سیستم مکانیکی که از یک نقطه (جسم) مادی تشکیل شده است که در یک میدان گرانش یکنواخت بر روی یک نخ بی وزن (جرم آن در مقایسه با وزن بدن ناچیز است) آویزان شده است، آونگ ریاضی نامیده می شود (نام دیگر یک نوسانگر). انواع دیگری از این دستگاه وجود دارد. به جای نخ می توان از میله بدون وزن استفاده کرد. یک آونگ ریاضی می تواند به وضوح ماهیت بسیاری از پدیده های جالب را آشکار کند. با دامنه کمی نوسان، حرکت آن هارمونیک نامیده می شود.
نمای کلی سیستم مکانیکی
فرمول دوره نوسان این آونگ توسط دانشمند هلندی هویگنس (1629-1695) به دست آمد. این هم عصر آی نیوتن به این سیستم مکانیکی علاقه زیادی داشت. در سال 1656 او اولین ساعت آونگی را ساخت. آنها زمان را با موارد استثنایی اندازه گرفتندبرای آن زمان دقت این اختراع به نقطه عطفی در توسعه آزمایشات فیزیکی و فعالیت های عملی تبدیل شده است.
اگر آونگ در حالت تعادل باشد (به صورت عمودی آویزان شود)، نیروی گرانش با نیروی کشش نخ متعادل می شود. آونگ مسطح روی یک نخ غیر قابل امتداد، سیستمی با دو درجه آزادی با اتصال است. وقتی فقط یک جزء را تغییر می دهید، ویژگی های تمام قطعات آن تغییر می کند. بنابراین، اگر نخ با یک میله جایگزین شود، این سیستم مکانیکی تنها 1 درجه آزادی خواهد داشت. ویژگی های آونگ ریاضی چیست؟ در این ساده ترین سیستم، هرج و مرج تحت تأثیر یک آشفتگی دوره ای به وجود می آید. در حالتی که نقطه تعلیق حرکت نمی کند، اما نوسان می کند، آونگ موقعیت تعادل جدیدی پیدا می کند. با نوسانات سریع بالا و پایین، این سیستم مکانیکی یک موقعیت وارونه پایدار به دست می آورد. او همچنین نام خود را دارد. به آن آونگ کاپیتزا می گویند.
خواص آونگ
آونگ ریاضی خواص بسیار جالبی دارد. همه آنها توسط قوانین فیزیکی شناخته شده تایید شده اند. دوره نوسان هر آونگ دیگری به شرایط مختلفی از جمله اندازه و شکل بدنه، فاصله بین نقطه تعلیق و مرکز ثقل، توزیع جرم نسبت به این نقطه بستگی دارد. به همین دلیل است که تعیین دوره یک بدن آویزان کار نسبتاً دشواری است. محاسبه دوره یک آونگ ریاضی که فرمول آن در زیر آورده خواهد شد بسیار ساده تر است. در نتیجه مشاهدات مشابهسیستم های مکانیکی می توانند الگوهای زیر را ایجاد کنند:
• اگر با حفظ طول یکسان آونگ، وزن های مختلفی را آویزان کنیم، دوره نوسان آنها یکسان خواهد بود، اگرچه جرم آنها بسیار متفاوت است. بنابراین، دوره چنین آونگی به جرم بار بستگی ندارد.
• هنگام راه اندازی سیستم، اگر آونگ با زوایای نه خیلی بزرگ، اما متفاوت منحرف شود، با همان دوره، اما با دامنه های مختلف شروع به نوسان می کند. تا زمانی که انحراف از مرکز تعادل خیلی زیاد نباشد، نوسانات در شکل آنها کاملاً به نوسانات هارمونیک نزدیک خواهد بود. دوره چنین آونگی به هیچ وجه به دامنه نوسان بستگی ندارد. این خاصیت این سیستم مکانیکی ایزوکرونیزم نامیده می شود (ترجمه شده از یونانی "chronos" - زمان، "isos" - برابر).
