در سال 1900، یکی از بزرگترین دانشمندان قرن گذشته، دیوید هیلبرت، فهرستی از 23 مسئله حل نشده در ریاضیات را تهیه کرد. کار بر روی آنها تأثیر فوق العاده ای در توسعه این حوزه از دانش بشری داشت. 100 سال بعد، موسسه ریاضی Clay فهرستی از 7 مسئله را ارائه کرد که به عنوان مسائل هزاره شناخته می شوند. به هر یک از آنها یک میلیون دلار جایزه پیشنهاد شد.
تنها مشکلی که در بین هر دو فهرست معماهایی که بیش از یک قرن است دانشمندان را آزار می دهد، ظاهر شد، فرضیه ریمان بود. او همچنان منتظر تصمیم خود است.
یادداشت کوتاه بیوگرافی
جورج فردریش برنهارد ریمان در سال 1826 در هانوفر در خانواده ای پرجمعیت از یک کشیش فقیر به دنیا آمد و تنها 39 سال زندگی کرد. او موفق به انتشار 10 اثر شد. با این حال، در طول زندگی خود، ریمان جانشین معلم خود یوهان گاوس در نظر گرفته می شد. این دانشمند جوان در سن 25 سالگی از پایان نامه خود با عنوان "مبانی نظریه توابع یک متغیر مختلط" دفاع کرد. بعداً فرموله کردفرضیه معروف او.
اعداد اول
ریاضی زمانی پدیدار شد که انسان شمارش را آموخت. در همان زمان، اولین ایده ها در مورد اعداد به وجود آمد که بعداً سعی کردند آنها را طبقه بندی کنند. مشاهده شده است که برخی از آنها دارای خواص مشترک هستند. به ویژه، در میان اعداد طبیعی، یعنی اعدادی که در شمارش (شماره‌گذاری) یا تعیین تعداد اشیاء به کار می‌رفتند، گروهی متمایز می‌شد که فقط بر یک و بر خودشان بخش‌پذیر بودند. ساده نامیده می شوند. اقلیدس در «عناصر» خود، اثباتی زیبا از قضیه بی نهایت بودن مجموعه چنین اعدادی ارائه کرد. در حال حاضر جستجوی آنها ادامه دارد. به طور خاص، بزرگترین عددی که قبلاً شناخته شده است 274 207 281 - 1 است.
فرمول اویلر
همراه با مفهوم بی نهایت بودن مجموعه اعداد اول، اقلیدس قضیه دوم را نیز در مورد تنها تجزیه ممکن به عوامل اول تعیین کرد. بر اساس آن، هر عدد صحیح مثبت حاصل ضرب تنها یک مجموعه از اعداد اول است. در سال 1737، لئونارد اویلر، ریاضیدان بزرگ آلمانی، اولین قضیه بی نهایت اقلیدس را به صورت فرمول زیر بیان کرد.
به آن تابع زتا می گویند، که در آن s یک ثابت است و p همه مقادیر اول را می گیرد. بیانیه اقلیدس در مورد منحصر به فرد بودن بسط مستقیماً از آن ناشی می شود.
تابع ریمان زتا
فرمول اویلر، با بررسی دقیق تر، کاملاً استتعجب آور است زیرا رابطه بین اعداد اول و صحیح را تعریف می کند. از این گذشته، بی‌نهایت عباراتی که فقط به اعداد اول بستگی دارند در سمت چپ آن ضرب می‌شوند و مجموع مربوط به همه اعداد صحیح مثبت در سمت راست قرار دارد.
ریمان فراتر از اویلر رفت. به منظور یافتن کلید مسئله توزیع اعداد، او پیشنهاد کرد که فرمولی برای متغیرهای واقعی و مختلط تعریف شود. این او بود که متعاقباً نام تابع زتای ریمان را دریافت کرد. در سال 1859، دانشمند مقاله ای با عنوان "در مورد تعداد اعداد اولی که از مقدار معین تجاوز نمی کنند" منتشر کرد، جایی که او تمام ایده های خود را خلاصه کرد.
