بسیاری که با مفهوم "نظریه احتمال" مواجه می شوند، می ترسند و فکر می کنند که این چیزی بسیار زیاد و بسیار پیچیده است. اما واقعاً همه چیز غم انگیز نیست. امروز مفهوم اساسی نظریه احتمالات را در نظر خواهیم گرفت، یاد می گیریم که چگونه مسائل را با استفاده از مثال های خاص حل کنیم.
علم
شاخه ای از ریاضیات مانند "نظریه احتمال" چه چیزی را مطالعه می کند؟ الگوهای رویدادها و مقادیر تصادفی را یادداشت می کند. برای اولین بار، دانشمندان در قرن هجدهم، زمانی که قمار را مطالعه کردند، به این موضوع علاقه مند شدند. مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است. این هر واقعیتی است که با تجربه یا مشاهده مشخص شود. اما تجربه چیست؟ یکی دیگر از مفاهیم اساسی نظریه احتمال. یعنی این ترکیب شرایط به طور تصادفی ایجاد نشده است، بلکه برای یک هدف خاص ایجاد شده است. در مورد مشاهده، در اینجا محقق خود در آزمایش شرکت نمی کند، بلکه صرفاً شاهد این رویدادها است، او به هیچ وجه بر آنچه اتفاق می افتد تأثیر نمی گذارد.
رویدادها
ما آموختیم که مفهوم اساسی نظریه احتمال یک رویداد است، اما طبقه بندی را در نظر نگرفتیم. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:
- قابل اعتماد.
- غیر ممکن است.
- تصادفی.
مهم نیستچه نوع رویدادهایی در جریان تجربه مشاهده یا ایجاد می شوند، همه آنها مشمول این طبقه بندی هستند. پیشنهاد می کنیم با هر یک از گونه ها به طور جداگانه آشنا شوید.
رویداد معین
این شرایطی است که قبل از آن مجموعه اقدامات لازم انجام شده است. برای درک بهتر اصل مطلب، بهتر است چند مثال بزنیم. فیزیک، شیمی، اقتصاد و ریاضیات عالی مشمول این قانون هستند. نظریه احتمال شامل چنین مفهوم مهمی مانند یک رویداد خاص است. در اینجا چند نمونه آورده شده است:
- ما کار می کنیم و حقوق به صورت دستمزد می گیریم.
- ما امتحانات را به خوبی گذراندیم، در مسابقه با موفقیت پشت سر گذاشتیم، برای این کار پاداشی به شکل پذیرش در یک موسسه آموزشی دریافت می کنیم.
- ما پول را در بانک سرمایه گذاری کردیم، در صورت لزوم آن را پس خواهیم گرفت.
چنین رویدادهایی قابل اعتماد هستند. اگر همه شرایط لازم را انجام داده باشیم، قطعا نتیجه مورد انتظار را خواهیم گرفت.
رویدادهای غیرممکن
اکنون ما در حال بررسی عناصر نظریه احتمال هستیم. ما پیشنهاد می کنیم به توضیح نوع بعدی رویداد، یعنی غیرممکن برویم. ابتدا، اجازه دهید مهمترین قانون را مشخص کنیم - احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.
شما نمی توانید هنگام حل مشکلات از این جمله عدول کنید. برای روشن شدن، در اینجا نمونه هایی از چنین رویدادهایی آورده شده است:
- آب به اضافه ده یخ زد (این غیرممکن است).
- فقدان برق به هیچ وجه بر تولید تأثیر نمی گذارد (درست مانند مثال قبلی غیرممکن).
نمونه های بیشترارزش ذکر نیست، زیرا مواردی که در بالا توضیح داده شد، به وضوح ماهیت این دسته را منعکس می کنند. رویداد غیرممکن هرگز در طول تجربه و تحت هیچ شرایطی اتفاق نخواهد افتاد.
رویدادهای تصادفی
در مطالعه عناصر نظریه احتمال، باید به این نوع خاص از رویداد توجه ویژه ای شود. این چیزی است که علم مطالعه می کند. در نتیجه تجربه، ممکن است اتفاقی بیفتد یا نشود. علاوه بر این، تست را می توان به تعداد نامحدود تکرار کرد. نمونه های واضح عبارتند از:
- پرتاب کردن یک سکه یک تجربه است، یا یک آزمایش، عنوان یک رویداد است.
