حساب چیست؟ بشریت از چه زمانی شروع به استفاده از اعداد و کار با آنها کرد؟ ریشه مفاهیم روزمره مانند اعداد، کسرها، تفریق، جمع و ضرب که انسان جزئی جدایی ناپذیر از زندگی و جهان بینی خود کرده است به کجا می رود؟ ذهن‌های یونان باستان علومی مانند ریاضیات، حساب و هندسه را به عنوان زیباترین سمفونی‌های منطق بشری تحسین می‌کردند.
شاید حساب به اندازه علوم دیگر عمیق نباشد، اما اگر فردی جدول ضرب ابتدایی را فراموش کند چه اتفاقی برای آنها می افتد؟ تفکر منطقی که برای ما معمول بود، با استفاده از اعداد، کسرها و ابزارهای دیگر، برای مردم آسان نبود و برای مدت طولانی برای نیاکان ما غیرقابل دسترس بود. در واقع، قبل از توسعه حساب، هیچ حوزه ای از دانش بشری واقعاً علمی نبود.
حساب الفبای ریاضیات است
حساب علم اعداد است که هر شخصی شروع به آشنایی با دنیای جذاب ریاضیات می کند. همانطور که M. V. Lomonosov گفت، حساب دروازه یادگیری است که راه را برای دانش جهانی برای ما باز می کند. اما حق با اوستآیا علم دنیا را می توان از دانش اعداد و حروف و ریاضیات و گفتار جدا کرد؟ شاید در دوران قدیم، اما نه در دنیای مدرن، که در آن پیشرفت سریع علم و فناوری قوانین خاص خود را دیکته می کند.
کلمه "arithmetic" (یونانی "arithmos") از ریشه یونانی به معنای "عدد" است. او اعداد و هر چیزی را که می توان با آنها مرتبط کرد مطالعه می کند. این دنیای اعداد است: عملیات مختلف روی اعداد، قوانین عددی، حل مسائل مربوط به ضرب، تفریق و غیره.
به طور کلی پذیرفته شده است که حساب مرحله اولیه ریاضیات و پایه ای محکم برای بخش های پیچیده تر آن مانند جبر، تجزیه و تحلیل ریاضی، ریاضیات عالی و غیره است.
ابژه اصلی حساب
اساس حساب یک عدد صحیح است که خصوصیات و الگوهای آن در حساب بالاتر یا نظریه اعداد در نظر گرفته می شود. در واقع، استحکام کل ساختمان - ریاضیات - به این بستگی دارد که چگونه رویکرد درستی در در نظر گرفتن یک بلوک کوچک به عنوان یک عدد طبیعی اتخاذ شود.
بنابراین به این سؤال که حساب چیست می توان به سادگی پاسخ داد: علم اعداد است. بله، در مورد هفت، نه و این همه جامعه متنوع. و همانطور که بدون الفبای ابتدایی نمی توان خوب یا حتی متوسط ترین شعر را نوشت، حتی یک مسئله ابتدایی را بدون حساب نمی توان حل کرد. به همین دلیل است که همه علوم تنها پس از توسعه حساب و ریاضیات پیشرفت کردند، قبل از آن فقط مجموعه ای از فرضیات.
حساب یک علم خیالی است
حساب چیست - علم طبیعی یا فانتوم؟ در واقع، همانطور که فیلسوفان یونان باستان استدلال کردند، نه عدد و نه رقم در واقعیت وجود ندارد. این فقط یک شبحی است که در تفکر انسان هنگام در نظر گرفتن محیط با فرآیندهای آن ایجاد می شود. در واقع عدد چیست؟ در هیچ کجای اطراف ما چیزی شبیه به آن را نمی بینیم که بتوان آن را عدد نامید، بلکه عدد راهی است که ذهن انسان برای مطالعه جهان دارد. یا شاید مطالعه خودمان از درون است؟ فلاسفه قرن‌ها متوالی در این مورد بحث می‌کنند، بنابراین ما متعهد نمی‌شویم که پاسخی جامع بدهیم. به هر شکلی، حساب توانسته است جایگاه خود را چنان محکم بگیرد که در دنیای مدرن هیچ کس را نمی توان از نظر اجتماعی سازگار بدون دانستن اصول اولیه آن در نظر گرفت.
عدد طبیعی چگونه ظاهر شد
البته، شی اصلی که حساب روی آن عمل می کند یک عدد طبیعی است، مانند 1، 2، 3، 4، …، 152… و غیره. حساب اعداد طبیعی نتیجه شمردن اجسام معمولی مانند گاو در چمنزار است. با این حال، زمانی تعریف «زیاد» یا «کم» دیگر برای مردم مناسب نبود و آنها مجبور شدند تکنیک‌های شمارش پیشرفته‌تری ابداع کنند.