ریمان استفاده از سری اویلر را پیشنهاد کرد که برای هر s>1 واقعی همگرا می شود. اگر از همان فرمول برای s مختلط استفاده شود، آنگاه سری برای هر مقدار از این متغیر با بخش واقعی بزرگتر از 1 همگرا می شود. "بیرون انداختن" واحد. حذف شد زیرا در s=1 تابع زتا تا بی نهایت افزایش می یابد.
حس عملی
یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا تابع زتا، که در کار ریمان بر روی فرضیه صفر کلیدی است، جالب و مهم است؟ همانطور که می دانید، در حال حاضر هیچ الگوی ساده ای که توزیع اعداد اول را در بین اعداد طبیعی توصیف کند، شناسایی نشده است. ریمان توانست کشف کند که عدد pi(x) اعداد اولی که از x تجاوز نمی‌کنند، بر حسب توزیع صفرهای غیر ضروری تابع زتا بیان می‌شود. علاوه بر این، فرضیه ریمان استشرط لازم برای اثبات تخمین های زمان برای عملکرد برخی از الگوریتم های رمزنگاری.
فرضیه ریمان
یکی از اولین فرمول‌بندی‌های این مسئله ریاضی که تا به امروز ثابت نشده است، به نظر می‌رسد: توابع غیر پیش پا افتاده 0 زتا اعداد مختلطی هستند که قسمت واقعی آنها برابر با ½ است. به عبارت دیگر، آنها در خط Re s=½ قرار دارند.
همچنین یک فرضیه تعمیم یافته ریمان وجود دارد که همان عبارت است، اما برای تعمیم توابع زتا، که معمولاً توابع L دیریکله نامیده می شوند (عکس زیر را ببینید).
در فرمول χ(n) - مقداری کاراکتر عددی (مدول k).
گزاره ریمانی به اصطلاح فرضیه صفر در نظر گرفته می شود، زیرا برای سازگاری با داده های نمونه موجود آزمایش شده است.
همانطور که ریمان استدلال کرد
اظهارات ریاضیدان آلمانی در ابتدا نسبتاً معمولی بیان شد. واقعیت این است که در آن زمان دانشمند قصد داشت قضیه توزیع اعداد اول را اثبات کند و در این زمینه این فرضیه اهمیت خاصی نداشت. با این حال، نقش آن در حل بسیاری از مسائل دیگر بسیار زیاد است. به همین دلیل است که فرض ریمان اکنون توسط بسیاری از دانشمندان به عنوان مهمترین مسئله ریاضی اثبات نشده شناخته شده است.
همانطور که قبلاً ذکر شد، برای اثبات قضیه توزیع به فرضیه کامل ریمان نیازی نیست و کافی است منطقاً توجیه کنیم که بخش واقعی هر صفر غیر پیش پا افتاده تابع زتا دربین 0 و 1. از این ویژگی نتیجه می شود که مجموع تمام 0های تابع زتا که در فرمول دقیق بالا ظاهر می شود یک ثابت محدود است. برای مقادیر بزرگ x، ممکن است به طور کلی از بین برود. تنها عضوی از فرمول که حتی برای x بسیار بزرگ ثابت می ماند، خود x است. اصطلاحات پیچیده باقی مانده در مقایسه با آن به طور مجانبی ناپدید می شوند. بنابراین مجموع وزنی به x تمایل دارد. این شرایط را می توان تاییدی بر صدق قضیه در مورد توزیع اعداد اول دانست. بنابراین، صفرهای تابع زتای ریمان نقش ویژه ای دارند. این شامل اثبات این است که چنین مقادیری نمی توانند سهم قابل توجهی در فرمول تجزیه داشته باشند.
پیروان ریمان
مرگ غم انگیز بر اثر سل به این دانشمند اجازه نداد برنامه خود را به پایان منطقی برساند. با این حال، ش-ژ از او گرفت. د لا وال پوسین و ژاک هادامارد. آنها مستقل از یکدیگر، قضیه ای را در مورد توزیع اعداد اول استنباط کردند. هادامارد و پوسین موفق شدند ثابت کنند که همه توابع غیر پیش پا افتاده 0 زتا در باند بحرانی قرار دارند.