- کشیدن کورکورانه یک توپ از یک کیسه یک آزمایش است، گرفتن توپ قرمز یک رویداد است و غیره.
می تواند تعداد نامحدودی از این نمونه ها وجود داشته باشد، اما، به طور کلی، اصل باید روشن باشد. برای جمع بندی و نظام مند کردن دانش به دست آمده در مورد رویدادها، جدولی ارائه شده است. نظریه احتمال فقط آخرین نوع از همه ارائه شده را مطالعه می کند.
| عنوان | تعریف | مثال |
| قابل اعتماد | رویدادهایی که با ضمانت 100٪ تحت شرایط خاص رخ می دهند. | پذیرش در یک موسسه آموزشی با آزمون ورودی خوب. |
| غیر ممکن | رویدادهایی که هرگز تحت هیچ شرایطی اتفاق نمی‌افتند. | در دمای مثبت سی درجه سانتیگراد برف می بارد. |
| تصادفی | رویدادی که ممکن است در طول آزمایش/آزمایش رخ دهد یا نباشد. | هنگام پرتاب توپ بسکتبال به حلقه ضربه بزنید یا از دست بدهید. |
قوانین
نظریه احتمال علمی است که امکان وقوع یک رویداد را مطالعه می کند. مانند بقیه قوانینی دارد. قوانین زیر برای نظریه احتمال وجود دارد:
- همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی.
- قانون اعداد بزرگ.
هنگام محاسبه امکان پیچیده، می توانید از مجموعه ای از رویدادهای ساده استفاده کنید تا به روشی آسانتر و سریعتر به نتیجه برسید. توجه داشته باشید که قوانین نظریه احتمال به راحتی با کمک برخی قضایا اثبات می شوند. بیایید با قانون اول شروع کنیم.
همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی
توجه داشته باشید که چندین نوع همگرایی وجود دارد:
- توالی متغیرهای تصادفی در احتمال همگرا می شوند.
- تقریبا غیرممکن.
- همگرایی RMS.
- همگرایی در توزیع.
بنابراین، در حال پرواز، خیلی سخت است که به انتها برسیم. در اینجا چند تعریف برای کمک به درک این موضوع وجود دارد. بیایید با نگاه اول شروع کنیم. دنباله ای در احتمال همگرا نامیده می شود که شرط زیر وجود داشته باشد: n به بی نهایت میل می کند، عددی که دنباله به آن گرایش دارد بزرگتر از صفر و نزدیک به یک است.
رفتن به نمای بعدی، تقریباً مطمئناً. آنها گفتند کهدنباله تقریباً به طور قطع به یک متغیر تصادفی همگرا می شود که n به بی نهایت و P به مقدار نزدیک به یک گرایش دارد.
نوع بعدی همگرایی ریشه-میانگین مربع است. هنگام استفاده از همگرایی SC، مطالعه فرآیندهای تصادفی برداری به مطالعه فرآیندهای تصادفی مختصات آنها کاهش می یابد.
نوع آخر باقی می ماند، بیایید نگاهی کوتاه به آن بیندازیم تا مستقیماً به حل مسائل بپردازیم. همگرایی توزیع نام دیگری دارد - "ضعیف"، در زیر توضیح خواهیم داد که چرا. همگرایی ضعیف، همگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع حدی است.
حتماً به وعده عمل کنید: همگرایی ضعیف با همه موارد بالا تفاوت دارد زیرا متغیر تصادفی در فضای احتمال تعریف نشده است. این ممکن است زیرا شرط منحصراً با استفاده از توابع توزیع شکل می‌گیرد.
قانون اعداد بزرگ
کمک های عالی در اثبات این قانون قضایای نظریه احتمال خواهند بود مانند:
- نابرابری چبیشف.
- قضیه چبیشف.
- قضیه چبیشف تعمیم یافته.
- قضیه مارکوف.
