چرخش اجسام یکی از انواع مهم حرکت مکانیکی در تکنولوژی و طبیعت است. برخلاف حرکت خطی، با مجموعه ای از ویژگی های سینماتیکی خود توصیف می شود. یکی از آنها شتاب زاویه ای است. ما این مقدار را در مقاله مشخص می کنیم.
حرکت چرخشی
قبل از صحبت در مورد شتاب زاویه ای، بیایید نوع حرکتی که برای آن اعمال می شود را شرح دهیم. ما در مورد چرخش صحبت می کنیم که حرکت اجسام در مسیرهای دایره ای است. برای اینکه چرخش رخ دهد، شرایط خاصی باید رعایت شود:
- وجود یک محور یا نقطه چرخش؛
- وجود یک نیروی مرکزگرا که بدن را در مدار دایره ای نگه می دارد.
نمونه هایی از این نوع حرکت جاذبه های مختلف مانند چرخ فلک است. در مهندسی، چرخش خود را در حرکت چرخ ها و شفت ها نشان می دهد. در طبیعت، بارزترین مثال از این نوع حرکت، چرخش سیارات حول محور خود و به دور خورشید است. نقش نیروی مرکزگرا در این نمونه ها توسط نیروهای برهمکنش بین اتمی در جامدات و نیروی گرانشی ایفا می شود.تعامل.
ویژگی های سینماتیکی چرخش
این ویژگی ها شامل سه کمیت است: شتاب زاویه ای، سرعت زاویه ای و زاویه چرخش. آنها را به ترتیب با نمادهای یونانی α، ω و θ نشان خواهیم داد.
از آنجایی که بدن به صورت دایره ای حرکت می کند، محاسبه زاویه θ که در زمان معینی می چرخد راحت است. این زاویه بر حسب رادیان (به ندرت بر حسب درجه) بیان می شود. از آنجایی که دایره 2 × پی رادیان دارد، می توانیم معادله ای بنویسیم که θ را به طول قوس L چرخش مربوط می کند:
L=θ × r
جایی که r شعاع چرخش است. اگر عبارت مربوطه را برای محیط به خاطر بسپارید، این فرمول آسان است.
سرعت زاویه ای ω مانند همتای خطی خود، سرعت چرخش حول محور را توصیف می کند، یعنی با توجه به عبارت زیر تعیین می شود:
ω¯=d θ / d t
کمیت ω¯ یک مقدار برداری است. در امتداد محور چرخش هدایت می شود. واحد آن رادیان در ثانیه (rad/s) است.
در نهایت، شتاب زاویه ای یک مشخصه فیزیکی است که میزان تغییر مقدار ω¯ را تعیین می کند، که از نظر ریاضی به صورت زیر نوشته می شود:
α¯=d ω¯/ d t
بردار α¯ به سمت تغییر بردار سرعت ω¯ هدایت می شود. در ادامه گفته خواهد شد که شتاب زاویه ای به سمت بردار لحظه نیرو هدایت می شود. این مقدار با رادیان اندازه گیری می شود.دوم مربع (راد/ثانیه2).
لحظه نیرو و شتاب
اگر قانون نیوتن را به یاد بیاوریم که نیرو و شتاب خطی را به یک برابری منفرد متصل می کند، با انتقال این قانون به حالت چرخش، می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:
M¯=I × α¯
در اینجا M¯ ممان نیرو است، که حاصل ضرب نیرویی است که تمایل به چرخش سیستم در برابر اهرم دارد - فاصله از نقطه اعمال نیرو تا محور. مقدار I مشابه جرم جسم است و ممان اینرسی نامیده می شود. فرمول نوشته شده را معادله لحظه ها می نامند. از آن، شتاب زاویه ای را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
α¯=M¯/ I
از آنجایی که I یک اسکالر است، α¯ همیشه به سمت لحظه عملی نیروی M¯ هدایت می شود. جهت M¯ توسط قانون دست راست یا قاعده جیملت تعیین می شود. بردارهای M¯ و α¯ عمود بر صفحه چرخش هستند. هر چه ممان اینرسی بدن بیشتر باشد، مقدار شتاب زاویه ای که ممان ثابت M¯ می تواند به سیستم بدهد، کمتر می شود.
معادلات سینماتیک
برای درک نقش مهمی که شتاب زاویه ای در توصیف حرکت چرخش ایفا می کند، اجازه دهید فرمول های مرتبط با کمیت های سینماتیکی مورد مطالعه در بالا را بنویسیم.
در مورد چرخش با شتاب یکنواخت، روابط ریاضی زیر معتبر است:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
فرمول اول نشان می دهد که زاویه ایسرعت طبق یک قانون خطی در زمان افزایش می یابد. عبارت دوم به شما امکان می دهد زاویه چرخش بدن را در زمان مشخص t محاسبه کنید. نمودار تابع θ(t) سهمی است. در هر دو مورد، شتاب زاویه ای ثابت است.
اگر از فرمول رابطه بین L و θ استفاده کنیم که در ابتدای مقاله ارائه شده است، می توانیم عبارتی برای α بر حسب شتاب خطی بدست آوریم:
α=a / r
اگر α ثابت باشد، با افزایش فاصله از محور چرخش r، شتاب خطی a به نسبت افزایش می یابد. به همین دلیل است که از ویژگی های زاویه ای برای چرخش استفاده می شود، برخلاف خطی، با افزایش یا کاهش r تغییر نمی کنند.
مشکل مثال
شفت فلزی که با فرکانس 2000 دور در ثانیه می چرخد، شروع به کند شدن کرد و پس از 1 دقیقه کاملاً متوقف شد. باید محاسبه کرد که روند کاهش سرعت شفت با چه شتاب زاویه ای انجام شده است. همچنین باید تعداد دورهایی را که شفت قبل از توقف انجام داده است محاسبه کنید.
فرایند کاهش سرعت چرخش با عبارت زیر توصیف می شود:
ω=ω0- α × t
سرعت زاویه ای اولیه ω0 از فرکانس چرخش f به شرح زیر تعیین می شود:
ω0=2 × pi × f
از آنجایی که زمان کاهش سرعت را می دانیم، پس مقدار شتاب α را دریافت می کنیم:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209.33 راد/ثانیه2
این عدد باید با علامت منفی گرفته شود،زیرا ما در مورد کاهش سرعت سیستم صحبت می کنیم، نه افزایش سرعت آن.
برای تعیین تعداد دورهایی که شفت در هنگام ترمز انجام می دهد، عبارت:
را اعمال کنید.
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 راد.
مقدار بدست آمده از زاویه چرخش θ بر حسب رادیان به سادگی به تعداد دورهای انجام شده توسط شفت قبل از توقف کامل با استفاده از یک تقسیم ساده بر 2 × پی تبدیل می شود:
n=θ / (2 × پی)=60001 چرخش.
بنابراین، همه پاسخ‌های سؤالات مسئله را دریافت کردیم: α=-209، 33 راد در ثانیه2، n=60001 دور.
