چند وجهی نه تنها جایگاه برجسته ای در هندسه به خود اختصاص می دهد، بلکه در زندگی روزمره هر فرد نیز رخ می دهد. ناگفته نماند اقلام خانگی ساخته شده به صورت مصنوعی به شکل چند ضلعی های مختلف، که با جعبه کبریت شروع می شود و با عناصر معماری ختم می شود، کریستال هایی به شکل مکعب (نمک)، منشور (کریستال)، هرم (شیلیت)، هشت وجهی (الماس)، و غیره e.
مفهوم چندوجهی، انواع چندوجهی در هندسه
هندسه به عنوان یک علم شامل بخشی از استریومتری است که ویژگی ها و ویژگی های اشکال سه بعدی را مطالعه می کند. اجسام هندسی که اضلاع آنها در فضای سه بعدی توسط صفحات محدود (چهره ها) تشکیل شده اند «چند وجهی» نامیده می شوند. انواع چند وجهی شامل بیش از دوجین نماینده است که از نظر تعداد و شکل صورت ها متفاوت است.
با این حال، همه چند وجهی دارای ویژگی های مشترک هستند:
- همه آنها 3 جزء ضروری دارند: صورت(سطح یک چند ضلعی)، راس (گوشه های تشکیل شده در محل اتصال وجه ها)، لبه (ضلع یک شکل یا قطعه ای که در محل اتصال دو وجه تشکیل شده است).
- هر لبه چند ضلعی دو و فقط دو وجه را که مجاور یکدیگر هستند به هم متصل می کند.
- تحدب به این معنی است که بدن به طور کامل فقط در یک طرف صفحه ای قرار دارد که یکی از صورت ها روی آن قرار دارد. این قانون در مورد تمام وجوه چند وجهی صدق می کند. چنین اشکال هندسی در استریومتری چند وجهی محدب نامیده می شود. استثنا چندوجهی ستاره‌ای شکل است که مشتقات جامدات هندسی چندوجهی منظم است.
Polyhedra را می توان به طور مشروط به:
تقسیم کرد
- انواع چندوجهی محدب، متشکل از طبقات زیر: معمولی یا کلاسیک (منشور، هرم، موازی)، منظم (همچنین جامدات افلاطونی نامیده می شود)، نیمه منظم (نام دوم - جامدات ارشمیدسی).
- چند وجهی غیر محدب (ستاره‌ای شکل).
منشور و خواص آن
کلیشه‌سنجی به عنوان شاخه‌ای از هندسه به بررسی خواص اشکال سه‌بعدی، انواع چندوجهی می‌پردازد (یکی از آنها منشور است). منشور یک جسم هندسی است که لزوماً دارای دو وجه کاملاً یکسان (به آنها پایه نیز گفته می شود) در صفحات موازی و تعداد n ام وجه های جانبی به صورت متوازی الاضلاع است. به نوبه خود، منشور نیز انواع مختلفی دارد، از جمله انواع چند وجهی مانند:
- موازی شکل - اگر قاعده متوازی الاضلاع باشد تشکیل می شود -چند ضلعی با 2 جفت زاویه متضاد برابر و 2 جفت ضلع متضاد متجانس.
- یک منشور مستقیم دارای لبه هایی عمود بر قاعده است.
- منشور کج شده با وجود زوایای غیر راست (غیر از ۹۰) بین وجه ها و پایه مشخص می شود.
- یک منشور منظم با پایه هایی به شکل یک چندضلعی منتظم با وجوه جانبی مساوی مشخص می شود.
خواص اساسی یک منشور:
- پایه های متجانس.
- همه لبه های منشور برابر و موازی با یکدیگر هستند.
- همه وجه های جانبی متوازی الاضلاع هستند.
هرم
هرم یک جسم هندسی است که از یک قاعده و n-امین وجه مثلثی تشکیل شده است که در یک نقطه - بالا - به هم متصل شده اند. لازم به ذکر است که اگر وجوه جانبی هرم لزوماً با مثلث نشان داده شوند، قاعده می تواند یک چند ضلعی مثلثی، یا یک چهار ضلعی، یا یک پنج ضلعی، و غیره تا بی نهایت باشد. در این حالت، نام هرم با چند ضلعی در قاعده مطابقت دارد. به عنوان مثال، اگر مثلثی در قاعده یک هرم قرار داشته باشد، آن یک هرم مثلثی است، یک چهار ضلعی چهار گوش است، و غیره.