دوره آونگ ریاضی
این نشانگر دوره نوسانات طبیعی را نشان می دهد. با وجود جمله بندی پیچیده، این فرآیند به خودی خود بسیار ساده است. اگر طول نخ یک آونگ ریاضی L و شتاب سقوط آزاد g باشد، این مقدار برابر است با:
T=2π√L/g
دوره نوسانات طبیعی کوچک به هیچ وجه به جرم آونگ و دامنه نوسانات بستگی ندارد. در این حالت، آونگ مانند یک آونگ ریاضی با طول کاهش یافته حرکت می کند.
تابهای آونگ ریاضی
یک آونگ ریاضی نوسان می کند که می توان آن را با یک معادله دیفرانسیل ساده توصیف کرد:
x + ω2 sin x=0،
که در آن x (t) یک تابع مجهول است (این زاویه انحراف از پایین است.موقعیت تعادل در زمان t، بیان شده در رادیان)؛ ω یک ثابت مثبت است که از پارامترهای آونگ تعیین می شود (ω=√g/L، که g شتاب سقوط آزاد و L طول آونگ ریاضی (تعلیق) است.
معادله نوسانات کوچک نزدیک به موقعیت تعادل (معادله هارمونیک) به این صورت است:
x + ω2 sin x=0
حرکات نوسانی آونگ
یک آونگ ریاضی که نوسانات کوچکی ایجاد می کند در امتداد یک سینوسی حرکت می کند. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تمام الزامات و پارامترهای چنین حرکتی را برآورده می کند. برای تعیین مسیر، باید سرعت و مختصات را مشخص کنید، که سپس ثابت های مستقل از آن تعیین می شوند:
x=یک گناه (θ0 + ωt)،
که θ0 فاز اولیه است، A دامنه نوسان است، ω فرکانس چرخه ای است که از معادله حرکت تعیین می شود.
آونگ ریاضی (فرمول‌هایی برای دامنه‌های بزرگ)
این سیستم مکانیکی که نوسانات خود را با دامنه قابل توجهی انجام می دهد، از قوانین پیچیده تری حرکت پیروی می کند. برای چنین آونگی، آنها با فرمول محاسبه می شوند:
sin x/2=usn(ωt/u)،
که در آن sn سینوس ژاکوبی است، که برای u < 1 یک تابع تناوبی است، و برای u کوچک با یک سینوس مثلثاتی ساده منطبق است. مقدار u با عبارت زیر تعیین می شود:
u=(ε + ω2)/2ω2،
جایی که ε=E/mL2 (mL2 انرژی آونگ است).
تعیین دوره نوسان یک آونگ غیر خطیطبق فرمول انجام شد:
T=2π/Ω،
که در آن Ω=π/2ω/2K(u)، K انتگرال بیضوی است، π - 3، 14.
حرکت آونگ در امتداد جدایی
جدایی مسیر یک سیستم دینامیکی با فضای فاز دو بعدی است. آونگ ریاضی به صورت غیر تناوبی در امتداد آن حرکت می کند. در یک لحظه بی نهایت دور از زمان، از موقعیت فوقانی فوقانی با سرعت صفر به پهلو می افتد، سپس به تدریج آن را بلند می کند. در نهایت متوقف می شود و به موقعیت اولیه خود باز می گردد.
اگر دامنه نوسانات آونگ به عدد π نزدیک شود، این نشان می دهد که حرکت در صفحه فاز به جدایی نزدیک می شود. در این حالت، تحت تأثیر یک نیروی دوره‌ای محرکه کوچک، سیستم مکانیکی رفتار آشفته‌ای از خود نشان می‌دهد.
هنگامی که آونگ ریاضی از موقعیت تعادل با زاویه φ مشخصی منحرف می شود، نیروی مماس گرانش Fτ=–mg sin φ ایجاد می شود. علامت منفی به این معنی است که این جزء مماسی در جهت مخالف انحراف آونگ هدایت می شود. هنگامی که جابجایی آونگ در امتداد قوس دایره ای با شعاع L با x نشان داده شود، جابجایی زاویه ای آن برابر با φ=x/L است. قانون دوم اسحاق نیوتن که برای پیش بینی بردار شتاب و نیرو طراحی شده است، مقدار مورد نظر را می دهد:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
بر اساس این نسبت، واضح است که این آونگ یک سیستم غیر خطی است، زیرا نیرویی که به دنبال بازگشت است.آن با موقعیت تعادل، همیشه نه با جابجایی x، بلکه با sin x/L متناسب است.
