مطالعه نظریه احتمال با حل مسائل جمع و ضرب احتمالات آغاز می شود. شایان ذکر است که دانش آموز هنگام تسلط بر این زمینه دانش، ممکن است با مشکلی مواجه شود: اگر بتوان فرآیندهای فیزیکی یا شیمیایی را به صورت بصری و تجربی درک کرد، سطح انتزاع ریاضی بسیار بالا است و درک در اینجا فقط با تجربه.
با این حال، این بازی ارزش شمع را دارد، زیرا فرمول ها - هم در این مقاله و هم موارد پیچیده تر - امروزه در همه جا استفاده می شوند و ممکن است در کار مفید باشند.
منشا
به اندازه کافی عجیب، انگیزه توسعه این بخش از ریاضیات … قمار بود. در واقع، تاس، پرتاب سکه، پوکر، رولت نمونه های معمولی هستند که از جمع و ضرب احتمالات استفاده می کنند. در مثال وظایف در هر کتاب درسی، این را می توان به وضوح مشاهده کرد. مردم علاقه مند بودند یاد بگیرند که چگونه شانس خود را برای برنده شدن افزایش دهند، و باید بگویم، برخی در این امر موفق شدند.
برای مثال، در قرن بیست و یکم، یک نفر که نامش را فاش نمی کنیم،از این دانش انباشته شده در طول قرن ها برای "پاکسازی" واقعی کازینو استفاده کرد و چندین ده میلیون دلار در بازی رولت به دست آورد.
با این حال، علیرغم افزایش علاقه به این موضوع، تا قرن بیستم چارچوب نظری ایجاد نشد که "theorver" را به یک جزء کامل از ریاضیات تبدیل کرد. امروزه، تقریباً در هر علمی، می‌توانید محاسبات را با استفاده از روش‌های احتمالی بیابید.
قابلیت کاربردی
نکته مهم در هنگام استفاده از فرمول های جمع و ضرب احتمالات، احتمال شرطی، ارضای قضیه حد مرکزی است. در غیر این صورت، اگرچه ممکن است دانش آموز متوجه نشود، اما همه محاسبات، صرف نظر از اینکه چقدر معقول به نظر می رسند، نادرست خواهند بود.
بله، یادگیرنده با انگیزه بالا وسوسه می شود که در هر فرصتی از دانش جدید استفاده کند. اما در این مورد، باید کمی سرعت را کاهش داد و به طور دقیق دامنه کاربرد را مشخص کرد.
تئوری احتمال با رویدادهای تصادفی سروکار دارد، که از نظر تجربی نتایج آزمایش‌ها هستند: می‌توانیم یک قالب شش وجهی بچرخانیم، یک کارت از یک عرشه بکشیم، تعداد قطعات معیوب را در یک دسته پیش‌بینی کنیم. با این حال، در برخی از سؤالات، استفاده از فرمول های این بخش از ریاضیات مطلقاً غیرممکن است. ویژگی های در نظر گرفتن احتمالات یک رویداد، قضایای جمع و ضرب رویدادها را در پایان مقاله مورد بحث قرار خواهیم داد، اما فعلا به مثال ها می پردازیم.
مفاهیم اساسی
رویداد تصادفی به معنای فرآیند یا نتیجه ای است که ممکن است ظاهر شود یا نباشددر نتیجه آزمایش به عنوان مثال، ما یک ساندویچ را پرت می کنیم - می تواند کره به بالا یا کره پایین بیفتد. هر یک از این دو نتیجه تصادفی خواهد بود و ما از قبل نمی دانیم کدام یک از آنها اتفاق می افتد.
هنگام مطالعه جمع و ضرب احتمالات، به دو مفهوم دیگر نیاز داریم.
رویدادهای مشترک به حوادثی گفته می شود که وقوع یکی از آنها مانع وقوع دیگری نمی شود. فرض کنید دو نفر همزمان به یک هدف شلیک کنند. اگر یکی از آنها شلیک موفقیت آمیزی بزند، بر توانایی دیگری برای ضربه زدن یا از دست دادن تأثیری نمی گذارد.
ناسازگاری چنین وقایعی خواهد بود که وقوع آنها به طور همزمان غیرممکن است. برای مثال، با بیرون کشیدن تنها یک توپ از جعبه، نمی‌توانید همزمان آبی و قرمز را دریافت کنید.