اما پیشرفت واقعی زمانی اتفاق افتاد که فکر بشر به این نقطه رسید که می توان 2 کیلوگرم و 2 آجر و 2 قسمت را با همان عدد "دو" تعیین کرد. واقعیت این است که شما باید از اشکال، خواص و معنای اشیاء انتزاع بگیرید، سپس می توانید برخی از اعمال را با این اشیاء در قالب اعداد طبیعی انجام دهید. بدین ترتیب حساب اعداد متولد شد کهبیشتر توسعه یافته و گسترش یافته است و موقعیت های هر چه بیشتر در زندگی جامعه را اشغال می کند.
مفاهیم عمیق اعداد مانند عدد صفر و منفی، کسرها، تعیین اعداد به وسیله اعداد و از جهات دیگر، تاریخچه توسعه غنی و جالبی دارند.
مصریان حسابی و عملی
دو قدیمی ترین همراهان انسان در کاوش در دنیای اطراف و حل مسائل روزمره، حساب و هندسه هستند.
اعتقاد بر این است که تاریخ حساب در شرق باستان سرچشمه می گیرد: در هند، مصر، بابل و چین. بنابراین، پاپیروس ریندا با منشاء مصری (به این دلیل نامگذاری شده است که به صاحبی به همین نام تعلق دارد) که قدمت آن به قرن بیستم باز می گردد. قبل از میلاد، علاوه بر داده‌های ارزشمند دیگر، شامل بسط یک کسر به مجموع کسری با مخرج‌های مختلف و یک عدد برابر با یک است.
برای مثال: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
اما این تجزیه پیچیده چیست؟ واقعیت این است که رویکرد مصری افکار انتزاعی در مورد اعداد را تحمل نمی کرد، برعکس، محاسبات فقط برای اهداف عملی انجام می شد. به این معنا که مصری صرفاً برای ساختن یک مقبره، مثلاً به محاسباتی می پردازد. لازم بود طول لبه سازه محاسبه شود و این باعث شد که فرد پشت پاپیروس بنشیند. همانطور که می بینید، پیشرفت مصر در محاسبات بیشتر ناشی از ساخت و ساز انبوه بود تا عشق به علم.
به همین دلیل، محاسبات یافت شده بر روی پاپیروس ها را نمی توان بازتابی درباره موضوع کسری نامید. به احتمال زیاد، این یک آماده سازی عملی است که در آینده کمک می کند.حل مسائل با کسر مصریان باستان که جداول ضرب را نمی دانستند، محاسبات نسبتاً طولانی انجام می دادند و به وظایف فرعی بسیاری تقسیم می شدند. شاید این یکی از آن کارهای فرعی باشد. به راحتی می توان فهمید که محاسبات با چنین قطعات کاری بسیار پر زحمت و بی امید است. شاید به همین دلیل ما سهم بزرگ مصر باستان را در توسعه ریاضیات نمی بینیم.
یونان باستان و محاسبات فلسفی
بسیاری از دانش شرق باستان توسط یونانیان باستان، عاشقان مشهور تأملات انتزاعی، انتزاعی و فلسفی با موفقیت تسلط یافتند. آنها کمتر به عمل علاقه نداشتند، اما یافتن بهترین نظریه پردازان و متفکران دشوار است. این به نفع علم بوده است، زیرا نمی‌توان در محاسبات کاوش کرد بدون اینکه آن را از واقعیت جدا کرد. مطمئناً، شما می توانید 10 گاو و 100 لیتر شیر را ضرب کنید، اما خیلی دور نمی شوید.
یونانیان ژرف اندیش آثار مهمی در تاریخ به جا گذاشتند و نوشته های آنها به ما رسیده است:
- اقلیدس و عناصر.
- فیثاغورث.
- ارشمیدس.
- اراتوستن.
- Zeno.
- Anaxagoras.
و البته یونانیان که همه چیز را به فلسفه تبدیل کردند و به ویژه جانشینان کار فیثاغورث چنان مجذوب اعداد بودند که آنها را رمز هماهنگی جهان می دانستند. اعداد به حدی مورد مطالعه و تحقیق قرار گرفته اند که به برخی از آنها و جفت آنها ویژگی های خاصی داده شده است. به عنوان مثال:
- اعداد کامل اعدادی هستند که با مجموع همه مقسوم علیه‌ها به جز خود عدد (6=1+2+3) برابر باشند.
