا وجوه هرم، بر خلاف وجه های منشور، در حالت کلی در زوایای قائم تلاقی نمی کنند. قابل اطمینان ترین محاسبه زوایای دو وجهی با استفاده از معادلات صفحه به صورت کلی است.
در فضای سه بعدی، یک صفحه با عبارت زیر به دست می آید:
Ax + By + Cz + D=0
که در آن A، B، C، D برخی از اعداد واقعی هستند. راحتی این معادله این است که سه عدد اول مشخص شده مختصات بردار هستند،که عمود بر صفحه داده شده است، یعنی:
n¯=[A; ب C]
اگر مختصات سه نقطه متعلق به صفحه مشخص باشد، با گرفتن حاصل ضرب برداری دو بردار ساخته شده روی این نقاط، می توان مختصات n¯ را به دست آورد. بردار n¯ راهنمای صفحه نامیده می شود.
طبق تعریف، زاویه دو وجهی که از تقاطع دو صفحه تشکیل می شود برابر با زاویه خطی بین بردارهای جهت آنها است. فرض کنید دو صفحه داریم که بردارهای نرمال آنها برابر است:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
برای محاسبه زاویه φ بین آنها، می توانید از خاصیت محصول اسکالر استفاده کنید، سپس فرمول مربوطه می شود:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
یا به شکل مختصات:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
بیایید نحوه استفاده از روش فوق را برای محاسبه زوایای دو وجهی هنگام حل مسائل هندسی نشان دهیم.
زوایای یک هرم چهار گوش منتظم
فرض کنید یک هرم منظم وجود دارد که در قاعده آن مربعی به ضلع 10 سانتی متر وجود دارد. ارتفاع شکل برابر است با12 سانتی متر. باید محاسبه کرد که زوایای دو وجهی در قاعده هرم و برای اضلاع آن چقدر است.
از آنجایی که شکل داده شده در شرط مسئله صحیح است، یعنی تقارن بالایی دارد، پس همه زوایای قاعده با یکدیگر برابر هستند. زوایای تشکیل شده توسط وجوه جانبی نیز یکسان است. برای محاسبه زوایای دو وجهی مورد نیاز، بردارهای جهت پایه و دو صفحه جانبی را پیدا می کنیم. طول ضلع قاعده را با حرف a و ارتفاع h را نشان دهید.
تصویر بالا یک هرم منظم چهار گوش را نشان می دهد. مختصات نقاط A، B، C و D را مطابق با سیستم مختصات وارد شده بنویسیم:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
اکنون بردارهای جهت صفحات پایه ABC و دو طرف ABD و BCD را مطابق با روشی که در پاراگراف بالا توضیح داده شد پیدا می کنیم:
برای ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
برای ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
برای BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
حالا باقی مانده است که فرمول مناسب را برای زاویه φ اعمال کنیم و مقادیر ضلع و ارتفاع را از بیانیه مشکل جایگزین کنیم:
زاویه بین ABC وABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
زاویه بین ABD و BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81، 49o
مقادیر زوایایی را که باید با شرایط مسئله پیدا شوند محاسبه کردیم. از فرمول های به دست آمده در حل مسئله می توان برای تعیین زوایای دو وجهی اهرام منتظم چهار گوش با هر مقدار a و h استفاده کرد.
زوایای یک هرم منظم مثلثی
شکل زیر هرمی را نشان می دهد که قاعده آن یک مثلث منظم است. مشخص است که زاویه دو وجهی بین اضلاع راست است. اگر مشخص شود که ارتفاع شکل 15 سانتی متر است، باید مساحت پایه را محاسبه کرد.
یک زاویه دو وجهی برابر با 90o در شکل ABC نشان داده شده است. شما می توانید با استفاده از روش فوق مشکل را حل کنید، اما در این صورت ما آن را راحت تر انجام خواهیم داد. بیایید ضلع مثلث a، ارتفاع شکل - h، آپوتما - hb و ضلع را نشان دهیم.دنده - ب. اکنون می توانید فرمول های زیر را بنویسید:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2b
۲+ a۲ /4;
b2=h2 + a2/3
از آنجایی که دو مثلث ضلعی در هرم یکسان هستند، اضلاع AB و CB با هم برابرند و پاهای مثلث ABC هستند. بیایید طول آنها را با x نشان دهیم، سپس:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
برابر کردن مساحت های مثلث های ضلعی و جایگزینی آپوتم به عبارت مربوطه، داریم:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
مساحت مثلث متساوی الاضلاع به صورت زیر محاسبه می شود:
S=√3/4a2=3√3/2h2
مقدار ارتفاع را از شرط مسئله جایگزین کنید، به جواب می رسیم: S=584, 567 cm2.