اگر همه این قضایا را در نظر بگیریم، این سؤال ممکن است چندین ده صفحه طول بکشد. وظیفه اصلی ما استفاده از نظریه احتمال در عمل است. ما از شما دعوت می کنیم همین الان این کار را انجام دهید. اما قبل از آن، بدیهیات نظریه احتمالات را در نظر بگیریم، آنها دستیاران اصلی در حل مسائل خواهند بود.
Axioms
ما قبلاً با اولین مورد ملاقات کردیم که در مورد رویداد غیرممکن صحبت کردیم. بیاد داشته باشیم: احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. ما یک مثال بسیار واضح و به یاد ماندنی زدیم: در دمای سی درجه سانتیگراد برف بارید.
دومی به این شکل به نظر می رسد: یک رویداد قابل اعتماد با احتمالی برابر با یک رخ می دهد. حالا بیایید نحوه نوشتن آن را با استفاده از زبان ریاضی نشان دهیم: P(B)=1.
سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است رخ دهد یا ممکن است رخ ندهد، اما این احتمال همیشه از صفر تا یک متغیر است. هر چه مقدار به یک نزدیکتر باشد، شانس بیشتر است. اگر مقدار به صفر نزدیک شود، احتمال بسیار کم است. بیایید این را به زبان ریاضی بنویسیم: 0<Р(С)<1.
بیایید اصل چهارم، آخر را در نظر بگیریم، که به نظر می رسد: احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها. ما به زبان ریاضی می نویسیم: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
بدیهیات نظریه احتمالات ساده ترین قوانینی هستند که به راحتی قابل یادآوری هستند. بیایید سعی کنیم برخی از مشکلات را بر اساس دانشی که قبلاً به دست آورده ایم حل کنیم.
بلیت لاتاری
ابتدا ساده ترین مثال را در نظر بگیرید - قرعه کشی. تصور کنید که یک بلیط بخت آزمایی برای خوش شانسی خریده اید. احتمال اینکه حداقل بیست روبل برنده شوید چقدر است؟ در مجموع، هزار بلیط در تیراژ شرکت می کنند که یکی از آنها پانصد روبل، ده از صد روبل، پنجاه از بیست روبل و یکصد از پنج روبل جایزه دارد. مسائل در تئوری احتمال بر اساس یافتن امکان استموفق باشید. اکنون با هم راه حل کار ارائه شده در بالا را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
اگر با حرف A یک برد پانصد روبلی را نشان دهیم، احتمال به دست آوردن A 0.001 خواهد بود. چگونه آن را به دست آوردیم؟ فقط باید تعداد بلیط های "خوش شانس" را بر تعداد کل آنها (در این مورد: 1/1000) تقسیم کنید.
B یک برد صد روبلی است، احتمال آن 0.01 خواهد بود. اکنون طبق همان اصل عمل قبلی (10/1000)
عمل کردیم.
C - برد برابر با بیست روبل است. احتمال را پیدا کنید، برابر 0.05 است.
بقیه بلیط ها برای ما جالب نیستند، زیرا صندوق جایزه آنها کمتر از مبلغی است که در شرایط ذکر شده است. بیایید اصل چهارم را اعمال کنیم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P(A)+P(B)+P(C) است. حرف P نشان دهنده احتمال وقوع این رویداد است، ما قبلا آنها را در مراحل قبلی پیدا کرده ایم. فقط باقی می ماند که داده های لازم را اضافه کنیم، در پاسخ 0، 061 می گیریم. این عدد پاسخ سوال تکلیف خواهد بود.
عرشه کارت
مسائل نظریه احتمال می توانند پیچیده تر باشند، برای مثال، کار زیر را انجام دهید. قبل از شما عرشه ای از سی و شش کارت است. وظیفه شما کشیدن دو کارت پشت سر هم بدون اختلاط شمع است، کارت اول و دوم باید آس باشد، لباس مهم نیست.
ابتدا، بیایید احتمال اینکه کارت اول یک آس باشد را پیدا کنیم، برای این کار چهار را بر سی و شش تقسیم می کنیم. گذاشتند کنار. کارت دوم را بیرون می آوریم، یک آس با احتمال سه سی و پنجم خواهد بود. احتمال رخداد دوم بستگی به این دارد که ما ابتدا به کدام کارت علاقه مندیمآس بود یا نه نتیجه این است که رویداد B به رویداد A بستگی دارد.