تعیین
مفهوم احتمال با حرف بزرگ لاتین P نشان داده می شود. بعد در داخل پرانتز آرگومان هایی هستند که نشان دهنده برخی رویدادها هستند.
در فرمول های قضیه جمع، احتمال شرطی، قضیه ضرب، عباراتی را در داخل پرانتز می بینید، به عنوان مثال: A+B، AB یا A|B. آنها به روش های مختلف محاسبه می شوند، اکنون به آنها می پردازیم.
افزودن
بیایید مواردی را در نظر بگیریم که از فرمول های جمع و ضرب استفاده می شود.
برای رویدادهای ناسازگار، ساده ترین فرمول جمع مرتبط است: احتمال هر یک از نتایج تصادفی برابر با مجموع احتمالات هر یک از این نتایج خواهد بود.
فرض کنید جعبه ای با 2 بادکنک آبی، 3 قرمز و 5 بادکنک زرد وجود دارد. در مجموع 10 مورد در جعبه وجود دارد. این جمله که توپ آبی یا قرمز می کشیم چند درصد است؟ برابر با 2/10 + 3/10، یعنی پنجاه درصد خواهد بود.
در مورد رویدادهای ناسازگار، فرمول پیچیده تر می شود، زیرا یک عبارت اضافی اضافه می شود. پس از در نظر گرفتن یک فرمول دیگر، در یک پاراگراف به آن باز خواهیم گشت.
ضرب
جمع و ضرب احتمالات رویدادهای مستقل در موارد مختلف استفاده می شود. اگر با توجه به شرایط آزمایش، از هر یک از دو نتیجه ممکن راضی باشیم، مجموع را محاسبه خواهیم کرد. اگر بخواهیم دو نتیجه مشخص را یکی پس از دیگری به دست آوریم، از فرمول متفاوتی استفاده خواهیم کرد.
با بازگشت به مثال قسمت قبل، می خواهیم ابتدا توپ آبی و سپس توپ قرمز را بکشیم. اولین عددی که می دانیم 2/10 است. بعد چه اتفاقی می افتد؟ 9 توپ باقی مانده است، هنوز هم همان تعداد توپ قرمز - سه قطعه وجود دارد. طبق محاسبات، 3/9 یا 1/3 می گیرید. اما حالا با دو عدد چه باید کرد؟ پاسخ صحیح این است که ضرب کنیم تا 2/30 به دست آید.
رویدادهای مشترک
اکنون می توانیم فرمول جمع را برای رویدادهای مشترک دوباره بررسی کنیم. چرا از موضوع دور می شویم؟ برای یادگیری نحوه ضرب کردن احتمالات اکنون این دانش مفید خواهد بود.
ما قبلاً می دانیم که دو جمله اول چه خواهند بود (همانطور که در فرمول جمع که قبلاً در نظر گرفته شد)، اکنون باید تفریق کنیمحاصل ضرب احتمالاتی که به تازگی محاسبه کردن را یاد گرفته ایم. برای وضوح، فرمول را می نویسیم: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). معلوم می شود که هم جمع و هم ضرب احتمال ها در یک عبارت استفاده می شود.
فرض کنید باید یکی از دو مشکل را حل کنیم تا اعتبار بگیریم. ما می توانیم اولی را با احتمال 0.3 و دومی را 0.6 حل کنیم. راه حل: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. توجه داشته باشید که جمع کردن اعداد در اینجا کافی نخواهد بود.
احتمال مشروط
در نهایت، مفهوم احتمال شرطی وجود دارد که آرگومان های آن در پرانتز مشخص شده و با یک نوار عمودی از هم جدا شده اند. ورودی P(A|B) به شرح زیر است: "احتمال رویداد A رویداد داده شده B".
بیایید به یک مثال نگاه کنیم: یکی از دوستان به شما دستگاهی می دهد، بگذارید یک تلفن باشد. می تواند خراب باشد (20%) یا خوب (80%). شما قادر به تعمیر هر وسیله ای هستید که به احتمال 0.4 به دست شما می رسد یا قادر به انجام آن نیستید (0.6). در نهایت، اگر دستگاه در حال کار باشد، می توانید با احتمال 0.7 به فرد مناسب برسید.
به راحتی می توان فهمید که احتمال شرطی در این مورد چگونه کار می کند: اگر تلفن خراب باشد نمی توانید به شخصی دسترسی پیدا کنید و اگر خوب است، نیازی به تعمیر آن ندارید. بنابراین، برای به دست آوردن هر گونه نتیجه در "سطح دوم"، باید بدانید که چه رویدادی در مرحله اول اجرا شده است.