اهرام چندوجهی مخروطی مانند هستند. انواع چندوجهی این گروه، علاوه بر موارد ذکر شده در بالا، شامل نمایندگان زیر نیز می شود:
- یک هرم منتظم دارای یک چندضلعی منتظم در قاعده خود است و ارتفاع آن به مرکز آن کشیده شده است.دایره ای که در پایه حک شده یا دور آن محصور شده است.
- یک هرم مستطیل شکل زمانی تشکیل می شود که یکی از لبه های جانبی با قاعده با زاویه قائمه قطع شود. در این مورد، عادلانه است که این لبه را ارتفاع هرم بنامیم.
ویژگی های هرم:
- اگر تمام لبه های کناری هرم متجانس (با یک ارتفاع) باشند، همه آنها با یک زاویه با قاعده تلاقی می کنند و در اطراف قاعده می توانید دایره ای با مرکز منطبق با برآمدگی ترسیم کنید. بالای هرم.
- اگر قاعده هرم یک چند ضلعی منتظم باشد، تمام لبه های کناری همخوان هستند و وجه ها مثلث متساوی الساقین هستند.
چند وجهی منظم: انواع و خواص چندوجهی
در استریومتری جایگاه ویژه ای را اجسام هندسی با وجوه کاملاً مساوی اشغال می کنند که در رئوس آنها به تعداد لبه های یکسانی به هم متصل شده اند. این جامدات جامدات افلاطونی یا چندوجهی منظم نامیده می شوند. انواع چند وجهی با چنین خصوصیاتی فقط پنج شکل دارند:
- Ttrahedron.
- هگزادرون.
- هشت وجهی.
- دوده وجهی.
- Icosahedron.
چند وجهی منظم نام خود را مدیون افلاطون فیلسوف یونان باستان است که این اجسام هندسی را در نوشته های خود توصیف کرده و آنها را با عناصر طبیعی: زمین، آب، آتش، هوا مرتبط کرده است. شکل پنجم شباهت با ساختار جهان را دریافت کرد. به نظر او، اتم های عناصر طبیعی از نظر شکل شبیه به انواع چندوجهی منظم است. به دلیل هیجان انگیزترین خاصیت آن -از نظر تقارن، این اجسام هندسی نه تنها برای ریاضیدانان و فیلسوفان باستان، بلکه برای معماران، هنرمندان و مجسمه‌سازان همه زمان‌ها نیز مورد توجه بودند. وجود تنها 5 نوع چندوجهی با تقارن مطلق یک کشف اساسی تلقی می شد، حتی به آنها ارتباطی با اصل الهی داده شد.
هگزادرون و خواص آن
جانشینان افلاطون به شکل شش ضلعی شباهتی با ساختار اتم های زمین فرض کردند. البته در حال حاضر این فرضیه کاملاً رد شده است که البته مانع از آن نمی شود که چهره ها با زیبایی شناسی خود در دوران معاصر نظر چهره های مشهور را به خود جلب کنند.
در هندسه، شش وجهی، که به آن مکعب نیز می گویند، حالت خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شود که به نوبه خود، نوعی منشور است. بر این اساس، خواص مکعب مربوط به خواص منشور است، تنها با این تفاوت که تمام وجوه و گوشه های مکعب با یکدیگر برابر هستند. ویژگی های زیر از این نتیجه می گیرند:
- همه لبه های مکعب همخوان هستند و نسبت به یکدیگر در صفحات موازی قرار دارند.
- همه وجه ها مربع های متجانس هستند (مجموعاً ۶ عدد در یک مکعب وجود دارد) که هر کدام را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت.
- همه زوایای رابط 90 هستند.
- از هر رأس تعداد مساوی یال بیرون می آید، یعنی 3.
- مکعب دارای 9 محور تقارن است که همگی در نقطه تلاقی قطرهای شش ضلعی که مرکز تقارن نامیده می شود قطع می شوند.