- اعداد دوستانه آن اعدادی هستند که یکی از آنهاستبرابر است با مجموع همه مقسوم علیه های دوم، و بالعکس (فیثاغورثی ها فقط یکی از این جفت ها را می دانستند: 220 و 284).
یونانیان که معتقد بودند علم را باید دوست داشت، نه به خاطر سود همراه با آن، با کاوش، بازی و جمع اعداد به موفقیت های بزرگی دست یافتند. لازم به ذکر است که همه تحقیقات آنها به طور گسترده مورد استفاده قرار نگرفت، برخی از آنها فقط "برای زیبایی" باقی ماندند.
متفکران شرقی قرون وسطی
به همین ترتیب، در قرون وسطی، حساب رشد خود را مدیون معاصران شرقی است. سرخپوستان اعدادی را که ما فعالانه از آنها استفاده می کنیم، مانند مفهومی مانند "صفر" و نسخه موقعیتی حساب، آشنا به درک مدرن، به ما دادند. از الکشی، که در قرن پانزدهم در سمرقند کار می کرد، کسرهای اعشاری را به ارث بردیم، بدون آن، تصور محاسبات مدرن دشوار است.
آشنایی اروپا با دستاوردهای شرق از بسیاری جهات به لطف کار دانشمند ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی که اثر "کتاب چرتکه" را نوشت و نوآوری های شرقی را معرفی کرد امکان پذیر شد. این سنگ بنای توسعه جبر و حساب، تحقیقات و فعالیت های علمی در اروپا شد.
حساب روسی
و سرانجام، حساب که جای خود را پیدا کرد و در اروپا ریشه دواند، شروع به گسترش به سرزمین های روسیه کرد. اولین محاسبات روسی در سال 1703 منتشر شد - این کتاب در مورد حساب توسط لئونتی ماگنیتسکی بود. برای مدت طولانی تنها کتاب درسی در ریاضیات باقی ماند. این شامل لحظات اولیه جبر و هندسه است.اعداد استفاده شده در مثال های اولین کتاب درسی حساب در روسیه عربی هستند. اگرچه اعداد عربی قبلاً دیده شده است، اما بر روی حکاکی هایی که به قرن هفدهم باز می گردد.
خود کتاب با تصاویر ارشمیدس و فیثاغورث تزئین شده است و در صفحه اول - تصویر حساب به شکل یک زن. او بر تخت می نشیند، زیر او به زبان عبری کلمه ای نوشته شده است که نام خدا را نشان می دهد و بر روی پله هایی که به تخت می رسد، کلمات "تقسیم"، "ضرب"، "اضافه" و غیره حک شده است. که اکنون امری عادی تلقی می شوند.
یک کتاب درسی 600 صفحه ای، هم مبانی مانند جدول های جمع و ضرب و هم کاربردهای علوم ناوبری را پوشش می دهد.
جای تعجب نیست که نویسنده تصاویری از متفکران یونانی را برای کتاب خود برگزیده است، زیرا خودش مجذوب زیبایی حساب شده است و می گوید: "حساب شماره کننده است، هنری وجود دارد صادقانه، غیرقابل رشک …". این رویکرد به حساب کاملاً موجه است، زیرا این مقدمه گسترده آن است که می تواند آغازی برای توسعه سریع اندیشه علمی در روسیه و آموزش عمومی در نظر گرفته شود.
اعداد اول بی اول
عدد اول یک عدد طبیعی است که فقط 2 مقسوم علیه مثبت دارد: 1 و خودش. همه اعداد دیگر، به جز 1، مرکب نامیده می شوند. نمونه هایی از اعداد اول: 2، 3، 5، 7، 11، و همه موارد دیگر که مقسوم علیه دیگری به جز 1 و خودش ندارند.
در مورد عدد 1، در یک حساب ویژه است - توافقی وجود دارد که نه ساده و نه مرکب در نظر گرفته شود.در نگاه اول ساده، یک عدد ساده بسیاری از اسرار حل نشده را در خود پنهان می کند.
قضیه اقلیدس می گوید که تعداد نامتناهی اعداد اول وجود دارد و اراتوستن یک "الک" حسابی ویژه اختراع کرد که اعداد غیر اول را حذف می کند و فقط اعداد ساده را باقی می گذارد.
ماهیت آن این است که زیر اولین عدد خط نخورده خط بکشید و متعاقباً آنهایی را که مضرب آن هستند خط بکشید. این روش را بارها تکرار می کنیم - و جدولی از اعداد اول به دست می آید.