محاسبات
بیایید با استفاده از داده های پاراگراف قبل مثال هایی از حل مسائل جمع و ضرب احتمالات را در نظر بگیریم.
ابتدا، بیایید احتمال اینکه شما را پیدا کنیددستگاهی که به شما داده شده را تعمیر کنید. برای انجام این کار، اولاً باید معیوب باشد و ثانیاً باید با تعمیر کنار بیایید. این یک مسئله ضرب معمولی است: 0.20.4=0.08.
دریافت می کنیم
احتمال اینکه فوراً به شخص مناسب برسید چقدر است؟ ساده تر از ساده: 0.80.7=0.56. در این مورد، متوجه شدید که تلفن کار می کند و با موفقیت تماس برقرار کردید.
در نهایت، این سناریو را در نظر بگیرید: شما یک تلفن خراب دریافت کرده اید، آن را تعمیر کرده اید، سپس شماره را گرفته اید، و فرد طرف مقابل به تلفن پاسخ می دهد. در اینجا، ضرب سه جزء از قبل مورد نیاز است: 0، 20، 40، 7=0، 056.
و اگر همزمان دو گوشی غیرکارآمد داشته باشید چه؟ چقدر احتمال دارد حداقل یکی از آنها را برطرف کنید؟ این یک مشکل جمع و ضرب احتمالات است، زیرا از رویدادهای مشترک استفاده می شود. راه حل: 0، 4 + 0، 4 - 0، 40، 4=0، 8 - 0، 16=0، 64.
استفاده دقیق
همانطور که در ابتدای مقاله ذکر شد، استفاده از نظریه احتمال باید عمدی و آگاهانه باشد.
هر چه مجموعه آزمایش‌ها بزرگتر باشد، مقدار پیش‌بینی‌شده نظری به مقدار عملی نزدیکتر می‌شود. مثلاً در حال پرتاب سکه هستیم. از نظر تئوری، با اطلاع از وجود فرمول‌های جمع و ضرب احتمالات، می‌توان پیش‌بینی کرد که اگر آزمایش را 10 بار انجام دهیم، چند بار سر و دم سقوط می‌کند. ما یک آزمایش انجام دادیم وبه طور تصادفی، نسبت اضلاع ریزش شده 3 به 7 بود. اما اگر یک سری تلاش 100، 1000 یا بیشتر انجام دهید، معلوم می شود که نمودار توزیع به نمودار نظری نزدیک و نزدیکتر می شود: 44 به 56، 482 به 518 و غیره.
حالا تصور کنید که این آزمایش نه با یک سکه، بلکه با تولید یک ماده شیمیایی جدید انجام شود که احتمال آن را نمی دانیم. ما 10 آزمایش انجام می‌دادیم و اگر نتیجه موفقیت‌آمیزی نمی‌گرفتیم، می‌توانستیم تعمیم دهیم: "ماده را نمی‌توان به دست آورد." اما چه کسی می داند، اگر تلاش یازدهم را انجام می دادیم، آیا به هدف می رسیدیم یا نه؟
بنابراین اگر به حوزه ناشناخته و ناشناخته می روید، نظریه احتمال ممکن است کاربرد نداشته باشد. هر تلاش بعدی در این مورد ممکن است موفقیت آمیز باشد و تعمیم هایی مانند "X وجود ندارد" یا "X غیرممکن است" زودرس خواهد بود.
کلمه پایانی
بنابراین ما دو نوع جمع، ضرب و احتمال شرطی را بررسی کردیم. با مطالعه بیشتر در این زمینه، لازم است یاد بگیریم که موقعیت ها را زمانی که از هر فرمول خاص استفاده می شود، تشخیص دهیم. علاوه بر این، باید بدانید که آیا روش های احتمالی به طور کلی برای حل مشکل شما قابل استفاده هستند یا خیر.
اگر تمرین کنید، پس از مدتی شروع به انجام تمام عملیات های مورد نیاز منحصراً در ذهن خود خواهید کرد. برای کسانی که به بازی های ورق علاقه دارند، می توان این مهارت را در نظر گرفتبسیار ارزشمند - فقط با محاسبه احتمال افتادن یک کارت یا کت و شلوار خاص، شانس برنده شدن خود را به میزان قابل توجهی افزایش خواهید داد. با این حال، دانش به دست آمده را می توان به راحتی در سایر زمینه های فعالیت به کار برد.