مرحله بعدی یافتن احتمال اجرای همزمان است، یعنی A و B را ضرب می کنیم. حاصلضرب آنها به صورت زیر است: احتمال یک رویداد در احتمال شرطی دیگری ضرب می شود که آن را محاسبه می کنیم. ، با فرض اینکه اولین رویداد رخ داده است، یعنی با اولین کارت یک آس کشیدیم.
برای اینکه همه چیز روشن شود، بیایید برای عنصری به عنوان احتمال شرطی یک رویداد تعیین کنیم. با فرض اینکه رویداد A رخ داده است محاسبه می شود. به صورت زیر محاسبه می شود: P(B/A).
به حل مشکل ما ادامه دهید: P(AB)=P(A)P(B/A) یا P (AB)=P(B)P(A/B). احتمال (4/36)((3/35)/(4/36) است. با گرد کردن به صدم محاسبه کنید. داریم: 0، 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. احتمال اینکه دو آس را پشت سر هم بکشیم نه صدم است. مقدار بسیار کوچک است، بنابراین احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.
شماره فراموش شده
پیشنهاد می کنیم چند گزینه دیگر را برای کارهایی که توسط نظریه احتمال مطالعه می شوند، تجزیه و تحلیل کنیم. قبلاً نمونه هایی از حل برخی از آنها را در این مقاله مشاهده کرده اید، بیایید سعی کنیم مشکل زیر را حل کنیم: پسر آخرین رقم شماره تلفن دوستش را فراموش کرده بود، اما از آنجایی که تماس بسیار مهم بود، شروع به شماره گیری همه چیز به نوبت کرد. ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که او بیش از سه بار تماس نخواهد گرفت. اگر قواعد، قوانین و بدیهیات نظریه احتمال شناخته شده باشند، راه حل مشکل ساده ترین است.
قبل از تماشاراه حل، سعی کنید آن را خودتان حل کنید. می دانیم که رقم آخر می تواند از صفر تا نه باشد، یعنی در مجموع ده مقدار وجود دارد. احتمال بدست آوردن مورد مناسب 1/10 است.
بعد، باید گزینه هایی را برای منشا رویداد در نظر بگیریم، فرض کنید که پسر درست حدس زد و بلافاصله امتیاز درست را به ثمر رساند، احتمال چنین رویدادی 1/10 است. گزینه دوم: تماس اول از دست دادن است و دومی در هدف. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 را در 1/9 ضرب می کنیم، در نتیجه 1/10 نیز به دست می آید. گزینه سوم: تماس های اول و دوم در آدرس اشتباه بود، فقط از سومین پسر به جایی که می خواست رسید. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 را در 8/9 ضرب می کنیم و در 1/8، در نتیجه 1/10 می گیریم. با توجه به شرایط مشکل، ما علاقه ای به گزینه های دیگر نداریم، بنابراین باقی مانده است که نتایج را جمع کنیم، در نتیجه 3/10 داریم. پاسخ: احتمال اینکه پسر بیشتر از سه بار تماس نگیرد 0.3 است.
کارت با اعداد
نه کارت پیش روی شماست که روی هر کدام از آنها عدد یک تا نه نوشته شده است، اعداد تکرار نمی شوند. آنها را در یک جعبه قرار داده و کاملاً مخلوط کردند. شما باید این احتمال را محاسبه کنید که
- عدد زوج ظاهر می شود؛
- دو رقمی.
قبل از ادامه راه حل، اجازه دهید شرط کنیم که m تعداد موارد موفق و n تعداد کل گزینه ها است. احتمال زوج بودن عدد را پیدا کنید. محاسبه اینکه چهار عدد زوج وجود دارد دشوار نخواهد بود، این m ما خواهد بود، در کل نه گزینه وجود دارد، یعنی m=9. سپس احتمالبرابر با 0، 44، یا 4/9 است.
مورد دوم را در نظر بگیرید: تعداد گزینه ها 9 است و اصلاً هیچ نتیجه موفقیت آمیزی وجود ندارد، یعنی m برابر با صفر است. احتمال اینکه کارت کشیده شده دارای یک عدد دو رقمی باشد نیز صفر است.