قضیه اساسی حساب
در میان مشاهدات مربوط به اعداد اول، قضیه اساسی حساب را باید به شکلی خاص ذکر کرد.
قضیه اساسی حساب می گوید که هر عدد صحیح بزرگتر از 1 یا اول است یا می توان آن را به حاصل ضرب اعداد اول تا ترتیب عوامل و به روشی منحصر به فرد تجزیه کرد.
قضیه اصلی حساب نسبتاً دست و پا گیر است و درک آن دیگر ساده ترین اصول اولیه به نظر نمی رسد.
در نگاه اول، اعداد اول یک مفهوم ابتدایی هستند، اما اینطور نیستند. فیزیک نیز زمانی اتم را ابتدایی می دانست تا اینکه کل جهان را در آن یافت. داستان فوق‌العاده‌ای از ریاضیدان دان تزاگیر "پنجاه میلیون عدد اول" به اعداد اول اختصاص دارد.
از "سه سیب" تا قوانین قیاسی
آنچه را واقعاً می توان پایه تقویت شده همه علوم نامید، قوانین حساب است. حتی در دوران کودکی، همه با محاسبه تعداد پاها و بازوهای عروسک ها مواجه می شوند.تعداد مکعب‌ها، سیب‌ها و غیره. این روشی است که ما حساب را مطالعه می‌کنیم، که سپس به قوانین پیچیده‌تر می‌رود.
تمام زندگی ما را با قواعد حساب آشنا می کند، قوانینی که برای مردم عادی مفیدترین چیزهایی است که علم می دهد. مطالعه اعداد «حساب-بچه» است که انسان را در اوایل کودکی به شکل اعداد با دنیای اعداد آشنا می کند.
حساب عالی یک علم قیاسی است که قوانین حساب را مطالعه می کند. ما اکثر آنها را می‌شناسیم، اگرچه ممکن است کلمات دقیق آنها را ندانیم.
قانون جمع و ضرب
دو عدد طبیعی a و b را می توان به صورت مجموع a+b بیان کرد که یک عدد طبیعی نیز خواهد بود. قوانین زیر برای جمع اعمال می شود:
- Comutative که می گوید مجموع از ترتیب مجدد عبارت ها تغییر نمی کند یا a+b=b+a.
- Associative، که می گوید مجموع به نحوه گروه بندی عبارت ها در مکان ها بستگی ندارد، یا a+(b+c)=(a+ b)+ c.
قواعد حساب، مانند جمع، از ابتدایی ترین قواعد هستند، اما همه علوم از آنها استفاده می کنند، البته در زندگی روزمره.
دو عدد طبیعی a و b را می توان به صورت حاصل ضرب ab یا ab بیان کرد که آن هم یک عدد طبیعی است. همان قوانین جابجایی و تداعی در مورد محصول اعمال می شود:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
تعجب می کنماینکه قانونی وجود دارد که جمع و ضرب را یکی می کند که قانون توزیعی یا توزیعی نیز نامیده می شود:
a(b+c)=ab+ac
این قانون در واقع به ما می آموزد که با بسط براکت ها کار کنیم، بنابراین می توانیم با فرمول های پیچیده تر کار کنیم. اینها قوانینی هستند که ما را در دنیای عجیب و پیچیده جبر راهنمایی می کنند.
قانون نظم حسابی
قانون نظم را منطق بشر هر روز با مقایسه ساعت ها و شمردن اسکناس ها استفاده می کند. و با این وجود، باید در قالب فرمول‌های خاص رسمیت یابد.
اگر دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم، گزینه های زیر ممکن است:
- a برابر است با b یا a=b;
- a کمتر از b یا < b;
- a بزرگتر از b یا > b است.
است
از بین سه گزینه، تنها یکی می تواند منصفانه باشد. قانون اساسی حاکم بر این نظم می گوید: اگر a < b و b < c، پس a< c.
همچنین قوانینی در رابطه با ترتیب ضرب و جمع وجود دارد: اگر a< b باشد، a + c < b+c و ac< bc.
قوانین حساب به ما می آموزند که با اعداد، علائم و کروشه کار کنیم و همه چیز را به سمفونی هماهنگ اعداد تبدیل کنیم.
حساب حساب موضعی و غیر موقعیتی
می توان گفت که اعداد یک زبان ریاضی هستند که به راحتی آن بستگی زیادی دارد. سیستم های اعداد زیادی وجود دارند که مانند الفبای زبان های مختلف با یکدیگر متفاوت هستند.