به لطف کار این دانشمندان، جهت جدیدی در ریاضیات ظاهر شد - نظریه تحلیلی اعداد. بعدها، چندین اثبات اولیه دیگر از قضیه ای که ریمان روی آن کار می کرد توسط محققان دیگر به دست آمد. به طور خاص، Pal Erdős و Atle Selberg حتی یک زنجیره منطقی بسیار پیچیده را تأیید کردند، که نیازی به استفاده از تجزیه و تحلیل پیچیده نداشت. با این حال، در این نقطه، چند مهم استقضایا، از جمله تقریب بسیاری از توابع نظریه اعداد. در این راستا، کار جدید Erdős و Atle Selberg عملاً هیچ تأثیری نداشت.
یکی از ساده ترین و زیباترین شواهد این مشکل در سال 1980 توسط دونالد نیومن پیدا شد. این بر اساس قضیه معروف کوشی بود.
آیا فرضیه ریمانی پایه های رمزنگاری مدرن را تهدید می کند
رمزگذاری داده ها همراه با ظهور هیروگلیف ها به وجود آمد، به طور دقیق تر، آنها خود را می توان اولین کدها در نظر گرفت. در حال حاضر، یک منطقه کامل از رمزنگاری دیجیتال وجود دارد که در حال توسعه الگوریتم های رمزگذاری است.
اعداد اول و «نیمه اول»، یعنی اعدادی که فقط بر ۲ عدد دیگر از همان کلاس قابل تقسیم هستند، اساس سیستم کلید عمومی معروف به RSA را تشکیل می دهند. گسترده ترین کاربرد را دارد. به طور خاص، هنگام تولید یک امضای الکترونیکی استفاده می شود. فرضیه ریمان با بیان شرایطی که برای آدمک‌ها قابل دسترسی است، وجود سیستمی در توزیع اعداد اول را تأیید می‌کند. بنابراین، قدرت کلیدهای رمزنگاری، که امنیت معاملات آنلاین در زمینه تجارت الکترونیک به آن بستگی دارد، به میزان قابل توجهی کاهش می یابد.
سایر مسائل حل نشده ریاضی
ارزش دارد مقاله را با اختصاص چند کلمه به دیگر اهداف هزاره به پایان برسانیم. این موارد عبارتند از:
- برابری کلاس‌های P و NP. مشکل به صورت زیر فرموله می شود: اگر یک پاسخ مثبت به یک سوال خاص در زمان چند جمله ای بررسی شود، آیا این درست است که خود پاسخ این سوالبه سرعت پیدا می شود؟
- حدس هاج. به عبارت ساده، می توان آن را به صورت زیر فرمول بندی کرد: برای برخی از انواع گونه های جبری تصویری (فضا)، چرخه های هاج ترکیبی از اشیاء هستند که تفسیر هندسی دارند، یعنی چرخه های جبری.
- حدس پوانکاره. این تنها چالش هزاره است که تاکنون اثبات شده است. بر اساس آن، هر جسم سه بعدی که دارای خواص ویژه یک کره سه بعدی باشد، باید تا تغییر شکل، یک کره باشد.
- تأیید نظریه کوانتومی یانگ - میلز. لازم است ثابت شود که نظریه کوانتومی ارائه شده توسط این دانشمندان برای فضای R 4 وجود دارد و دارای یک نقص جرم 0 برای هر گروه سنج فشرده ساده G است.
- فرضیه برچ-سوینرتون-دایر. این یکی دیگر از مسائل مربوط به رمزنگاری است. منحنی های بیضی را لمس می کند.
- مسئله وجود و همواری راه حل های معادلات ناویر-استوکس.
حالا شما فرضیه ریمان را می دانید. به زبان ساده، ما برخی دیگر از چالش های هزاره را فرموله کرده ایم. اینکه حل می شوند یا ثابت می شود که راه حلی ندارند، یک زمان است. علاوه بر این، بعید است که این مدت طولانی منتظر بماند، زیرا ریاضیات به طور فزاینده ای از قابلیت های محاسباتی رایانه ها استفاده می کند. با این حال، همه چیز تابع تکنولوژی نیست و اول از همه، شهود و خلاقیت برای حل مسائل علمی لازم است.