تنها زمانی که آونگ ریاضی نوسانات کوچکی ایجاد می کند، نوسانگر هارمونیک است. به عبارت دیگر، به یک سیستم مکانیکی تبدیل می شود که قادر به انجام ارتعاشات هارمونیک است. این تقریب عملاً برای زوایای 15 تا 20 درجه معتبر است. نوسانات آونگ با دامنه های بزرگ هارمونیک نیستند.
قانون نیوتن برای نوسانات کوچک آونگ
اگر این سیستم مکانیکی ارتعاشات کوچکی انجام دهد، قانون دوم نیوتن به این شکل خواهد بود:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
بر این اساس می توان نتیجه گرفت که شتاب مماسی آونگ ریاضی متناسب با جابجایی آن با علامت منفی است. این شرایطی است که به دلیل آن سیستم به یک نوسان ساز هارمونیک تبدیل می شود. مدول بهره متناسب بین جابجایی و شتاب برابر است با مجذور فرکانس دایره ای:
ω02=g/L; ω0=√ گرم در لیتر.
این فرمول منعکس کننده فرکانس طبیعی نوسانات کوچک این نوع آونگ است. بر این اساس،
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
محاسبات بر اساس قانون بقای انرژی
خواص حرکات نوسانی آونگ را می توان با استفاده از قانون بقای انرژی نیز توصیف کرد. در این حالت باید در نظر گرفت که انرژی پتانسیل آونگ در میدان گرانشی برابر است با:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
انرژی مکانیکی کلبرابر است با پتانسیل جنبشی یا حداکثر: Epmax=Ekmsx=E
بعد از نوشتن قانون بقای انرژی، مشتق سمت راست و چپ معادله را بگیرید:
Ep + Ek=Const
از آنجایی که مشتق مقادیر ثابت 0 است، پس (Ep + Ek)'=0. مشتق مجموع برابر است با مجموع مشتقات:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α،
از این رو:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
بر اساس آخرین فرمول، دریافتیم: α=- g/Lx.
کاربرد عملی آونگ ریاضی
شتاب سقوط آزاد با عرض جغرافیایی متفاوت است، زیرا چگالی پوسته زمین در سراسر سیاره یکسان نیست. در جایی که سنگ‌هایی با چگالی بالاتر رخ می‌دهند، تا حدودی بیشتر خواهد بود. شتاب یک آونگ ریاضی اغلب برای اکتشافات زمین شناسی استفاده می شود. برای جستجوی مواد معدنی مختلف استفاده می شود. به سادگی با شمارش تعداد نوسانات آونگ، می توانید زغال سنگ یا سنگ معدن را در روده های زمین پیدا کنید. این به این دلیل است که چنین فسیل‌هایی چگالی و جرمی بیشتر از سنگ‌های سست زیر آنها دارند.
آونگ ریاضی توسط دانشمندان برجسته ای مانند سقراط، ارسطو، افلاطون، پلوتارک، ارشمیدس استفاده می شد. بسیاری از آنها معتقد بودند که این سیستم مکانیکی می تواند بر سرنوشت و زندگی یک فرد تأثیر بگذارد. ارشمیدس در محاسبات خود از یک آونگ ریاضی استفاده کرد. امروزه بسیاری از غیبت شناسان و روانشناساناز این سیستم مکانیکی برای تحقق پیشگویی های خود یا جستجوی افراد گمشده استفاده کنید.
ستاره شناس و طبیعت شناس مشهور فرانسوی K. Flammarion نیز از یک آونگ ریاضی برای تحقیقات خود استفاده کرد. او ادعا کرد که با کمک او توانسته است کشف یک سیاره جدید، پیدایش شهاب سنگ Tunguska و رویدادهای مهم دیگر را پیش بینی کند. در طول جنگ جهانی دوم در آلمان (برلین) یک موسسه تخصصی آونگ کار می کرد. امروزه مؤسسه فراروانشناسی مونیخ به تحقیقات مشابهی مشغول است. کارمندان این موسسه به کار خود با آونگ «رادیس‌تزیا» می‌گویند.