بیایید سیستم های اعداد را از نقطه نظر تأثیر موقعیت بر مقدار کمی در نظر بگیریم.اعداد در این موقعیت بنابراین، به عنوان مثال، سیستم رومی غیر موقعیتی است، که در آن هر عدد توسط مجموعه خاصی از کاراکترهای خاص رمزگذاری می شود: I/V/X/L/C/D/M. آنها به ترتیب برابر با اعداد 1 هستند. / 5/10/50/100/500/ 1000. در چنین سیستمی، عدد بسته به موقعیتی که در چه موقعیتی قرار دارد، تعریف کمی خود را تغییر نمی دهد. برای به دست آوردن اعداد دیگر، باید اعداد پایه را اضافه کنید. به عنوان مثال:
- DCC=700.
- CCM=800.
سیستم اعدادی که با استفاده از اعداد عربی برای ما آشناتر است، موقعیتی است. در چنین سیستمی، رقم یک عدد، تعداد ارقام را تعیین می کند، به عنوان مثال، اعداد سه رقمی: 333، 567 و غیره. وزن هر رقم بستگی به موقعیتی دارد که این یا آن رقم در آن قرار دارد، به عنوان مثال، عدد 8 در موقعیت دوم دارای مقدار 80 است. این برای سیستم اعشاری معمول است، سیستم های موقعیتی دیگری نیز وجود دارد، برای مثال. ، باینری.
حساب باینری
با سیستم اعشاری که از اعداد تک رقمی و چند رقمی تشکیل شده است آشنا هستیم. عدد سمت چپ یک عدد چند رقمی ده برابر مهمتر از عدد سمت راست است. بنابراین، ما عادت کرده ایم که 2، 17، 467 و … را بخوانیم. بخشی به نام "حساب باینری" منطق و رویکرد کاملا متفاوتی دارد. این تعجب آور نیست، زیرا حساب باینری نه برای منطق انسانی، بلکه برای منطق کامپیوتری ایجاد شده است. اگر محاسبات اعداد از شمارش اجسام نشأت گرفته باشد، که بیشتر از خصوصیات شیء به حساب "لخت" انتزاع شده است، آنگاه این کار با رایانه کار نخواهد کرد. تا بتوانیم به اشتراک بگذاریمبا دانشی که از کامپیوتر داشت، یک نفر مجبور بود چنین مدلی از حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کند.
حساب باینری با الفبای دودویی کار می کند که فقط از 0 و 1 تشکیل شده است. و استفاده از این الفبا را سیستم باینری می نامند.
تفاوت بین حساب باینری و حساب اعشاری در این است که اهمیت موقعیت سمت چپ دیگر 10 نیست، بلکه 2 برابر است. اعداد باینری به شکل 111، 1001 و … هستند. چگونه می توان چنین اعدادی را فهمید؟ بنابراین، عدد 1100 را در نظر بگیرید:
- اولین رقم سمت چپ 18=8 است، به یاد داشته باشید که رقم چهارم، یعنی باید در 2 ضرب شود، موقعیت 8 را دریافت می کنیم.
- رقم دوم 14=4 (موقعیت 4).
- رقم سوم 02=0 (موقعیت 2).
- رقم چهارم 01=0 (موقعیت 1).
- بنابراین عدد ما 1100=8+4+0+0=12 است.
یعنی هنگام حرکت به یک رقم جدید در سمت چپ، اهمیت آن در سیستم باینری در 2 و در اعشار - در 10 ضرب می شود. چنین سیستمی یک منهای دارد: افزایش آن بسیار زیاد است. ارقامی که برای نوشتن اعداد مورد نیاز است. نمونه هایی از نمایش اعداد اعشاری به عنوان اعداد باینری را می توان در جدول زیر یافت.
اعداد اعشاری به شکل باینری در زیر نشان داده شده است.
هر دو سیستم اکتال و هگزادسیمال نیز استفاده می شود.
این محاسبات مرموز
حساب، "دو بار دو" یا اسرار ناشناخته اعداد چیست؟ همانطور که می بینید، حساب در نگاه اول ساده به نظر می رسد، اما سهولت نامشخص آن فریبنده است. همچنین می تواند توسط کودکان همراه با خاله جغد از مطالعه شودکارتون "Arithmetic-Baby"، و می توانید خود را در تحقیقات عمیق علمی تقریباً فلسفی غرق کنید. در تاریخ، او از شمردن اشیا به پرستش زیبایی اعداد رسیده است. تنها یک چیز به طور قطع مشخص است: با ایجاد مبانی اساسی حساب، همه علوم می توانند بر شانه قوی خود تکیه کنند.