Ttrahedron
چهاروجهی چهاروجهی است با وجوه مساوی به شکل مثلث هایی که هر یک از رئوس آننقطه اتصال سه وجه است.
خواص چهاروجهی منظم:
- همه وجوه یک چهار وجهی مثلث متساوی الاضلاع هستند، به این معنی که همه وجوه یک چهار وجهی همسو هستند.
- از آنجایی که قاعده با یک شکل هندسی منظم نشان داده می شود، یعنی دارای اضلاع مساوی است، وجوه چهار وجهی در یک زاویه همگرا می شوند، یعنی همه زوایا مساوی هستند.
- مجموع زوایای مسطح در هر یک از رئوس 180 است، زیرا همه زوایا با هم برابرند، پس هر زاویه از چهار وجهی منتظم 60 است.
- هر یک از رئوس به نقطه تقاطع ارتفاعات وجه مخالف (مرکز) پیش بینی می شود.
هشت وجهی و خواص آن
در توصیف انواع چند وجهی منظم، نمی توان به جسمی مانند هشت ضلعی اشاره کرد که می تواند به صورت بصری به صورت دو هرم منظم چهار گوش که توسط پایه ها به هم چسبیده اند نشان داده شود.
خواص هشت وجهی:
- همین نام یک جسم هندسی نشان دهنده تعداد چهره های آن است. هشت وجهی متشکل از 8 مثلث متساوی الاضلاع متساوی الاضلاع است که در هر یک از رئوس آنها به تعداد مساوی از وجوه همگرا می شوند، یعنی 4.
- از آنجایی که تمام وجوه یک هشت وجهی با هم برابر است، زوایای واسط آن نیز برابر است، که هر کدام برابر است با 60، و مجموع زوایای صفحه هر یک از راس ها 240 است.
دوده وجهی
اگر تصور کنیم که تمام وجوه یک جسم هندسی یک پنج ضلعی منتظم هستند، یک دوازده وجهی به دست می آید -شکلی از 12 چند ضلعی.
خواص دوازده وجهی:
- سه وجه در هر راس قطع می شوند.
- همه وجوه مساوی هستند و طول لبه و مساحت برابر دارند.
- دوازده وجهی دارای 15 محور و صفحه تقارن است و هر یک از آنها از راس صورت و وسط لبه مقابل عبور می کند.
Icosahedron
جالب نیست کمتر از دوازده وجهی، شکل ایکو وجهی یک جسم هندسی سه بعدی با 20 وجه مساوی است. از خواص یک بیست وجهی منظم می توان به موارد زیر اشاره کرد:
- همه وجه های ایکوساهدرون مثلث متساوی الساقین هستند.
- پنج وجه در هر رأس چند وجهی همگرا می شوند و مجموع زوایای مجاور راس 300 است.
- ایکوز وجهی، مانند دوازده وجهی، دارای 15 محور و صفحه تقارن است که از نقاط میانی وجوه مخالف می گذرد.
چند ضلعی های نیمه منظم
علاوه بر جامدات افلاطونی، گروه چندوجهی محدب شامل جامدات ارشمیدسی نیز می شود که چندوجهی منظم کوتاه شده هستند. انواع چند وجهی این گروه دارای ویژگی های زیر هستند:
- اجسام هندسی دارای وجوه مساوی دو به دو از چندین نوع هستند، برای مثال، یک چهار وجهی ناقص مانند یک چهار وجهی منظم دارای ۸ وجه است، اما در مورد یک جامد ارشمیدسی، ۴ وجه مثلثی و ۴ وجه شش ضلعی خواهد بود.
- همه زوایای یک راس همخوان هستند.
چند وجهی ستاره
نمایندگان انواع غیرحجمی اجسام هندسی چند وجهی ستاره‌ای هستند که چهره‌های آنها یکدیگر را قطع می‌کنند. آنها را می توان با ادغام دو جامد سه بعدی معمولی یا با گسترش چهره آنها تشکیل داد.
بنابراین، چنین چند وجهی ستاره‌ای به نام‌های زیر شناخته می‌شوند: شکل‌های ستاره‌ای هشت‌وجهی، دوازده‌وجهی، ایکوسا وجهی، مکعبی، ایکوزودودک‌هدرون.
